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圆锥曲线
一、弦长、面积最值
1.
已知椭圆
的离心率为
，且经过点
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若一条直线与椭圆恰有一个公共点，则定义该直线为椭圆的切线，这个公共点称为切点．
以椭圆
（
，且
）上
为切点的切线方程是
（
，且
）．
（ⅰ）过椭圆
外一点
作椭圆的两条切线，切点分别为
，
．若点
在定直线
上
运动，求证：直线
恒过定点，并求出该定点坐标；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设
为坐标原点，求
面积的最大值．
【答案】(1)
；
(2)（ⅰ）证明见解析，
；（ⅱ）2.
【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形
（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题
【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出
即可.
（2）（ⅰ）设出点
的坐标，写出切线
方程，进而求出直线
方程即可推理
得证；（ⅱ）联立直线
与椭圆方程，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系，再利
用基本不等式求出最大值.
【详解】（1）由椭圆
的离心率为
，得
，则
，
由椭圆
过点
，得
，解得
，
所以椭圆
的标准方程是
.
（2）（ⅰ）由点
在直线
上，设
，切点
，
依题意，切线
，切线
，
由切线
都过点
，得
，点
都在直线
上，
因此直线
的方程为
，所以直线
恒过定点
.
（ⅱ）由
消去
并整理得：
，
则
，
，
的面积
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
面积的最大值为
.
2.
已知动点
到定点
的距离和它到定直线
距离的比是常数
．
(1)求动点
的轨迹
；
(2)已知不过原点的直线与曲线
交于
、
两点，若直线
，直线，直线
的斜率
成等比数列．
①求直线的斜率
；
②记以
为直径的圆的面积分别为
，试探究
是否为定值，若是，求出此
值；若不是，说明理由．
【答案】(1)曲线
的方程为：
，曲线
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆.
(2)①
；②是，
．
【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范
围、椭圆中的定值问题
【分析】（1）根据条件列方程，化简可得曲线
的轨迹方程，再根据方程描述其轨迹.
（2）①设直线方程为
，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出
，
，再表示出
，
，利用
表示
，化简即可.
②用
，
表示出
，将
化简即可.
【详解】（1）由题意：
.
所以曲线
的方程为：
．
所以曲线
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆.
（2）①设直线方程为
，
，
，
，
如图：
由
得
，
，
所以
，
.
因为
，
，且
成等比数列，
，
，
又
，所以
，解得
．
②
，
，
为定值．
3.
已知动圆
与直线
相切且与圆
外切.
(1)求圆心
的轨迹
的方程;
(2)若过定点
的两条相互垂直的直线
交曲线
于A，C，B，D 四点，求四边形
面积的最小值.
【答案】(1)
；
(2)32.
【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）根据给定条件，利用圆的切线性质及两圆外切的性质列式，再化简即得轨迹
方程.
（2）设出直线
的方程，与抛物线方程联立求出弦长及四边形面积，再利用基本不等
式求出最小值.
【详解】（1）定圆
的圆心为
，半径
，直线
与圆
相离，且在圆
左侧，
设圆心Q 的坐标为
，动圆Q 的半径为R，由动圆Q 与直线
相切，得
，
由两圆外切，得
，即
，化简得
，
所以圆心Q 的轨迹
的方程为
.
（2）显然直线
不垂直于
轴，设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
，
直线
的方程为
，由
消去
得：
，
设
，则
，
，同理得
，
四边形ABCD 的面积为
，当且仅当
，即
时取等号，
所以四边形
面积的最小值为32.
4.
已知动点
与两个顶点
，
的距离之比为
，动点
的轨迹为曲线
.
(1)求
的轨迹方程；
(2)已知
，过直线
上的动点
（
）分别作圆的两条切线
，
（
，
为切点），
与
交于点
.
