大题02数列及求和(5大题型)(原卷版)

      
      
 02  


 !"#$%
&!"
'(")%!*"+%,-./01234"5678
&9:9;
<= >?@A2BC34DE"5FGHI%JKLMNKOPCQ
%RSTUVWX%
TYZ[\0]^_` abcd%DE"5efgThi jkL
lDmno[2
题型一：数列通及裂项求和
 1p24-25 !qr·stuv·wxyz9:

na
 { n K^
n
S %|
2
2
n
S
n
n
a
=
+
+
%p a ^}
y
(1) a ~
(2)
na
 €Kb
(3)
1
4
n
n
n
b
a a +
=
%

nb
 { n K
.
nT
      
      
2 p24-25 !qr·‚ƒ„…·†"‡yz{
}
na
&9;
 ;ˆ 0%‰{ n K^
n
S %{ }
nb
&9:
%Š‹
1
1
a = %
3
2
2
a
a
=
+
%
4
3
5
a
b
b
=
+
%
5
4
6
2
a
b
b
=
+
.
(1){
}
na
%{ }
nb
 €Kb
(2)z
1
(
1)(
1)
n
n
n
n
a
c
a
a +
=
+
+
%
{ }
nc
 { n K^
nT %
nT ŒŽ 1
1
6
2
nT
£
<
.
一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂
项”求和技巧简捷求解该数列的前n 项和．常见的“裂项”结论有：


1
1
1
1
1
+

=
+
n
n
n
n
  








+


=
+

1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
  





+
=
+
+
N
n
n
n
n
n
1
1
1
形如



2
,
1
1
1





+
a
N
a
a
a
a
n
n
n
当

N
a
，
2

a
时，易知












=


+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
形如






0
,2
,
1
1
1



+
+




b
a
N
a
b
a
b
a
a
a
n
n
n
当

N
a
，
2

a
时，易知





b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
n
n
n
n
n
+

+
=
+
+




1
1
1
1
1
1
      
      
形如






2
,
1
1
2
1
2


+



+
a
N
a
n
n
n
n
a
a n
当

N
a
，
2

a
时，易知




n
a
n
a
n
n
n
n
a
a
n
n
n
1
2
3
2
2
1
2
1
1
1
+
+
+

+
=
+


形如





2
,
1
1
1


+
+


+
a
N
a
a
n
n
a
n
a
n
当

N
a
，
2

a
时，易知





1
1
1
1
1
1
1
+
+
+

=
+
+

n
n
n
a
n
na
a
n
n
a
n
a
1p24-25 !q·„‘v·wxy

na
’“




1
1
2
3
3
5
2
1
3
1 3n
n
a
a
a
n
a
n
+
+
+
+
+

=
+

×
L
”
(1)

na
 €Kb
(2)z



1
2
1
1
n
n
n
n
a
b
a
a +
=


%
nT ^

nb
 { n K%
2
7
4
2
nT
m
m
<

+
•–—%˜
m ™~š›”
2”p24-25 !qr·„œž·wxyŠ‹

na
'%
1
1
a = %
n
S ^

na
 { n K%’“


*
1
3
1
N
.
n
n
S
S
n
n
+ =
+
+

(1)Ž

1
2
na
ì
ü
+
í
ý
î
þ &9;
%Œ

na
 €Kb
(2)z


3
log
2
1
n
n
b
a
=
+
%
 


1
2
1
2
1
n
n
n
a
n
b b +
ì
ü
+

í
ý
î
þ
 { n K
.
nT
      
      
3”p24-25 !qr·Ÿ ·¡¢£myŠ‹

1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
 { n K
2
2
n
S
n
n
=
+
”
(1)
na
 €Kb
(2)


4
1
2
1
n
n
n
n a
b
n
×
= 
×

%

nb
 {2n K
2n
T ”
题型二：数列通项及错位相减求和
p¤ž¥¦§¨ 2024-2025 !qrw©ª«¬­p3 ®y
‡yŠ‹

na
’“
3
2
1
3
2
3
n
a
a
a
a
n
n
+
+
+
+
=
L
.
(1)

na
 €Kb
(2)¯
4
n
n
n
a
b =
%°

nb
 { n K^
n
S %
4
3
n
S <
.
      
      
z
na
&9:
%
nb
&;
1
q ¹ 9;
%±


n
n
a
b
×
 { n K
n
S }²³&FGHI³%
™´µ¶·¸
z




1
n
na
An
B q
q
=
+
¹
%±


n
n
S
xn
y q
y
=
+

%‰'
1
Aq
x
q
= 
%
1
1
1
Aq
y
Bq
q
q


= 
+






.
¹º»V¼½"¾*%x¿y ÀÁbµÂ°%°Ã
n
S ab%™
1S 
2
S AÄYÅ
³ÆÁǵLÈ.
1p24-25 !qr·vÉ·¡¢£my

na
’“
1
1
3,
2
3
n
n
a
a
a
+
= 
= 
”
(1)



