第 04 讲 二倍角公式及简单的三角恒等变换
【考试要求】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并
进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记
忆)．
1
．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ 2sin α cos α .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝.
2α
2．常用的部分三角公式(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝ (升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
1.（多选）下列判断下列结论正确的是（ ）
A 半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．
B 存在实数α，使tan 2α＝2tan α.
C cos2＝.
D tan ＝＝.
【答案】ABCD
2 计算：求下列各式的值。
π
（2）2cos2 −1
（3）
2tan22.5°
（1）2sin15°cos15° 8 1−tan222.5°
π π
（4）cos2 −sin2
8 8 （5）1−2sin275° （6）sin22.5°cos22.5°
【答案】（1） （2） （3）1 （4） （5） （6）
3.(sin 15°+cos 15°)2的值为( )
❑√3 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 4
4．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由题意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝＝.
5．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 因为α为第二象限角，sin α＝，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.考点一 二倍角公式的应用
角度1 给角求值
例1（1）(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 (公式法)因为cos ＝sin ＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝
cos ＝.
方法二 (代值法)因为cos ＝，cos ＝，
所以cos2－cos2＝.
( π π )( π π )
【对点训练1】 cos -sin cos +sin 的值为( )
12 12 12 12
❑√3 1 1 ❑√3
A. B. C.- D.-
2 2 2 2
【答案】A
角度2 给值求值
例2．（1）已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
（2）已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________.
【答案】－
【对点演练1】已知cos 2α＝，则sin2α＝ ( )
A. B. C. D.
【解析】cos 2α＝1－2sin2α＝，解得sin2α＝.
【答案】D
【对点演练2】若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )
A. B. C. D.
【解析】法一：∵tan θ＋＝＝4，
∴4tan θ＝1＋tan2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝.
法二：∵tan θ＋＝＋＝＝
∴4＝，故sin 2θ＝.
【答案】D
【对点演练3】若sin ＝，则cos 2x的值为( )
A．－ B. C．－ D.
【解析】∵sin＝－cos x＝，
∴cos x＝－.
∴cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝－.
【答案】A
例3已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由同角三角函数关系式,可由 求得 .再求得 ,结合正
切的二倍角公式即可求得 的值
（2）由同角三角函数关系式,可先求得 , .将 变形为
,由余弦的差角公式展开并代入已知值即可求得 的值
【详解】（1）由同角三角函数关系式 ,
代入可得而 ，所以 ，则
所以由正切二倍角公式可得
（2）由同角三角函数关系式 及 且
, . ,
则可求得 ,
则由余弦差角公式化简可得
( π) ❑√10 ( π) ( π)
【对点演练1】已知cos θ+ ＝ ，θ∈ 0, ，则sin 2θ- ＝ .
4 10 2 3
( π)
( π) 1+cos 2θ+ 1 ( π)
【解析】由题意可得cos2 θ+ ＝ 2 ＝ ，cos 2θ+ ＝－sin 2θ
4 10 2
2
4 4 ( π) ❑√10 ( π) π
＝－ ，即sin 2θ＝ .因为cos θ+ ＝ ＞0，θ∈ 0, ，所以0＜θ＜ ，
5 5 4 10 2 4
( π) 3
2θ∈ 0, ，根据同角三角函数的基本关系式，可得cos 2θ＝ ，由两角差的正
2 5
( π) π π 4 1 3 ❑√3 4-3❑√3
弦公式，可得sin 2θ- ＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝ × － × ＝ .
3 3 3 5 2 5 2 10
4-3❑√3
【答案】
10【对点演练2】已知 ，≤α<，（1）求 的值
（2）求 的值．
【答案】（1）－.（2）原式＝＝(cos α－sin α)＝2cos＝.
角度3 给值求角
例4 已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ .
【答案】
【解析】 因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，
因为cos β＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝，
那么sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，
cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝，
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝，
因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)．
所以α＋2β∈，故α＋2β＝.
考点二 三角恒等变换
角度1三角函数式的化简
例5(2021·全国甲卷)若α∈ ，tan 2α＝，则tan α等于( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 方法一 因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二 因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2) 三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找
式子和三角函数公式之间的联系点
【对点演练1】已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.
【答案】
【解析】 因为sin α＋cos α＝，
两边同时平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
即sin 2α＝，
由降幂公式可知sin2＝＝＝－sin 2α＝.
1
sinα+cosα= ,
【对点演练2】若
3 0<α<π
,求
sin2α+cos2α
的值
【答案】
1
sinα+cosα= <1,
【解析】 3 且 0<α<π ,所以α 是钝角
1 1
sinα+cosα= , 1+2sinαcosα=
3 9
由 得
1 8
sin2α=2sinαcosα=−1+ =−
9 9
所以
sinα−cosα= √ (sinα+cosα) 2 −2sin2α= √1 −2× ( − 8) = √17
9 9 3
1 √17 √17
cos2α=cos2α−sin2α=−(sinα+cosα)(sinα−cosα)=−
× =−
3 3 9
所以,
(
8
) (
√17
)
−8−√17
sin2α+cos2α= − + − =
9 9 9
所以,
角度2 三角函数式的求值
例6 计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).解 (1)原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝2.