（i）证明直线
的方程为
，并判断直线
是否过定点；
（ii）是否存在点
，使
的面积最大？若存在，求出点
坐标和
面积最大值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，过定点
；（ii）存在，
，最大值为1
【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、过圆外一点的圆的切线方程、求平面轨迹
方程
【分析】（1）设
，由两点间距离公式将几何关系
转为代数运算并化
简即可求解；
（2）（i）先设
，利用圆的切线性质（圆心与切点的连线垂直于切线），
推导出切线PQ、PR 的方程，再将动点P 的坐标代入切线方程，得到Q、R 满足的直线方
程
，从而确定直线QR 的方程，最后判断其过定点
；
（ii） 先根据切线相关性质（结合几何关系或向量垂直等）确定N 的位置特征，再得出N
在以OB 为直径的圆上运动，结合
的底
固定，通过分析高的最大值情况，利用
直线斜率关系求出p 的值，进而确定点P 坐标和面积最大值.
【详解】（1）设
，由题
，
整理得
，即
；
（2）（i）设
，
，易知
为曲线C 的圆心，
由
与圆相切，可得直线
的法向量为
，
因此
的方程为
，
整理得
，由
在圆
上得
，
因此
的方程为
，
同理可得
的方程为
，
由两切线交于
点，可得
，这说明
，
在直线
上，
因此直线
的方程为
，直线
过定点
；
（ii）由
，
是圆的切线可得
，因此
为
的中点，
由
可得，
在以
为直径的圆上运动，该圆的圆心为
，
，
当
位于点
时，
的面积最大，为
，
此时
，故
，即
，
因此存在
使得
面积最大，最大值为1.
5.
已知椭圆
的离心率为
，且过点
，其左、右顶点分别为
，
为椭圆
上异于
的两点．
(1)求椭圆
的方程．
(2)设直线
的斜率分别为
，且直线
过定点
．
①设
和
的面积分别为
，求
的最大值；
②证明
为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)①
；②证明见解析，
【知识点】根据a、b、c 求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的
最值问题、椭圆中的定值问题
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程；
（2）①设直线
的方程为：
并与椭圆C 联立方程组，解得
，分别表示面积
，可得
，再
用换元法，令
，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.
②由①知
可得
表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证.
【详解】（1）依题意知：
，解得
，
所以椭圆C 的方程为：
（2）①依题意由（1）知
，直线
的斜率不为0．
设其方程为：
，并与椭圆C 联立方程组：
，得
，
则
，
，同理：
，
所以
．
令
，则
，
所以
，
因为
，则
，
所以
，结合函数单调性定义知，
在
时单调递增．
所以
，则
.
所以
的最大值是
.
②证明：由①知
.
所以
.
、
二、定值问题
6.
椭圆
的离心率为
，左右顶点分别为
，
，上下顶点分别为
，
，四边形
是边长为
的菱形．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知A 是椭圆C 在第一象限上的点，B 与A 关于原点对称，
为椭圆C 的右焦点，连接
与
，并延长交椭圆C 于D，E 两点，若直线AB 的斜率为
，直线DE 的斜率为
，
试探究
是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，
．
【知识点】根据a、b、c 求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值
问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据离心率和菱形的边长，建立关于
的方程组，求解即得椭圆方程；
（2）设
，求出
，写出直线
的方程并与椭圆方程联立，消去
后得到韦
达定理，从而用
表示出点
的坐标，写出
的算式并化简即可求出
的定值.
【详解】（1）由
可得
又由题意，
，
联立两式，解得
所以椭圆C 的方程为
．
（2）
设
，则
，
，
，
则
，
．
则直线
与椭圆方程
联立，
消去
可得：
，
即
．
显然
,
，
所以
，
．
所以
，同理可得
．
所以
．
所以
．
7.
已知双曲线
：
的焦距为
，且左右顶点分别为
,
，过点
的
直线与双曲线
的右支交于
,
两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
的斜率为1，求弦长
；
(3)记直线
,
的斜率分别为
,
,证明：
是定值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据a、b、c 求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的定值问题
【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程；
（2）设直线MN 的方程为
，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解；
（3）设直线方程为
，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到
，再由
化简计算即得.