1
na +
&9;

(2)


n
na
 { n K
n
S ”
2”p24-25 !qr·Ê ËÌ·†"‡y9;

na
'%
2
4
120
a
a
+
= 
%
3
5
360
a
a
+
=
”
(1)
na
 €Kb
(2)z


1
1
n
n
n
b
na

= 
%

nb
 { n K
nT ”
      
      
题型三：数列通项及奇偶项讨论问题
1p24-25 !qr·ÍÎϞ·¡¢£myŠ‹

na
 { n K^
n
S %|
1
1
a = %
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
^M
^N
(1)Ž

2
1
n
a

&9:

(2)
2n
S

(3)
2
4
2
2
2
1
1
1
1
2
3
n
n
S
S
S
S

+
+××××××
+
<
1p24-25 !q·Ê Ð€·¡¢£myz

na
 { n K^
n
S %Š‹
1
6
1,
21
a
S
=
=
%
|
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ ^9:
.
(1)

na
 €Kb
(2)
2
,
1
,
n
n
n
n
a n
b
n
a a +
ì
ï
= í
ïî
^M
^N
 %
nb
 {2n K
2n
T .
      
      
2”p24-25!qr·Ñ †Ò·†"‡yŠ‹
na
&9:
%
nb
&ÓK/^Ô
 9;
.|
1
2
a =
%
1
1
b = % 3
2
8
a
b
+
=
%
2
3
a
b
=
.
(1)
na
%
nb
 €Kb
(2)


n
n
a
b
×
 { n K
nT 
(3)
n
n
n
a
n
c
b
n
ì
= í
î
% ^M
% ^N
 %

nc
 { 2n K
2n
S
.
3”p24-25 !qr·ÍÉ·†"‡yŠ‹Õ

2
2
,
,
n
n
f n
n
n
ì
= í
î
Ö ^M
×
Ö ^N
×|



1
na
f n
f n
=
+
+
.
(1)ÀÁ
1a %
2a 
(2)€Kb
na

(3)z
n
S ^

na
 { n K%
n
S 
题型四：数列证明类问题
      
      
1p2025·ØÙڞ·3¬yŠ‹:Â^Û 9:

na
’“
1
1
a = %|
2
4
8
,
,
a a a –9;

”
(1)

na
 €Kb
(2)Ž
ln
1
n
n
a
a
£

(3)

nb
’“
1
2
n
n
n
a a
b
+
=
%Ž
2
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
e
n
b
b
b
b







+
+
+
¼
+
<













pe ^lÜf
 Ýy”
1 p24-25 !qr·Þßޞ·¡¢£myŠ‹
n
S ^

na
 { n K%
nT ^

nb
 
{ n K%
2
1
4
5
1
2
1,
2
,
,
8,
15
2
,
n
n
n
n
n
n
a
a
n
a
a
a b
b
S
n
+
+

+
ì
=

=
=
=
í
î
^M
^N
.
(1)
na
 €Kb
(2)
2
2
2025
n
n
T
S

<
% n à~
      
      
2”p2025·‚ƒ„…·¬­áâyz
n
S ^

na
 { n K%Š‹
1
1,
n
n
S
a
a
ì
ü
=
í
ý
î
þ
&:^
1
2 9:
”¯
2,
3
,
n
n
n
a
n
b
a n

ì
= í
î
^M
^N
%
nT ^

nb
 { n K”
(1)

na
 €Kb
(2)Ž
Ö
3
n 
×%
n
n
T
S

”
题型五：数列型定义问题
 
1p2025·„œœž·¬­áâyzm ^Ôã
%
{
}
na
&äK^1%:^ 

0
d d 
 
9:
%åæ3QÔã
 1
2
1
2
, ,
,
(1
)
m
m
i i
i
i
i
i
£
<
<
<
L
L
%çè
1
2
,
...
m
i
i
i
a
a
a né–9;
%±ê
{
}
na
^m µë
.
(1)fìíÔã
m %îï

na
n
=
&ð^m µë

(2)fìíÔã
m %
{
}
na
&m µë
% d ñòµn~
(3)åæóôõöÔã
 1
2
3
1
2
3
, , ,
(1
)
i i i
i
i
i
£
<
<
<
L
L %çè
nia
&9;
% d ™~š›.
      
