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第 04 讲 拓展一： 的取值范围与最值问题
目录
题型一：重点考查 与单调性的问题....................................1
题型二：重点考查 与对称性的问题...................................11
题型三：重点考查 与最值的问题.....................................14
题型四：重点考查 与零点的问题.....................................17
题型五：重点考查 与极值的问题.....................................23
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题型一：重点考查 与单调性的问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数
的图象.若 的图象关于点 对称，且在 上单调递减，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】由题意得 ，
的图象关于点 对称，故 ，
故 ， ，解得 ， ，
又 在 上单调递减，故 ，又 ，解得 ，则 ， ，解得 或1，
故当 时， 满足要求，经检验，满足 在 上单调递减，
当 时， ，当 时， ，
因为 在 上不单调递减，不合要求，舍去，
其他均不合要求.
故选：B
例题2．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）若函数
在区间 内单调递增，且 是 的图象的一个对称中心，则
（ ）．
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【详解】因为 是 的图象的一个对称中心，所以 ，则 ， ,
故 可取
又 在区间 内单调递增，故 ,解得
，则当 ，满足，其他均不满足，此时函数 ，
故选：A．
例题3．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知函数 在区间 上为增函数，
且图像关于直线 对称，则 的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】已知 ，由 ，得 .
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ；令 ，解得 ，
由图像关于直线 对称，则 ，
解得 ，
所以 的取值集合为 .
答案： B
例题4．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）已知函数
为奇函数，且在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 为奇函数，
所以 ，
故 ，
要使得 在 上单调递减，只需 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，其中 ，
结合正弦函数图象可知： ，
解得： ，
综上： .
故选：C
例题5．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知 ，函数 在区间
单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】当 时， ，
若 在区间 单调递增且 ，
则 ，解得 ，
故选：A
例题6．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ， ，
， 在 上单调，则 的最大值为（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】 ，∴直线 为 图象的对称轴，
， 的对称中心为 ，
，
，
．
又 在 上单调， ．
， ，
又 ，
∴当 时， ，因为直线 为 图象的对称轴，
所以 ， ，
解得 ， ，又 ，所以 ，则 ，
当 时， ，则 在 上不单调，舍去；当 时， ，因为直线 为 图象的对称轴，
所以 ， ，
解得 ， ，又 ，所以 ，则 ，
当 时， ，则 在 上不单调，舍去；
∴当 时， ，因为直线 为 图象的对称轴，
所以 ， ，
解得 ， ，又 ，所以 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调.
则 的最大值为7．
故选：D
例题7．（2023春·海南海口·高一海口一中校考期中）将函数 的图象向左平
移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则 的值可能为
（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】由已知可得， .
因为 ， ，所以 .
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 的值可能为 ，
故选：A精练核心考点
1．（2023·浙江·统考二模）已知函数 ，若 在区间 是单调函
数，且 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． 或 D． 或2
【答案】B
【详解】 在区间 是有单调性， ，
， ；
， 函数 关于 对称，
离最近对称轴 的距离为 ；
又 ， 有对称中心为 ；
由题意可知：若 与 为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
则 ，可得 ， ,不符合舍去，
若 与 为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
那么： ，可得 ， ．
综上可知
故选:B
2．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数 是区间 上的增函数，则正实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ，
又因为函数 是区间 上的增函数，解得
因为 为正实数，所以 ，从而 ，
又 ，
所以正实数 的取值范围是为 .
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 恒有 ，且 在 上单调递
增，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【详解】因为函数 恒有 ,
所以 ,解得 ，
又因为 在 ，上单调递增，所以 ，
且 ，所以 ，
结合 可得 的值为 或 ，
经检验，当 的值为 时，
由 ,
解得 ，
所以 在 上单调递增，满足题意，
当 的值为 时，
由 ,解得 ，
所以 在 上单调递增，不满足题意，
故选:A.
