文档文本内容
第 04 讲 利用导数研究函数的零点（方程
的根） (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
高频考点二：根据零点个数求参数
高频考点三：根据零点情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点问题
②利用数形结合法研究函数的零点问题
③构造函数研究函数零点问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．
（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是 的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试1．（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表：
的导函数 的图象如图所示，
则下列关于函数 的命题：
① 函数 是周期函数；
② 函数 在 是减函数；
③ 如果当 时， 的最大值是2，那么 的最大值为4；
④ 当 时，函数 有4个零点．
其中真命题的个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）若函数 在其定义域上只有一个
零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南昆明·模拟预测（理））已知函数 ，若方程 有两个不相等的实
数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海·闵行中学高二期末）已知函数 ， ，若存在三个互不相等的实数
m、n、p，使得 ，则实数a的取值范围是______．
5．（2022·江苏·苏州中学高二期中）若方程x－m＝ex在区间[0，1]有且只有一解，则实数m的取值范围是
_______.6．（2022·全国·高二单元测试）设函数 ,若方程 至少有3个不同的实数
根，则实数m的取值范围为______．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·吴县中学高二阶段练习）函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型归类练
1．（2022·安徽·合肥一中高二期中）函数 的零点的个数为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习（理））若方程 在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B．[0,2]
C． D．
高频考点二：根据零点个数求参数
典型例题
例题1．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知函数 有3个不同的零点，则满足条件
的实数 的最小整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））若函数 有且只有2个零
点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数）有两个零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）方程 恰有三个不等的实根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏·吴忠中学高二期末（理））若函数 有两个零点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
高频考点三：根据零点情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点问题
典型例题
例题1．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知 ， 是函数
的两个极值点.
（1）求 的解析式；
（2）记 ， ，若函数 有三个零点，求 的取值范围.
例题2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数 在 处取
得极值．
（1）求实数 的值；
（2）若函数 在 内有零点，求实数 的取值范围．
题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 在 处取得极值.
(1)求 在 上的最小值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求b的取值范围.
2．（2022·河南商丘·高二期末（理））已知函数 在 处取得极小值．
(1)求实数a的值；
(2)若 有3个零点，求实数m的取值范围．
3．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）已知函数 在 处取得极值．
(1)求 的解析式；
(2)当 时， 的图象与 的图象有两个公共点，求m的取值范围．
②利用数形结合法研究函数的零点问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有两个不相等的实
数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·四川内江·模拟预测（文））若函数 有两个零点，则 的取值范围为
______．
例题3．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）已知函数 .(1)求 的单调区间和极值.
(2)若关于 的方程 有唯一的实数根，求实数 的取值范围.
题型归类练
1．（2021·甘肃平凉·高二期末（文））已知函数 ，若函数 有四个零
点，则实数a的取值范围是______.
2．（2022·山东省莱西市第一中学高二阶段练习）已知函数 ，讨论函数
的零点的个数.
3．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高二阶段练习）设函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若关于 的方程 有三个不等实根，求实数 的取值范围.
③构造函数研究函数零点问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数 （ ）
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围．
例题2．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数 ，其中 .
(1)求 的极值点个数；(2)求函数 在区间 内的零点个数.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若方程 ＝0有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．
第四部分：高考真题感悟
1．（多选）（2022·全国·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
2．（2022·全国·高考真题（文））已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2021·全国·高考真题（理））已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