      
2p2025·vÉ÷ø·3¬y



1
2
:
,
,
3
n
A a a
a
n 
L
'


* 1
ia
i
n

£ £
N
|fìí 
1
1
2
1,
2
k
k
k
k
n
a
a
a
+

£
£

+

•–—%±ê
 A ^“U 
”.
(1)
1, , ,7
x y
^“U -
”%ùcñòµn ,x y 
(2)“U -
”
1
2
:
,
,
n
A a a
a
L
'%
1
2
1,
1,
2017
n
a
a
a
=
=
=
% n à~.
TYZ[ ,»VµL¬ú%34,ûüýr
©3û
þ™ÿ  —  fTYZĀāÿþ™%ŽĂTYZ ăêĄ	%
©ªû
ąĆÿ  —  ććĈĉTYZ hi¿³±%fñþ™ ÿĀāąĆ%Ċ,ċČ³%ò×µ
LA» čĎď H‹kĀāĐ;%ŽĂđĒ ēĔ+ÂĔ+
©qû
ĕĖė  —  ýĘ&TYZ ęÁ³±%ĚěĜĝęÁ³±ÀÁе%ýĘ&TYZ <=%3
4ğE,ė<= ĠZ%èġ<= 9ĢģĤpý9ĥÅ¿Ħa GħÅ9y
©sû
ÀÁ%èĨP  —  ĨĩíĀāĪī Ĭĭ¹¿ÀÁ%èĨP
1p24-25 !q·Ê Įv·wxyŠ‹
na įİÔã
 n àM
ı
”
(1)‡
7
12
,
a a ~
(2)
2m
m
a
a
=
%
2
1
2
1
m
a
m
=
%‰' m
+
N 
(3)°
1
2
3
2n
n
S
a
a
a
a
=
+
+
+×××+
%
n
S ”
      
      
2”p24-25 !q·IJÉÉij·wxyfˆ

na
%ê

Δ
n
a
^

na
 3¡:C
%‰'


*
1
Δ
n
n
n
a
a
a
n
+
=

N
.fˆÔã
 

2
k k 
%ê

Δk
n
a
^

na
 k ¡:C
%‰'


1
1
1
1
Δ
Δ Δ
Δ
Δ
k
k
k
k
n
n
n
n
a
a
a
a



+
=
=

.Š‹

na
’“
2
1
2
0,
1,Δ
1
n
a
a
a
=
=
= %

nb
’“
2
1
1
1,Δ
2
Δ
n
n
n
n
b
b
b
b +
=
+
+
=
.
(1)

,
n
n
a
b
 €Kb
(2)

n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
 { n K^
n
S %Ž
1
n
S < .
 
.3¿,-
1”p2025·vÎĴĵ·3¬yŠ‹

na

nb
’“


1
1
1
2
1,
1
1,
2
1
n
n
n
n
a
na
n
a
b
b
b
+
=
=
+
+
+
+
+
=

L
”
(1)

na

nb
 €Kb
(2)z

n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
 { n K^
n
S %
6
n
S <
”
      
      
2”p24-25 !q·ijĶķŸ·¡¢£myŠ‹

na
 äK^
2
2 %|
2
1
2
2
n
n
n
a
n
n
a
a
n
n
+
+
=
+
+
.
(1)
na
 €Kb
(2)
2
4n
n
n
n
b
a
×
=
%

nb
 { n K
n
S ”
3”p2025·IJÉĸĹ·¬­áây

na
&;^
1
2 9;
%|
2
1 a

&
1a g
3
1
a
+
 9;'K.
(1)

na
 €Kb
(2)z


2
8log
na

 { n K^
n
S %Ž
1
2
3
1
1
1
1
1
4
n
S
S
S
S
+
+
+
+
<
L
.
4”p24-25 !qr·ÍÎÎĺ·¡¢£myŠ‹9:

na
’“
na %
1
na + &ˆ x ČV
2
4
0
n
x
nx
b

+
=
 
Ļö.
(1)
1a 
(2)z


1
1
n
n
n
n
c
a
b
=
+ 


nc
 {2n K
2n
S
”
      
      
5”p2025·IJÉļĽ·ª¬yŠ‹


na
 { n K^
n
S %
1
1
a = %Ö
2
n 
×


2
1
n
n
n
S
a
S
=

”
(1)


1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
^9:

(2)°
x įİÂľ» x àã
%z


1
lg
lg
n
n
n
b
S
S
é
ù
=
+ ê
ú
ë
û
%

nb
{ 2025 K
nT ”
6”p2024 !q·Ŀŀ·Ł£myŠ‹

na
'%
1
1
a = %
2a
a
=
%


1
2
n
n
n
a
k a
a
+
+
=
+
fìí
*
nN /–—%


na
 { n K^
n
S ”
(1)
na
&9:
% k ~
(2)
1
a = %
1
2
k = 
%
n
S 
(3)&ðåæ˜
 k%ç

na
&;Â^ 1 9;
%|ìíHłqK
m
a %
1
m
a + %
2
m
a + ĜŃńŅņŇ
–9:
ňåæ%cñò k ~Âåæ%¼ʼnŽŊ”
      
