专题01 解三角形（解答题10种考法）
1．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四边形 中，
的面积为 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设 ，
因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
在 中， ，所以 ，
所以 ；（2）由（1）可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，且 ．
由（1）可得 ，又 ，
所以 ．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）依题意， ，
由正弦定理得， ，
而 ，故 ．
（2）由余弦定理得， ，得 ，
故 ．
3．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知梯形 中， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，设 的面积为 ，求 的最大值.【答案】(1)
(2) .
【解析】（1）解：如图所示：
根据题意： ，
，
由余弦定理可得： ，
，
又 ，
在 中，利用正弦定理可得： ，
所以 .
（2）设 ，
，
，
在 中，由余弦定理可得：
，
，
当 时， 取最大值，且为 .4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知锐角 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 外
接圆的半径为 ，且 ．
(1)求A及a的值；
(2)若 ，求线段AP长度的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
则 ，
即 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，则 ，
又因为 外接圆的半径 ，所以 ．
（2）设 ， ，
因为 ，即点P为BC边的中点，则 ，
两边同时平方得 ，即 ，
由（1）可知： ，即 ，
可得 ，即 ，
又因为 外接圆的半径 ，由正弦定理得 ， ，
即 ，
则 ．因为 为锐角三角形，则 ， ，即 ， ，
可得 ，则 ，可得 ，
则 ，即 ，
所以线段AP长度的取值范围为 ．
5．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图所示，角 的终边与单位圆 交于点 ，将 绕原点 按
逆时针方向旋转 后与圆 交于点 .
(1)求 ；
(2)若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，求 .
【答案】(1)
(2) 或 .
【解析】（1）由题知 ， ，
所以 ；
（2）由题知 ， ， ，，且 ，所以 ，
而 ，则 ，故 ，
由正弦定理可知 ，整理得 ，
解得 ，
故 ，或 .
6．（2021·江苏南通·一模）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；△
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①： ，
则 ，
∴
∴
∵ ， ，
∴ ，∵ ，∴ .
若选②： ，
由正弦定理得 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
若选③： ，
则 ，
由正弦定理得 ，
∴∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）由正弦定理得 ，
，
则 ，
，
∵ ， ， ，
∴ .
7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）在平面四边形 中， ， ， .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求 的最小值.【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
由 得 .
由正弦定理得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
（2）在 中，由 得
①，
又 ②，
且 ，
所以 ,
在 中
，
将 ① ， ②代入上式得.
且 ，
所以，当 时， 有最小值3.
所以 取最小值 .
综上， 的最小值为 .
8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ．
(1)若 边上的高等于1，求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理， ，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
又由余弦定理， ，
解得 ，所以 ．
（2）由正弦定理有 ，且由（1）可知 ，所以 ，
又因为锐角 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 面积的取值范围是 ．
9．（2023·海南·统考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求边长 和角 ；
(2)求 的面积的最大值，并判断此时 的形状．
【答案】(1) ，
(2) ，等边三角形
【解析】（1）解： ，
由正弦定理得 ．
可得 ．
由 ，得 ，
得 ，
得 或 ，故 或0（舍去）．（2）由余弦定理可知， ，
由（1）可得 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
即 面积的最大值为 ，
此时 为等边三角形．
10．（2023·河北唐山·模拟预测）在 中， 为 边上一点，且 平分 ．
(1)若 ，求 与 ；
(2)若 ，设 ，求 ．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）如下图所示：
因为 平分 ，所以 ，又因为 在 上，所以
，
因此 ，又 ，所以 ．
在 中， ，可得 ．在 中，由余弦定理可得 ，故
．
（2）如下图所示：
因为 平分 ， ，又 ，
所以 ，在 中，由正弦定理可得
，又 ，所以 ，
展开并整理得 ，解得 ．
11．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知向量 ，
，设 ，且 的图象关于点 对称.
(1)若 ，求 的值；
(2)若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，且 在区间 上的值域为 ，
求实数 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
若 的图象关于点 对称，则 ，
， .
， .
若 ，则 ，同理可得 .
；
（2）若函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则
.