4．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 在区间 上不单
调，则 的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】 ，
由于 为正整数，
当 时， ，此时
故此时 在 上单调， 时不符合，
当 时， ，此时 且
故此时 在 先增后减，因此不单调， 符合，
当 时， ，此时 ，
而 的周期为 ，此时 在 上不单调， 符合，但不是最小的正整数，同理 要
求符合，但不是最小的正整数，
故选：B
5．（2023春·上海长宁·高一上海市延安中学校考期中）设函数 ，若
， ， 在 上为严格减函数，那么 的不同取值的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【详解】 且 在 上为严格减函数，则 ，又 ， ，因此 ， ，
又 ，所以 ，即 ，
由 ，则 且 ， ，
， ，
因此 ， ，
若 ，则 ，取 ， 满足题意，
若 ，则 ，取 ， 满足题意，
的值有2个．
故选：D．
6．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数 在 上存在零
点，且在 上单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】化简 ，
在 时， ，该区间上有零点，故 ，
又 时 单调，则 ，即 ，
故
故选：C7．（2023·四川成都·石室中学校考三模）将函数 的图象向右平移 个单位长度
后得到函数 的图象，若 在 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】将 的图象向右平移 个单位长度后得到
的图象，
因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 的最大值为 .
故选：A.
8．（2023·天津·统考二模）若函数 在区间 上具有单调性，则 的最大
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当 时， ；
若 在 上单调递增，则 ，
解得： ，又 ， 若不等式组有解，则
解得： ， ，则 ；
若 在 上单调递减，则 ，解得： ，又 ， 若不等式组有解，则 ，
解得： ，与 矛盾， 在 上单调递减不成立；
综上所述： ，则 的最大值为 .
故选：B.
题型二：重点考查 与对称性的问题
典型例题
例题1．（2023·广西河池·校联考模拟预测）已知函数 的图象关于直线
对称，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【详解】由题意 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
因为 ，故当 时， ，
故选：A.
例题2．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）将函数 的图象向右平移
个单位长度得到曲线 ，若 关于点 对称，则 的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度
得到的曲线的函数解析式为 ，
由已知函数 的图象关于点 对称，所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以 的最小值是 ，
故选：B.
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是在区间 上的单调减函数，
其图象关于直线 对称，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．12 C．4 D．8
【答案】C
【详解】因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ， ，所以
， ，
根据 ，则 ， ，
因为 是在区间 上的单调减函数.
所以 ，
， ，
因为 ，所以 或 ，
当 时， ，当 时， ；
由于 ， 是在区间 上的单调减函数，
且 ，所以 为 的一个对称中心，
则 ，所以 ， ， ， ， ，
， ， ，根据 或 ，
可得 ，或 ，
所以 的最小值为4.
故选：C.
精练核心考点
1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若函数 的图象的相邻两条对称轴之间的距离
为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】由题意可知， ，所以 .
又 ，所以 ，所以 .
故选：B.
2．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）已知曲线C： ， ，若 关
于 轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 关于 轴对称，则 ，
即 ，且 ，
则 时， 为最小值；
故选：C.
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）记函数 的最小
正周期为T，若 ，且函数 的图象关于点 对称，则当 取得最小值时，
（ ）A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知得 ， ，
因为函数 的图象关于 对称，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
由 的图象关于 对称得 ，
所以 ，即有 ，
又因为 ，所以当 最小时， ，此时 ，
所以 ，
故选：C．
题型三：重点考查 与最值的问题
典型例题
例题1．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数 ， ，
，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】 ，
是函数的最大值，由题意可知， 的最小值是 个周期，
所以 ，得 .故选：B
例题2．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数 在区间 内取得一
个最大值 和一个最小值 ,且 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 在区间 内取得一个最大值 和一个最小值 ,
所以 ,又因为 ,
所以 ,即 ,所以 .
故选:C.
例题3．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数 ，若
在 上的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 可化为
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上的值域为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B.例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上单调
递增，且在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，函数 ， ，
因为 在区间 上单调递增，由 ，则 ，
于是 且 ，解得 且 ，即 ，
当 时， ，因为 在区间 上只取得一次最大值，
因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
精练核心考点
1．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）若 ， 是函数 两个相邻的最值
点，则 等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【详解】因为 ， 是函数 两个相邻的最值点，
所以 ， ，
故选：A
2．（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）已知函数 在区间 上的
最小值为 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】D【详解】因为 ，所以 ，
则由题意可得 或 ，
解得 或 ，
所以 ，
故选：D.
3．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）设函数 ，若
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， 是 的最小值点，
，解得： ，
又 ， 当 时， .
故选：B.