      
7”p24-25 !q·6ŋŌōŎ·wxyf3öŏY 

na
 HłĻK]:%èġ3öT

2
1
a
a

%
3
2
a
a

%…%
1
n
n
a
a
+ 
%…¶ö
ê^
na
 3¡:
”ýĘ°Ő
^
nb
%‰'
1
n
n
b
a
a
+
=

%ő
nb
 HłĻK8:%Œœêñè

2
1
b
b

%
3
2
b
b

%…%
1
n
n
b
b
+ 
%…^Ŕ
 ª¡:
”ŕŖĐ¹%f
ìí
N
p
%µLYZ

na
 p ¡:
”ýĘ
na
 p ¡:
&3öŗÛ}
%Œœêđ^ p ¡
9:
”ŘřŚ%3¡9:
Ç&śĒ}ʼn 9:
%ª¡ª¡L 9:
Ŝê^!¡9:

”
(1)

na
 €Kb^
2
1
na
n
=
+ %Ž


na
&ª¡9:
”
(2)

na
 €Kb^
2
na
n
=
%Ž


na
 { n Kb^



1
2
1
6
n
n n
n
S
+
+
=
”
(3)z

na
&3öq¡9:
%‰{ŝ ŞK^ 1%2%8%22%47%86%…%

na
 €Kb”
1”p2023·TUşⅡŠ·!"šyŠ‹
na
^9:
%
6,
2
,
n
n
n
a
n
b
a n

ì
= í
î
^M
^N
%°
n
S %
nT Cř^

na
%

nb
 { n K%
4
32
S =
%
3
16
T =
”
(1)
na
 €Kb
(2)Ž
Ö
5
n 
×%
n
n
T
S

”
      
      
2”p2023·ĿŀŢŠ·!"šyz
n
S ^

na
 { n K%Š‹
2
1,2
n
n
a
S
na
=
=
”
(1)
na
 €Kb
(2)

1
2
n
n
a +
ì
ü
í
ý
î
þ { n K
nT ”
3”p2022·ĿŀŢŠ·!"šy°
n
S ^

na
 { n K”Š‹ 2
2
1
n
n
S
n
a
n +
=
+ ”
(1)Ž

na
&9:

(2)
4
7
9
,
,
a a a –9;
%
n
S à.~”
4”p2022·T!"ĿŀⅠŠ·!"šy°
n
S ^

na
 { n K%Š‹
1
1,
n
n
S
a
a
ì
ü
=
í
ý
î
þ
&:^ 1
3 9:
”
(1)
na
 €Kb
(2)Ž
1
2
1
1
1
2
n
a
a
a
+
+
+
<
L
”
      
      
5”p2022·T!"ĿŀⅡŠ·!"šyŠ‹
na
^9:
%
nb
&;^ 2 9;
%|
2
2
3
3
4
4
a
b
a
b
b
a

=

=

”
(1)Ž
1
1
a
b
=

(2)ţĩ

1,1
500
k
m
k b
a
a
m
=
+
£
£
'Ťťö
”
6”p2021·ĿŀŦŠ·!"šy°
n
S ^

na
 { n K%
nb ^

n
S
 { n Kŧ%Š‹
2
1
2
n
n
S
b
+
=
”
p1yŽ


nb
&9:
;
p2y
na
 €Kb”
7”p2021·Ŀŀ·!"šyŠ‹

na
 ÓKŨ^Ô
%°
n
S ^
na
 { n K%ũrŝ①②③'
™Ļö]^ģĤ%ŽŪū3ö–—”
①

na
&9:

②


n
S
&9:
③
2
1
3
a
a
=
”

ŬÂĔ QĩCř,-%±Ĝ©3ö,-ÀC”
      
      
8”p2021·T!"ĿŀⅠŠ·!"šyŠ‹

na
’“
1
1
a = %
1
1,
,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
^M
^N
p1y°
2
n
n
b
a
=
%ùc
1b %
2b %Œ

nb
 €Kb
p2y
na
 { 20 K.
9”p2021·T!"ĿŀⅡŠ·!"šy°
n
S &:Â^ 0 9:

na
 { n K%
3
5
2
4
4
,
a
S a a
S
=
=
”
p1y

na
 €Kb
na 
p2yç
n
n
S
a

–— n à.~”