因为 ，所以 ，
而 在 上的值域为 ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
，故 的取值范围为
12．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）如图，在四边形 中， 与 互补，
．(1)求 ；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）连接 ，如图，
与 互补， 与 互补，
在 中， ，
即 ，
得 ，
在 中， ，
即 ，
得 ，
又 与 互补，
，
故 ；
（2）由（1）得 ，，
由（1）得 ，
，
．
13．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在 中， ， ， .
(1)求 的值；
(2)过点A作 ，D在边BC上，记 与 的面积分别为 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，故 .
由正弦定理可得 ，则
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，则 .
设点A到直线BC的距离为d，
因为 ， ，所以 .
14．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）从条件① ；②
中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在 中：内角 的对边分
别为 ，______.
(1)求角 的大小；
(2)设 为边 的中点，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选条件①：由正弦定理得： ，
，
， ， ，
即 ， ，
又 ， ， ，解得： ；
若选条件②： ，， ，
， ， ，解得： .
（2）
， ，
即 ，
（当且仅当 时取等号），
的最大值为 .
15．（2023·河南·校联考二模）记 的内角 所对的边分别为 ， ， ，已知
，且 ， ， 依次成等比数列.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长.
【答案】(1) ;
(2) .
【解析】（1）由条件及正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ，且 ， ， 依次成等比数列，
所以 .
由余弦定理得 ，得 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
16．（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形 中， ， ， 的平分线
交 于点 ，且 ．
(1)求 及 ；
(2)若 ，求 周长的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ，
又 ，则 ，
于是 ，
∵ 为角平分线，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中，根据余弦定理得 ，∴ ．
（2）设 ， ．在 中，
由余弦定理得 ，
即有 ，即 ，
∴ ，
当且仅当 时，“＝”成立．
∴ 周长的最大值为 ．
17．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知函数 的周期为 ，且图像经
过点 ．
(1)求函数 的单调增区间；
(2)在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ， ，求
的值．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）由题意知， ，则 ，
又 ，
则 ， ，所以 ， ，又 ，所以 ，则 ，
由三角函数的性质可得： ， ．
解得： ， ，
∴ 的单调递增区间为 ， ．
（2）由 得， ，即 ，
结合正弦定理得， ，
即 ，又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，
由余弦定理有， ．
18．（2023·河南·模拟预测）设 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且有 .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，比较 和 的大小关系，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【解析】（1）证明：因为 ，要证 ，即证 ，即证 ，
因为 ，则 ，解得 ，则 ，
所以，，
故原不等式得证.
（2）解：因为 ，
设 外接圆半径为 ，则
，
因为 ，则 ，
又因为 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，所以 .
19．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
且 的面积 .
(1)求C；
(2)若 内一点 满足 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：根据题意知 ，
由余弦定理得 ，又因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又由正弦定理 且 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：由（1）知 ， ，所以 ，可得 ，所以 ，
设 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
在 中， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 .
20．（2020·全国·校联考模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，
所以 ，可得： ，
即 ，由余弦定理可得： ，
又 ，所以 .
（2）由
，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
的取值范围为 .21．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在 中， ， ，M点为BC的中点，N点在线段
AC上且 ， .
(1)求AC；
(2)若点P为AM与BN的交点，求 的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，解得 ；
（2）由（1）知 ，又 ，所以 ，
所以 ，又M点为BC的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，且 ，
所以 .22．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）设 的内角 所对边分别为 ，若
.
(1)求证： 成等差数列；
(2)若 为整数， ，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求 周长的最小值.
【答案】(1)证明见详解
(2)15
【解析】（1）因为 ，整理得 ，
即 ，
由正弦定理可得： ，即 成等差数列.
（2）由题意可得： ，则 ，
不妨设 ，
因为 ，由正弦定理可得： ，
由余弦定理可得： ，
即 ，整理得 ，
所以 ，
可得 周长 ，
可知当 时， 周长的取到最小值15.
23．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
△
c，且 ．(1)若 ，求证： ABC是等边三角形；
△
(2)若 ABC为锐角三角形，求 的取值范围.
△
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：∵ ，
∴由正弦定理，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ．
由 ，得 ，
∴ ，∴△ABC为等边三角形．
（2）由（1）知 ，∴ ．
由 ABC为锐角三角形，可得 ，
△
解得 ，∴ ．
由正弦定理，得 ，
由 ，可得 ，∴ ，即 ，∴ 的取值范围为 .