【详解】（1）因为双曲线
：
的焦距为
，
所以
，解得
，
由题意得
，则
，
所以双曲线的方程为
；
（2）依题意，可设直线MN 的方程为
，
由
，消去y 得
，
由韦达定理得
，
所以
；
（3）如图所示，设直线的方程为
，
，
由
，消去x 得
，
则
，且
，
则
，可得
，
又
，则
，
.
8.
设
，
两点的坐标分别为
，
，直线
与
相交于点
，且它们的斜率之
积为
.设点
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)过原点的直线与
交于
，
两点（与
不重合），证明：直线
与直线
的斜率
之积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题
【分析】（1）依题意求出
与
的斜率，写出并化简曲线的轨迹方程即可；
（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，分别写出直线
与直线
的斜率，化简并
计算斜率之积即得结论.
【详解】（1）设
，则
，
，
由题意有
，
化简得点
的轨迹
的方程为：
；
（2）当直线的斜率不存在时，交点为
的上下顶点，不妨设
､
，
则
；
当直线的斜率存在时，设
，与
的方程联立化简得
､
，
不妨设
，
则
，
综上所述，直线
与直线
的斜率之积为定值
.
9.
已知以
为焦点的抛物线
的顶点为原点，点
是抛物线
的准线上任意一点，过点
作抛物线
的两条切线
、
，其中
、
为切点，设直线
、
的斜率分别是
和
．
(1)求抛物线
的标准方程及其准线方程．
(2)求证：
为定值．
(3)求证：直线
过定点，并求出该定点．
【答案】(1)标准方程为
，准线方程为
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析，
.
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物
线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题
【分析】（1）根据焦点坐标求解即可；
（2）设切线的方程为
，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；
（3）直线
的方程为
，将其与抛物线方程联立，利用
得到
且
，代入计算即可得证．
【详解】（1）由题意知抛物线
的标准方程为
（
）且
，
∴
，抛物线
的标准方程为
，准线方程为
；
（2）设点P 的坐标为
，
，
由题意，过点
与抛物线
相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为
，则切线的方程为
，
联立方程组
，消去
，得
，
∴
得
（*），
又
、
为方程（*）的两根，由韦达定理得
为定值；
（3）由题知，直线
的斜率不为
，
设直线
的方程为
，
，
，
联立
，整理得
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
整理得
，
代入有
，
∴
，
∴
且
，
∴
，故直线
过定点
．
10. 已知椭圆
：
的离心率为
，
，
分别为
的左、右焦点，
，
分别为
的左、右顶点，椭圆
的右顶点到右焦点的距离为1，
为坐标原点.椭圆
上
一点
在第一象限，点
与点
关于原点对称，连接
，并延长与椭圆
交于点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
，
的斜率分别为
，
，求证：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆顶点和焦点的坐标公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）证明：由椭圆的方程得
，
，
设
，
，则
，
由题意得直线
斜率不为零，设直线
的方程为
，
联立
得
，
显然
，
，
，
所以
，
所以
为定值3.
三、定点问题
11.
已知椭圆
上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，且椭圆的离心
率为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)A,B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，设
,连接DB 交椭圆于另一点E，证明直线AE
恒过x 轴上的定点P.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】根据a、b、c 求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题
【分析】（1）由已知可求得
，进而可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线
的方程为
，联立直线与椭圆方程，设点
，求
得直线
的方程，令
，结合根与系数的关系计算可求得定点.
【详解】（1）因为椭圆
上任意一点到它的两个焦点的距离之和为4，
所以
，解得
，又因为椭圆的离心率为
，所以
，解得
，
故
，则椭圆的标准方程为
；
（2）由题意知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
由
，得
，①
设点
，则
，直线
的方程为
，
令
得
，
将
代入整理得
，②
由①得
，
代入②整理得
，
所以直线
与
轴相交于定点
．
12. 已知椭圆
的上顶点为
，四个顶点组成的四边形面积为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的动直线与椭圆
交于两点
，点
关于
轴的对称点为点
，求证：
直线
恒过定点，并求出定点坐标
【答案】(1)椭圆
的方程为
；
(2)直线
恒过定点，该定点为点
.