题型四：重点考查 与零点的问题
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数
在 上恰有2个不同的零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得 ，由 ，得 ，
因为函数 在 上恰有2个不同的零点，
所以 ，即 ，
故选：A
例题2．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知函数 在 内
有且仅有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知 在 内有且仅有两个解．
因为 ，所以 ，
则需 ，解得 ．
故选：C
例题3．（2023·河南郑州·三模）设函数 在区间 内恰有三个极值点、两个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 时， ， ，因此由题意 ，解得 ．
故选：A．
例题4．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数 的最小正周期为 ，且
，若 在 上恰有3个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 的最小正周期为T，所以 ．又 ，所以 ，
当 时， ，
由 在 上恰有3个零点，得 ，
解得 ．
故选：A
例题5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）已知函数
在区间 上单调，且满足 .若函数 在区间 上恰有5
个零点，则 的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】因为函数 在区间 上单调，且 ，又 ，
所以 的一个对称中心为 ，
又 ，所以 ，得到 ，
由 的图像与性质知，相邻两个零点之间的距离为
又因为 ，函数 在区间 上恰有5个零点，所以 ，
即 ，
解得 ，又因为 ，所以 ，
故选：B.
例题6．（2023·全国·高三专题练习）记函数 的最小正周期为 .若
， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C【详解】因为 的最小正周期为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 为 的零点，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为4，
故选：C
例题7．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）已知函数 在
区间 上单调，且满足 .若函数 在区间 上恰有5个零点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 在区间 上单调， ，
的对称中心为 ，且 ，
，即 ，即 ， .
又 的对称中心为 ， ，
在区间 上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为 ，五个零点之间即 ，六个零点
之间即 ，只需 即可，即 ，
又 ， .故选：B.
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上存在零点，且在
上单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
因为 在 上存在零点，所以 ，解得 ．
又 在 上单调，所以 ，即 ，
解得 ，则 ，
则 则 解得 ．
故选：C.
2．（2023春·安徽六安·高一六安二中校考期中）己知函数 在 上有且仅有三
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
由 ，故可得 ，
令 ，可得 ，
则 或 或 或 ， ，因为 在 上有且仅有三个解，
，解得 ．
故选：D.
3．（2023春·辽宁大连·高一校联考期中）已知函数 ，集合
中恰有3个元素，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 ，
所以 ，
因为集合 含有 个元素，
所以 时在 上只有三解，即 ，
解得： 或 ，
故 或 ，
要使其落在 上，
故只有 、 、 ，其他值均不在 内，
故 ，解得 ，故 ，
故选：C.
4．（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中学校考期中）已知函数
，若函数 在 有且仅有两个零点，则实数 的取值
范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为
，
当 时， ，
因为函数函数 在 有且仅有两个零点，则 ，解得 .
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 内恰有4个极值点和3
个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 且 ，
因为 ，所以 ，
又 在 内恰有4个极值点和3个零点，
由正弦函数的图象知： ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
6．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数 在 有且仅有两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】由函数 ，
因为 ，可得 ，则 ，
又由函数 在 仅有两个零点，且 ，
则满足 ，解得 .
故选：C．
题型五：重点考查 与极值的问题
典型例题
例题1．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 ， 是 的一个极值
点，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【详解】由 是 的一个极值点，结合正弦函数图像的性质可知， 是 的一条对称轴，
即 ， ，求得 ，
，
当 时， 的最小值为 .
故选：A.
例题2．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知偶函数
在 上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由题可知， 为偶函数，
∴ ，即 ．∵ ，∴ ．
∴ ，
令 ，由 得 ，
∴ 转化为 ， ．
如图， 在 上有且仅有一个极大值点没有极小值点时， ，∴ ．
故选：A．
精练核心考点
1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）函数 在 上恰有两个极大值
点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：令 ， ，则 ， ，又 ，
解得 ， ，
所以函数在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极大值点为 ，第三个极大值点为
，
因为 在 上恰有两个极大值点，
于是 ，解得 ，即 .
故选：C2．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 的最小正周期为
， ，且 在区间 内有极小值无极大值，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】因为 ，
由题意可得： ，
，
即 ，
由题意可得 ,
解得 ，
即
存在的充要条件是 ，即 ，
，
又 ，且 ，
则点 与点 关于直线 对称，
.
故选：A.