24．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了
“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成
了如图所示的等边 ，若 ， .
(1)求 ；
(2)求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 知， ， 为正三角形，
，
∵ .
∴ ， ，
.
（2）设 （ ），则 ，由正弦定理： ，即 ，则 ，
中， ，
即 ，则 ， ，
所以 .
25．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在 中，内角 的对边长分别为 ，
.
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，在 边 的外侧取一点 （点 在 外部），使得 ， ，且四边形
的面积为 ，求 的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由 ，
因为 ，可得 ，
又由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 面积取得最大值 .
（2）解：设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
由（1）知， 且 ，所以 为正三角形，
所以 ，
可得 ，
因为 ，故 ，所以 ，可得 .
26．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在 中，角 的对边分别是 ，从下列条件中任选一个补
充到题中解决题.条件：①： ; ②： ; ③： .
(1)求 的值;
(2) ， 求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【解析】（1）选①：由 得 ，
解得： 或 ，
， ，
所以 .
选②：由 得 ，
又 ，代入整理得 ，
又在 中 ，所以 ，
又 ， ，故 .
选③：由 得， ，
即 ， ，所以 .
（2）由题意
，
所以 ，
由（1） 可知 ， 所以 .
于是有
故 .
27．（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）已知平面向量 ，，记 ，
(1)对于 ，不等式 （其中m， ）恒成立，求 的最大值．
(2)若 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，a，b，c成等比数列，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
，则 ，故 ， ，
恒成立，故 ， ，
当 ， 时， 有最大值为 .
（2） ，即 ，
， ，故 ， ，
， ， 成等比数列，则 ，
.
28．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知 ， ，其中 ，函数 的最小正周期为 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足 ，求 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，
(2)
【解析】（1）因为 ， ，
则 ，
，
故 ，
因为 最小正周期为 ，所以 ，所以 ，故 ，
由 ， ，解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .（2）由（1）及 ，即 ，又 ，
所以 ，解得 ，
又 为锐角三角形，即 ，即 ，
解得 ；
由正弦定理得 ，又 ，则 ，
所以 .
29．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足
．
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）由 及 得, .
由正弦定理得 ,
又 ,
,
,
,都是锐角,则
,
（2）令
，
由（1） 得 .
在锐角三角形 中,
，即 ， ,
令 ,
根据对勾函数的性质知 在 上单调递增，
,即 的取值范围是 .
30．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若 ， 的面积为2，求 的周长；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【解析】（1）因为a，b，c成等比数列，则 ，
又 ， ，所以 ，
所以 的面积为 ，故 ，则 ，
由余弦定理 ，
即 ，则 ，
所以 ，故 的周长为 .
（2）设a，b，c的公比为q，则 ， ，
而 ，
因此，只需求 的取值范围即可.
因a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必需且只需 且
.
故有不等式组 ，即 ，解得 ，
从而 ，因此所求范围为 .
31．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设函数 ， ， ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)已知凸四边形 中， ， ， ，求凸四边形 面积的最大值．【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）由题意知 ，得 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
∴
，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ， ．
（2）
由 ，可得 ，而 ，
故 ，故 ，故 ，
设 ， ，而四边形 的面积 ，
则，
其中 ， ，且 ，而
故 ，故当 时， .
32．（2023·江苏盐城·统考三模）在 中, 为 的角平分线,且 .
(1)若 , ,求 的面积;
(2)若 ,求边 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ,
所以 ,
得: ,
解得 ,
所以 .
（2）设 , ,
由 得
,
即 ,
所以 ,又在 中 ,
所以 ,
得 ,
因为 且 ,
得 ,
则 ,
所以 ,
即边 的取值范围为 .
33．（2023·全国·校联考模拟预测）在 中， 对应的边分别为 ，且 ．且
(1)求 ；
(2)若 ， 上有一动点 （异于B、C），将 沿AP折起使BP与CP夹角为 ，求 与平面
所成角正弦值的范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）方法一：由 ，结合二倍角公式可得，
，
即 .若 ，则 ，于是 ，
根据正弦函数 在 上递增可得，
，类似的有 ，
于是 ，
这与 矛盾；
若 ，则 ，于是 ，
根据正弦函数 在 上递增可得，
，
类似的有 ，于是
，
这与 矛盾；
若 ，即 ，此时 确实成
立.