【知识点】根据a、b、c 求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直
线过定点问题
【分析】（1）由题意列出关于
的方程组求出
即可得解；
（2）先由题意设直线的方程为
，联立椭圆方程求出韦达定理，接着利用点D
写出直线AD 的方程为
，令
，求出x 为定值即可得解.
【详解】（1）由题得
，
所以椭圆
的方程为
；
（2）证明：由题可得直线的斜率存在，设
，
联立
，
则
，
设
，则
，
，
则直线AD 斜率为
，
所以直线AD 的方程为
，
令
，则
，
所以直线
恒过定点，该定点为点
.
13. 已知椭圆
，点P 为C 的上顶点．
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)求椭圆上动点T 到点P 的距离的最大值；
(3)设与两坐标轴均不垂直的直线l 与椭圆C 交于异于P 的两点A 和B，设直线PA、PB 的斜
率分别为
、
．当
时，判断直线l 是否经过定点？若是，请求出这一定点；
若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)过定点，
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过
定点问题
【分析】（1）根据方程确定
的值，再求离心率的值.
（2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大
值.
（3）设直线
，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出
，
，根据
列式，化简可得
的关系，再确定直线是否过定点.
【详解】（1）由题
，
，
．
所以离心率
．
（2）由题可知
，设
，
则
，
．
由于
，
所以当
时，PT 取到最大值为
．
（3）如图：
设
，
，
．
因为直线l 与椭圆C 交于异于P 的两点
和
，所以
.
所以
，故
，则
，
，
即
．
故
，所以
或
（因为
，故舍去）．
当
，
，过定点
.
因此直线过定点
．
14. 如图，已知直线与抛物线
交于
两点，且
.
(1)求证：直线
恒过定点，并求此定点；
(2)若
交
于点
，点
的坐标为
，请你求出
的值；
(3)在第（2）问的基础上，若
是抛物线上的任一点，
为抛物线的焦点，求
的最小值及此时点
的坐标.
【答案】(1)证明见解析，定点为
；
(2)
(3)
的最小值为
，此时点
的坐标为
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线上的点求标准方程、
抛物线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据题意设直线
方程为
，
进而
与抛物线方程联立
，再根据
得
即可判断定点；
（2）根据
得直线
方程为
，再结合（1）得
；
（3）根据（2）得抛物线
，再根据抛物线的定义求解即可.
【详解】（1）解：由题知直线
斜率不为
，且不过原点，
故设直线
方程为
，
联立方程
得，
，
所以
，
，
所以
因为
，所以
，解得
，
所以直线
方程为
，即直线
恒过定点
（2）解：因为
交
于点
，点
的坐标为
，
所以
，直线
方程
，即
因为直线
方程为
，
所以
，即
.
（3）解：由（2）知
，故抛物线
，焦点为
，准线方程为
，
如图，过点
作
，垂足为
，由抛物线的定义得
，
所以
，
当且仅当
三点共线时等号成立，此时
，代入抛物线方程得
，
所以
的最小值为
，此时点
的坐标为
15. 在平面直角坐标系xOy 中，
，曲线
上有两点A，B，当
时，
.
(1)求曲线E 方程；
(2)若点A 在曲线E 的右支上，点B 在曲线E 的左支上，点A，B，F 三点不共线，且
，试判断直线AB 是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，
请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，
【知识点】根据a、b、c 求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、根据韦达定
理求参数
【分析】（1）根据条件，结合几何关系确定点
的坐标，代入双曲线方程，即可求解；
（2）首先设直线
，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示
，即可求解.
【详解】（1）由
得
，又
，
所以
，故点
在曲线E 上，所以
，解得
，
故
的方程为
.
（2）判断：直线AB 恒过一个定点；
由图形关系可知点A，B 在x 轴异侧，
故由
可得直线AF，BF 的斜率互为相反数
设
，
联立
，可得
所以
而直线AF，BF 的斜率之和为
即
=
，
而
，故
，
所以直线AB 过定点
.
