第03讲一元函数的导数及其应用（2022-2024高考真题）（原卷版）

      
      
第03 讲 一元函数的导数及其应用（2022-2024 高考真题）
（新高考专用）

12024·· !"#$
𝑓(𝑥) =
e𝑥+2sin𝑥
1+𝑥2 %&'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(0,1)+,-(./012345,
678,9:;   "
A
1
6
B
1
3
C
1
2
D
2
3
22024·<=· !">?$
𝑓(𝑥),@AB; R%@ACD𝑀=
{𝑥0|𝑥0 ∈𝑅 ,𝑥∈(−∞,𝑥0),𝑓(𝑥)< 𝑓(𝑥0)}%)EF𝑀= [−1,1],3G𝑓(𝑥)H%IJ5K,L    "
AM)𝑓(𝑥)LN$
BM)𝑓(𝑥))𝑥= 2+OPQR
CM)𝑓(𝑥)LSTU$
DM)𝑓(𝑥))𝑥=−1+OVWXR
32023·· !"$
𝑓(𝑥) = 𝑥3 +𝑎𝑥+ 2M) 3 YZ*%&𝑎,OR[4L    "
A(−∞,−2)
B(−∞,−3)
C(−4,−1)
D(−3,0)
42023·· !"'(𝑦=
e𝑥
𝑥+1)* 1, e
2 +,-(\];    "
A𝑦=
e
4𝑥
B𝑦=
e
2𝑥
C𝑦=
e
4𝑥+
e
4
D𝑦=
e
2𝑥+
3e
4
52023·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑎e𝑥−ln𝑥)^_(1,2)<`aU%& a ,PXR;    "
Ae2
Be
Ce−1
De−2
62022·· !"$
𝑓(𝑥) = cos𝑥+ (𝑥+ 1)sin𝑥+ 1)^_[0,2π],PXRPQRbc;    "
A−
π
2，
π
2
B−
3π
2 ，
π
2
C−
π
2，
π
2 +2
D−
3π
2 ，
π
2 +2
72022·· !">?𝑎=
31
32,𝑏= cos
1
4,𝑐= 4sin
1
4%&    "
A𝑐> 𝑏> 𝑎
B𝑏> 𝑎> 𝑐
C𝑎> 𝑏> 𝑐
D𝑎> 𝑐> 𝑏
82022·· !"d𝑥= 1e%$
𝑓(𝑥) = 𝑎ln𝑥+
𝑏
𝑥OFPQR−2%&𝑓′(2) =     "
A−1
B−
1
2
C
1
2
D1
92022·· !">?fghi,jhk; l%lmn*o)pq9<.rsq,t:;36𝜋%u
3 ≤𝑙≤3 3%&sfghit:,OR[4L    "
A 18, 81
4
B 27
4 , 81
4
C 27
4 , 64
3
D[18,27]
      
      
102022·· !"#𝑎= 0.1e0.1,𝑏=
1
9，𝑐= −ln0.9%&    "
A𝑎< 𝑏< 𝑐
B𝑐< 𝑏< 𝑎
C𝑐< 𝑎< 𝑏
D𝑎< 𝑐< 𝑏
vw
112024·· !"#$
𝑓(𝑥) = 2𝑥3−3𝑎𝑥2 +1%&    "
Ad𝑎> 1e%𝑓(𝑥)G6YZ*
Bd𝑎<0e%𝑥= 0L𝑓(𝑥),WQR*
CM) a%b%EF𝑥= 𝑏;'(𝑦= 𝑓(𝑥),xy2
DM) a%EF*(1,𝑓(1));'(𝑦= 𝑓(𝑥),xyHz
122024·· !"#$
𝑓(𝑥) = (𝑥−1)2(𝑥−4)%&    "
A𝑥= 3L𝑓(𝑥),WXR*
Bd0 < 𝑥< 1e%𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥2)
Cd1 < 𝑥< 2e%−4 < 𝑓(2𝑥−1) < 0
Dd−1 < 𝑥< 0e%𝑓(2−𝑥) > 𝑓(𝑥)
132023·· !">?$
𝑓(𝑥),@AB;𝑅%𝑓(𝑥𝑦) = 𝑦2𝑓(𝑥) + 𝑥2𝑓(𝑦)%&    "
A𝑓(0) = 0
B𝑓(1) = 0
C𝑓(𝑥)LN$
D𝑥= 0;𝑓(𝑥),WXR*
142023·· !"r$
𝑓(𝑥) = 𝑎ln𝑥+
𝑏
𝑥+
𝑐
𝑥2(𝑎≠0){GWQR|GWXR%&    "
A𝑏𝑐> 0
B𝑎𝑏> 0
C𝑏2 +8𝑎𝑐> 0
D𝑎𝑐< 0
152022·· !">?$
𝑓(𝑥) = sin(2𝑥+ 𝜑)(0 < 𝜑< π),}~* 2π
3 ,0 Hzxy%&
    "
A𝑓(𝑥))^_ 0, 5π
12 `a€
B𝑓(𝑥))^_ −π
12 , 11π
12 G/YWR*
C(𝑥=
7π
6 L'(𝑦= 𝑓(𝑥),xy2
D(𝑦=
3
2 −𝑥L'(𝑦= 𝑓(𝑥),-(
162022·· !">?$
𝑓(𝑥)‚lƒ$
𝑓′(𝑥),@AB„;𝑅%…𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)%r𝑓3
2 −2𝑥%
𝑔(2 + 𝑥)„;N$
%&    "
A𝑓(0) = 0
B𝑔−1
2 = 0
C𝑓(−1) = 𝑓(4)
D𝑔(−1) = 𝑔(2)
172022·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑥3−𝑥+ 1%&    "
      