综上所述， .
方法二：将 代入 可得
，
再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得
所以 ，
即 ，再由和差化积公式可得：
，
所以
不妨设 ，则 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
可得 ，所以 .
（2）
由题意，折叠后的几何体如下，设 ，则
在 中，若 ，由余弦定理得，
.
下以 为原点， 分别为 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴.
设 ，则 ， ，由
①
②
③，由①②解得： ，
由①③解得： ，
根据线面角的定义，（不妨取 是正数），
则 与平面 所成角正弦值为 .
记 ，则
，
注意到 ，于是 ，
又
，而 ，
故 ，故 ，
根据多项式除法， 约去因式 ，
得到 ，即 ，
根据求根公式可得， 的正实根为 ，
故 在 上递增，在 上递减，
经计算得到 ，故 在 上的值域为 ，注意到
，
故 ，于是 ，故 ，即 ，于是直线 与平面 所成角正弦值的范围是 .
在 中，若 ，同理可得，直线 与平面 所成角正弦值的范围是 .
方法二：
作 底面 ，垂足为 ，连接 ，设 到平面 的距离为 ， 到平面 的距离为 ，
，由题意知 .
先说明 和平面 不可能垂直，否则由 平面 可得 ，由 ， 可得
，这与 矛盾，于是 是平面 的斜线，即 .
由 可得， ，即
.
设 ，根据线面角的定义， 即为 与平面 所成角.
于是 ，即 .
34．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从① ；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以
解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在 ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)△求角B的大小；
(2)若 ABC为锐角三角形， ，求 的取值范围.
△
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选①
因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
若选②
由 ，化简得 .
由正弦定理得： ，即 ，所以 .
因为 ，所以 .
若选③
由正弦定理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）在 中，由正弦定理 ，得 ，
由（1）知： ，又с=1代入上式得：
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 .
35．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 .已知
.
(1)求 ；
(2)证明： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由 ，得 ，由题意可知， 存在，所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
（2）由 ，
得 ，
故 ，
令 ，则 ，
，
当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，所以 ，
进而 ， ，
可得 ，所以 .
而 ，故 .
所以 .
36．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求A；(2)若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又 ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
（2）由（1）知 ，
①当 时，因为 ，所以 ，即 ，与△ABC为锐角三角形矛盾，
所以不成立；②当 时，因为 ，所以 ，
所以 ．
由 ，得 ．
所以 ，
故
．
因为 ，所以 ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
37．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
， .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求三角形ABC面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)【解析】（1）因为 ，且 都为锐角，所以 ，
，
所以 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，即有 ，
所以 ，即 ，所以 .
在锐角三角形中， ,且 ，所以 ；
令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 为增函数，
又 ，所以 ，即 的取值范围是 .
（2）由（1）得 .
因为 ，由 ，得 ；设三角形ABC的面积为 ,则
，
因为 ，所以 ，
设 ， ， ， ， 为减函数，
所以 ，所以 .
38．（2023·浙江·统考一模）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以由余弦定理得 ，
记 ，则 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ，
故 ，则 ，
所以 ，即 ．
39．（2023·江苏南通·三模）已知 ，D为边AC上一点， ， .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若直线BD平分 ，求 与 内切圆半径之比的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）如图1， ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
故 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，故 ，
不妨记 ， ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
.
（2）如图2，不妨设 与 内切圆的半径分别为 与 ，
因为直线BD平分 ，
所以由角平分线性质定理得 ，记 ，则 ，记 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
因为 （ 为顶点 到 的距离），
又 ， ，
所以 ，则 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 与 内切圆半径之比的取值范围为 .40．（2022·浙江·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)若 ，求C；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 ，
可得 ，则
整理得 ，解之得 或
又 ，则 ，则 ，则
（2）A ，B为 的内角，则
则由 ，可得 ，则 均为锐角
又 ，则 ，
则 ，则
则令 ，则
又 在 单调递增， ，
可得 ，则 的取值范围为 ，
则 的取值范围为