(3)原式＝＝＝＝＝＝－2.
【对点演练】求值：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
【解】sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋·)
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝＝＝＝1.
角度3 三角关系式的证明
例7 证明：
【答案】证明：
cos6A sin6A
+ =4cos4A
cos2A sin2A
【对点演练】证明：
cos6A sin6A
= +
cos2A sin2A
【答案】证明：左所以原式得证
考点三 三角变换的综合应用
例5 已知f(x)＝sin＋2sin·cos.
(1)求f 的值；
(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值．
解 (1)由题意得f(x)＝sin＋2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－sin
＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
故f ＝sin＝0.
(2)∵α∈，∴2α＋∈，又∵f(α)＝，
∴f(α)＝sin＝，
又∵sin＝<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×＋×＝.
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤
其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、
单调性、最值与对称性．
【对点演练】已知3sin α＝2sin2－1.
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
【解析】解 (1)因为3sin α＝2sin2－1，
所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－，
又因为sin 2α＋cos 2α＝＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝＝.
(2)因为β∈，所以tan β<0，
因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，
所以tan β＝－，
又因为α∈(0，π)，tan α＝－，所以<α<π.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1，
由得π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
例题 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π
约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后
才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值为( )
A．－ B．－8 C．8 D.
答案 A
解析 将π＝4sin 52°代入，
可得＝＝＝－
＝－＝－＝－.
【对点演练】黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底
与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角
形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在
整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这
些信息，可得sin 54°等于( )A. B. C. D.
答案 B
解析 由题设，可得cos 72°＝1－2sin236°＝，又因为cos236°＋sin236°＝
1，
所以cos236°＝，又cos 36°∈，
所以cos 36°＝cos(90°－54°)＝sin 54°＝.
1.已知 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
答案：D
解析： ， . ，故选：D
2.已知 ，则 ( )
A.2 B. C. D. 或0
0
答案：D
解析：∵已知 ，
∴ ,或 ,即 ,或 ，故答案为：D
3.已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴正半轴，终边过点 ，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
答案：A解析：∵角 的顶点为坐标原点,始边为 轴正半轴,终边过点 ,∴
则
4.已知 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
答案：A
解析： ， ， ，
，解得 (舍去)或 . ，
.故选A.
5.若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：
6.若 ,则 ( )A． B． C． D．
答案：D
解析：
7.已知 ,且 ,则 的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
答案：A
解析：因为 ,所以 因为 ,
所以 ,即 .
8.已知 是第四象限角，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：∵ 是第四象限角，
∴ ,则 ，
又 ，∴ .∴ .
则 .
9.已知方程 的两根为 ,且 ,则 的
值为( )
A. B. C. D. 或
答案：A
解析：由已知方程 的两根分别为 ，
得： ，∴
∵ ，∴ ，
∵ ∴ ，∴ .
又
整理得： ，解得 或 (舍去)
故答案为：−2.
10. ,且 ，则 ( )A. B. C. D.
答案：D
解析：
由已知，得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ .
11.(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
答案 BD
解析 对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°
＝，所以B正确；
对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－
(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，所以C错误；
对于D,2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2××＝＝，所以D正确．
12.(多选)(2023·长沙模拟)若sin ＝，α∈(0，π)，则( )
A．cos α＝
B．sin α＝
C．sin＝
D．sin＝
答案 AC解析 ∵sin ＝，α∈(0，π)，
∴∈，cos ＝＝.
∴cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝，故A正确；
sin α＝2sin cos ＝2××＝，故B错误；
sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝，故C正确；
sin＝sin cos －cos sin
＝×－×＝，故D错误．
13.已知 ，则 的值是 .
答案：
解析：因为 ，所以 ， ，得
14. 的值是_______.
.答案：
解析： 原式
15.已知 ，则 ________.
答案：
解析：因为，所以 ，即
.
16.若 , ,则 ____________.
答案：
解析：由 得 ,
故 ,
所以 .
17.已知 为锐角，且 ，求：
（1）
（2）
答案：（1） 为锐角， ，
，
（2）18．(2023·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan；
(2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ.
(3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β的值．
解 (1)因为tan(α＋β)＝，tan＝，
所以tan＝tan＝＝＝.
(2)由<θ<，得<2θ<π，∴sin 2θ＝＝，
sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ＝2××＝－，
cos 4θ＝2cos22θ－1＝2×2－1＝－1＝.
(3)由0<β<<α<，得0<2β<，－<－2β<0，则－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝>0，所以cos(α－2β)＝＝＝.
由0<β<<α<，得<2α<π，－<－β<0，
则<2α－β<π，
因为cos(2α－β)＝－，所以sin(2α－β)＝.
因为<α＋β<，
又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝，所以α＋β＝.