      
A𝑓(𝑥)G/YWR*
B𝑓(𝑥)G6YZ*
C*(0,1)L'(𝑦= 𝑓(𝑥),xyHz
D(𝑦= 2𝑥L'(𝑦= 𝑓(𝑥),-(
6†‡
182024·· !"'(𝑦= 𝑥3−3𝑥.𝑦= −(𝑥−1)2 +𝑎)(0, + ∞)<G/Yˆp,‰*%&𝑎,OR
[4;      

192024·· !"r'(𝑦= e𝑥+𝑥)*(0,1)+,-(|L'(𝑦= ln(𝑥+ 1) + 𝑎,-(%&𝑎=
      
.
202023·· !"#𝑎∈(0,1)%r$
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ (1 + 𝑎)𝑥)(0, + ∞)<`aU%& a ,OR[
4L      
.
212022·· !"'(𝑦= ln|𝑥|Š01‹*,/Œ-(,\];      
%      

222022·· !">?𝑥= 𝑥1𝑥= 𝑥2bcL$
𝑓(𝑥) = 2𝑎𝑥−e𝑥2𝑎> 0u𝑎≠1",WXR*
WQR*r𝑥1 < 𝑥2%& a ,OR[4L      

232022·· !"r'(𝑦= (𝑥+ 𝑎)e𝑥G/ŒŠ01‹*,-(%& a ,OR[4L      

gŽ
242024·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥−1)−ln𝑥+ 1
(1)𝑓(𝑥),`^_‘
(2)d𝑎≤2e%’“
d𝑥> 1e%𝑓(𝑥) < e𝑥−1”5K
252024·· !">?$
𝑓(𝑥) = ln
𝑥
2−𝑥+𝑎𝑥+ 𝑏(𝑥−1)3
(1)r𝑏= 0%u𝑓′(𝑥) ≥0%𝑎,PXR‘
(2)’“
'(𝑦= 𝑓(𝑥)LHzxy}8‘
(3)r𝑓(𝑥) > −2du•d1 < 𝑥< 2%𝑏,OR[4
      
      
262024·· !">?$
𝑓(𝑥) = (1−𝑎𝑥)ln(1 + 𝑥)−𝑥
(1)d𝑎= −2e%𝑓(𝑥),WR‘
(2)d𝑥≥0e%𝑓(𝑥) ≥0%𝑎,OR[4
272024·–—· !"#$
𝑓(𝑥) = 𝑥ln𝑥
(1)𝑓(𝑥)}˜<*(1,𝑓(1))+,-(\]‘
(2)r𝑓(𝑥) ≥𝑎(𝑥−𝑥))𝑥∈(0, + ∞)e”5K%𝑎,R‘
(3)r𝑥1,𝑥2 ∈(0,1)%’“|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)| ≤|𝑥1−𝑥2|
1
2
282024·™š· !"#$
𝑓(𝑥) = 𝑥+ 𝑘ln(1 + 𝑥)(𝑘≠0)%(𝑙L'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(𝑡,𝑓(𝑡))(𝑡> 0)
+,-(
(1)d𝑘= −1e%𝑓(𝑥),`^_.
(2)’
𝑙ˆ›Š*(0,0).
(3)d𝑘= 1e%#*𝐴(𝑡,𝑓(𝑡))(𝑡> 0)%𝐶(0,𝑓(𝑡))%𝑂(0,0)%𝐵;𝑙.𝑦2,‰*%𝑆△𝐴𝐶𝑂.𝑆△𝐴𝐵𝑂bcœ △𝐴𝐶𝑂
. △𝐴𝐵𝑂,9:LžM)*𝐴EF2𝑆△𝐴𝐶𝑂= 15𝑆△𝐴𝐵𝑂5KŸrM)% ¡,*𝐴G¢YŸ
£ 
¤
1.09 < ln3 < 1.10%1.60 < ln5 < 1.61%1.94 < ln7 < 1.95"
292024·· !">?$
𝑓(𝑥) = e𝑥−𝑎𝑥−𝑎3
(1)d𝑎= 1e%'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(1,𝑓(1))+,-(\]‘
(2)r𝑓(𝑥)GWXR%uWXRX 0% a ,OR[4
      