四、相切问题
16. 已知椭圆
的方程为
，短轴长为2，右焦点为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
是椭圆
上的两点，
，且直线AB 与曲线
相切，求直
线AB 的方程．
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据a、b、c 求椭圆标准方程、求椭圆中的弦
长、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据条件求
，即可求椭圆方程；
（2）首先设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长
，
再结合直线与圆
相切，列式求解.
【详解】（1）由题意知
，
所以
，
又
，所以
，
故椭圆
的方程为
.
（2）由题意可知，直线
的斜率不为0，
设直线
的方程为
.
此时圆心
到
的距离
，
即
，
联立
得
，
，
即
，
因为
，所以
，
因为曲线
为右半圆，则
，
所以直线
的方程为
或
.
17. 已知点
的坐标分别为
，点
是抛物线
上的一个动点．
(1)求证：以点
为圆心，
为半径的圆与直线
的相切；
(2)设直线
与抛物线
的另一个交点为点
，连接
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）
的坐标为
，求得
即点
到直线
的距离即可证明；
（2）分别过点
作直线
的垂线，垂足分别为
，通过证明
即可证明
.
【详解】（1）设点
的坐标为
，则
；
又因为点
到直线
的距离为
，
所以，以点
为圆心，
为半径的圆与直线
的相切．
（2）如图，分别过点
作直线
的垂线，垂足分别为
．
由（1）知，
，同理可得，
．
因为
都垂直于直线
，所以，
，
于是
，所以
，因此，
于是
，从而
.
18. 已知双曲线
.
(1)若双曲线
的离心率为
，求
的值；
(2)若直线
与圆
相切，证明：直线与双曲线
的左右两支各有一个
公共点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、由双曲线的离心率求参数的取值范围、由直线
与圆的位置关系求参数
【分析】（1）根据双曲线的离心率公式可得出关于
的等式，解之即可；
（2）由直线与圆相切可得出
，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理
可证得结论成立.
【详解】（1）由题意可得
，因为
，解得
.
（2）因为直线
与圆
相切，所以
，可得
，
联立
得
，即
，
则
，所以方程
有两个不等的实根，
设这两个实根分别为
、
，则
，
因此，直线与双曲线
的左右两支各有一个公共点.
19. 如图所示，已知抛物线
的焦点为
，直线过点
.
(1)若直线与抛物线
相切于点
，求线段
的长度；
(2)若直线与抛物线
相交于
，
两点，且
，直线
与抛物线
交于另一点
，
连接
，记
中点为
，直线
交
于点
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、利用焦半径公式解决直线与抛物线交点
问题、求抛物线的切线方程
【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到
点坐标，再利用抛物线的定
义求解长度即可.
（2）联立方程组结合韦达定理得到
，结合给定向量关系建立方程，求出
点
的坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可.
【详解】（1）抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
设直线
的方程为
，
联立方程组
，得到
，
因为直线PQ 与抛物线
相切，所以
，解得
，
此时
，代入抛物线中得
，
由抛物线定义得
．
（2）由题意得直线
的方程为
，
如图，设
，
，连接
，
联立方程组
，得到
，由
，则
．
因为
，且
，
，
所以
，解得
，
当
时，
，
，所以直线
，
联立方程
，得到
，则
，
因为
，所以
为
的中点，又
为
的中点，直线
交
于点
，
所以点
为
的重心，所以
，
同理当
时，
，综上可得
．
20. 已知点
为圆
上任意一点，点
，线段
的垂直平分线交直线
于点
，设点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)若过点
的直线与曲线
相切，且与直线
分别交于点
.
（i）证明：点
为线段
的中点；
（ii）求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的轨迹方程
【分析】（1）由双曲线的定义求解即可；
（2）（i）设
，分类讨论，当直线的斜率存在时，设过点
且与
相切的直线的方程为
，与双曲线的方程联立，求得
，
的坐标证明即可；
（ii）由（i）知
，求得
，然后利用
基本不等式求解即可.
