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第 04 讲 二倍角公式及简单的三角恒等变换
【考试要求】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并
进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记
忆)．
1
．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ ＝ ＝
2α
(3)公式T ：tan 2α＝.
2α
2．常用的部分三角公式(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝ (升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
1.（多选）下列判断下列结论正确的是（ ）
A 半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．
B 存在实数α，使tan 2α＝2tan α.
C cos2＝.
D tan ＝＝.
2 计算：求下列各式的值。
π
（2）2cos2 −1
（3）
2tan22.5°
（1）2sin15°cos15° 8 1−tan222.5°
π π
（4）cos2 −sin2
8 8 （5）1−2sin275° （6）sin22.5°cos22.5°
3.(sin 15°+cos 15°)2的值为( )
❑√3 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 4
4．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
5．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
考点一 二倍角公式的应用
角度1 给角求值
例1（1）(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于( )
A. B. C. D.
( π π )( π π )
【对点训练1】 cos -sin cos +sin 的值为( )
12 12 12 12❑√3 1 1 ❑√3
A. B. C.- D.-
2 2 2 2
角度2 给值求值
例2．（1）已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于( )
A. B. C. D.
（2）已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________.
【对点演练1】已知cos 2α＝，则sin2α＝ ( )
A. B. C. D.
【对点演练2】若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )
A. B. C. D.
【对点演练3】若sin ＝，则cos 2x的值为( )
A．－ B. C．－ D.
例3已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
( π) ❑√10 ( π) ( π)
【对点演练1】已知cos θ+ ＝ ，θ∈ 0, ，则sin 2θ- ＝ .
4 10 2 3
【对点演练2】已知 ，≤α<，（1）求 的值
（2）求 的值．
角度3 给值求角
例4 已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
考点二 三角恒等变换
角度1三角函数式的化简
例5(2021·全国甲卷)若α∈ ，tan 2α＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
【对点演练1】已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.1
sinα+cosα= ,
【对点演练2】若
3 0<α<π
,求
sin2α+cos2α
的值
角度2 三角函数式的求值
例6 计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).
【对点演练】求值：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
角度3 三角关系式的证明
例7 证明：
cos6A sin6A
+ =4cos4A
cos2A sin2A
【对点演练】证明：
考点三 三角变换的综合应用
例5 已知f(x)＝sin＋2sin·cos.
(1)求f 的值；
(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值．
【对点演练】已知3sin α＝2sin2－1.
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
例题 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π
约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后
才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值为( )
A．－ B．－8 C．8 D.
【对点演练】黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底
与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角
形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在
整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这
些信息，可得sin 54°等于( )A. B. C. D.
1.已知 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
2.已知 ，则 ( )
A.2 B. C. D. 或0
0
3.已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴正半轴，终边过点 ，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
5.若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.6.若 ,则 ( )
A． B． C． D．
7.已知 ,且 ,则 的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
8.已知 是第四象限角，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
9.已知方程 的两根为 ,且 ,则 的
值为( )
A. B. C. D. 或
10. ,且 ，则 ( )
A. B. C. D.
11.(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
12.(多选)(2023·长沙模拟)若sin ＝，α∈(0，π)，则( )
A．cos α＝
B．sin α＝C．sin＝
D．sin＝
13.已知 ，则 的值是 .
14. 的值是_______.
15.已知 ，则 ________.
16.若 , ,则 ____________.
17.已知 为锐角，且 ，求：
（1）
（2）
18．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan；
(2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ.