【详解】（1）
为
的垂直平分线上一点，则
.
.
点
的轨迹为以
为焦点的双曲线，且
故点
的轨迹方程为
.
（2）
（i）设
，
双曲线的渐近线方程为
①，
②
当直线的斜率存在时，设过点
且与
相切的直线的方程为
，
与双曲线联立
由
，且
，故可得
.
由
；
.
.
点
为线段
的中点.
当直线的斜率不存在时，直线的方程是
，根据双曲线的对称性可知，
此时直线即是双曲线
的切线，同时满足点
为线段
的中点.
综上，点
为线段
的中点.
（ii）由（i）知，
.
.
当且仅当
，即
时取等号.
又
，
的取值范围为
.
五、四点共圆问题
21. 已知圆
经过椭圆
的右焦点
及右顶点
.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，求线段
的中点
的轨迹方程；
(3)过点
作与
轴平行的直线与
交于点
，直线
与
轴交于点
，
证明：点
共圆.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【知识点】根据韦达定理求参数、求直线与椭圆的交点坐标、轨迹问题——椭圆、根据
a、b、c 求椭圆标准方程
【分析】（1）根据给定条件，求出点
的坐标，进而求出
即得
的方程.
（2）直线
的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理求出点
即可求出轨迹方程.
（3）利用弦长公式求出
，再借助相似三角形及圆内四边形的判定
推理得证.
【详解】（1）在圆
中，令
，解得
或
，则
，
因此椭圆的半焦距
，长半轴长
，短半轴长
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）点
，当直线
与
轴不重合时，设直线
方程为
，
由
消去
得：
，
设
，则
，
，
联立得
，即
，
当直线
与
轴重合时，点
满足方程
，
所以线段
的中点
的轨迹方程是
.
（3）由
，得
，不妨令
，
直线
斜率
，则
，
，
因此
，
∽
，则
，
所以点
共圆.
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整
理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是
方程解的点.
22. 已知点N(1，2)，过点N 的直线交双曲线
于A，B 两点，且
．
(1)求直线AB 的方程；
(2)若过点N 的直线交双曲线于C，D 两点，且
，那么A，B，C，D 四点是否共
圆？为什么？
【答案】(1)y＝x＋1
(2)四点共圆，原因见解析
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线中的弦长、判断点与圆的位置关系
【分析】（1）设直线
的方程为
，代入双曲线方程，设
，
，根据
得
是
的中点，利用韦达定理求出
可得直线
的
方程为；
（2）直线
的方程代入双曲线方程解得
可得
，
坐标，根据
得
垂直
，求出
所在直线方程代入双曲线方程，令
，
及
中点
，根据韦达定理得弦长
及
，
可
得
四点共圆.
【详解】（1）由题意知直线
的斜率存在,
设直线
：
，代入
，
得
(*)，
设
，
，则
是方程(*)的两根，
∴
且
，
∵
，∴
是
的中点，∴
，
∴
，解得
，
∴直线
的方程为
；
（2）共圆，理由如下，
将
代入方程(*)得
，解得
或
，
∴
，
，∵
，∴
垂直
，
∴
所在直线方程为
，即
，
代入双曲线方程整理得
，
令
，
及
中点
，则
，
，
∴
，
，即
，
，
所以
，
，
即
到
的距离相等，∴
四点共圆.
23. 已知两点
,点
是直角坐标平面上的动点，若将点P 的横坐标保持不变、
纵坐标扩大到
倍后得到点
满足
,
(1) 求动点P 所在曲线C 的轨迹方程；
(2)过点B 作斜率为
的直线l 交曲线C 于M,N 两点，且满足
，又点H 关
于原点O 的对称点为点G，试问四点M,G,N,H 是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；
若不共圆，请说明理由．
【答案】（1）
;(2)见解析.
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求直线与椭圆的交点坐标、轨迹问
题——椭圆
【详解】试题分析：（1）确定向量AQ，BQ 的坐标，利用
，即可得到动点P 所
在曲线C 的轨迹方程；（2）假设l 的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，
G，H 的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论．
详解：（1）依据题意，有
，
∵
，
∴x2
1+2
﹣
y2=1．
∴动点P 所在曲线C 的轨迹方程是
．
（2）因直线l 过点B，且斜率为k=﹣
，故有l：y=﹣
．
联立方程组
，得2x2
2
﹣x
1=0
﹣
．
设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2），
∴x1+x2=1，y1+y2=
．
又
，点G 与点H 关于原点对称，
于是，可得点H（﹣1，﹣
）、G（1，
）．
若线段MN、GH 的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y﹣
=
（x﹣
），l2：
．
联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（
，﹣
）．
因此，可算得|O1H|=
=
，
|O1M|=
．
所以，四点M、G、N、H 共圆，圆心坐标为O1（
，﹣
），半径为
．
点睛:本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，
确定圆心坐标与半径是关键,这道题目圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数
形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨
法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法.
24. 设双曲线
：
的一个焦点坐标为
，离心率
，
，
是
双曲线上的两点，
的中点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)求直线
方程；
(3)如果线段
的垂直平分线与双曲线交于
、
两点，问
、
、
、
四点是否共圆？
若共圆证之，若不共圆给予充分理由．
【答案】(1)
(2)
(3)共圆，证明过程见解析
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据离心率求双曲线的标准方程、
根据a、b、c 求双曲线的标准方程
【分析】（1）利用离心率定义以及双曲线中
的关系式即可求得双曲线方程；
（2）设出
，直线
方程为
，联立方程
，再结合
中点坐标即可求得直线
的方程；
（3）假设
、
、
、
四点共圆，且圆心为
，只需证
的中点
满足
即可得到
、
、
、
四点共圆.
【详解】（1）由题知，
，
又
，则
，
所以
，
则双曲线
的方程为
.
（2）设
，
直线
方程为
，
联立
得
，
又
的中点为
，
所以
，
即
，解得
，此时满足
，
故直线
方程为
.
（3）假设
、
、
、
四点共圆，且圆心为
，
为圆
的弦，
圆心
在
垂直平分线
上，
又
为圆
的弦且垂直平分
，圆心
为
中点
，
下面只需证
的中点
满足
即可.
由
，得
，
，
由（1）得直线
方程为
，
由
，得
，
的中点
，
，
,
，
，
，
即
、
、
、
四点在以
为圆心，
为半径的圆上.
25. 在平面直角坐标系
中，动圆
与圆
：
内切，且与圆
：
外切，记动圆
的圆心的轨迹为
．
(1)求轨迹
的方程；
(2)已知
分别为轨迹
的左、右顶点，点
不与
重合．直线
与直线
交
于点
，与
轴交于点
，直线
与直线
的交点为，若四点
共圆．求实
数的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、轨迹问题——椭圆
【分析】（1）根据两圆内切和外切满足的几何关系，即可得
，结
合椭圆的定义即可求解；
（2）由四点
共圆，得到
，表示出斜率，代入计算即可.
【详解】（1）圆
：
的圆心为
，半径为
；
圆
：
的圆心为
，半径为
；
因为
，
,设动圆的半径为
，经分析可得，
,
因为动圆
与圆
内切且与圆
外切，
所以
,两式相加
,
所以点
的轨迹为以
,
为焦点的椭圆，可设其方程为
，
则
，解得
，所以椭圆方程为
，
所以轨迹
的方程为
.
（2）由题意可知直线
的斜率不为
，故可设直线方程为
,且
由
易知：
，
联立
，可得
，
所以
则
即
，
联立
，可得
，
所以直线
的斜率为：
，
所以直线
的斜率为：
，
因为四点
共圆，且直线与
轴垂直；
所以
,
所以
,即
，解得：
.
故实数的值为
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用四点
共圆，得到斜率之间的关系，借助
韦达定理等内容求解.