      
302024·<=· !"xY$
𝑓(𝑥)Y*𝑀(𝑎,𝑏)%¥𝑠(𝑥) = (𝑥−𝑎)2 + (𝑓(𝑥)−𝑏)2%r𝑃(𝑥0,𝑓(𝑥0))
L𝑠(𝑥)OVPXR,*%&y𝑃L𝑀)𝑓(𝑥),“P¦*”
(1)x𝑓(𝑥) =
1
𝑥(𝑥> 0)%’
x*𝑀(0,0)%M)*𝑃%EF*𝑃L𝑀)𝑓(𝑥),“P¦*”‘
(2)x𝑓(𝑥) = e𝑥,𝑀(1,0)%§¨©LžM)Y*𝑃%ªL𝑀)𝑓(𝑥),“P¦*”%u(𝑀𝑃.𝑦= 𝑓(𝑥))*𝑃
+,-(«‘
(3)>?𝑦= 𝑓(𝑥))@AB R <M)ƒ$
𝑓′(𝑥)%u$
 𝑔(𝑥) )@AB R <”f%#*𝑀1
(𝑡−1,𝑓(𝑡)−𝑔(𝑡))%𝑀2(𝑡+ 1,𝑓(𝑡)+ 𝑔(𝑡))rx¬­,𝑡∈𝑅%M)*𝑃peL𝑀1,𝑀2)𝑓(𝑥),“P¦*”%®¨
©𝑓(𝑥),`¯
312023·™š· !"#$
𝑓(𝑥) = 𝑥−𝑥3e𝑎𝑥+𝑏%'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(1,𝑓(1))+,-(\];
𝑦= −𝑥+ 1
(1)𝑎,𝑏,R‘
(2)#$
𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)%𝑔(𝑥),`^_‘
(3)𝑓(𝑥),WR*Y

322023·· !">?$
𝑓(𝑥) =
1
𝑥+ 𝑎ln(1 + 𝑥)
(1)d𝑎= −1e%'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(1,𝑓(1))+,-(\]
(2)r$
𝑓(𝑥))(0, + ∞)`aU%𝑎,OR[4
      
      
332023·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−
sin𝑥
cos2𝑥,𝑥∈0, π
2 
(1)d𝑎= 1e%°±𝑓(𝑥),`¯‘
(2)r𝑓(𝑥) + sin𝑥< 0%𝑎,OR[4
342023·· !">?$
𝑓(𝑥) =
1
𝑥+ 𝑎ln(1 + 𝑥).
(1)d𝑎= −1e%'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(1,𝑓(1))+,-(\]‘
(2)LžM) a%b%EF'(𝑦= 𝑓1
𝑥(𝑥= 𝑏xy%rM)% a%b ,R%rˆM)%²“³.
(3)r𝑓(𝑥))(0, + ∞)M)WR% a ,OR[4.
352023·–—· !">?$
𝑓(𝑥) =
1
𝑥+ 1
2 ln(𝑥+ 1)
(1)'(𝑦= 𝑓(𝑥))𝑥= 2+,-(´µ‘
(2)’
d𝑥> 0e%𝑓(𝑥) > 1‘
(3)’“
5
6 < ln(𝑛!)−𝑛+ 1
2 ln𝑛+ 𝑛≤1
      
      
362023·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑎(e𝑥+ 𝑎)−𝑥
(1)°±𝑓(𝑥),`¯‘
(2)’“
d𝑎> 0e%𝑓(𝑥) > 2ln𝑎+
3
2
372023·· !"1"’“
d0 < 𝑥< 1e%𝑥−𝑥2 < sin𝑥< 𝑥‘
2">?$
𝑓(𝑥) = cos𝑎𝑥−ln(1−𝑥2)%r𝑥= 0L𝑓(𝑥),WQR*% a ,OR[4
382022·–—· !">?𝑎，𝑏∈𝑅%$
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥−𝑎sin𝑥,𝑔(𝑥) = 𝑏𝑥
(1)$
𝑦= 𝑓(𝑥))(0,𝑓(0))+,-(\]‘
(2)r𝑦= 𝑓(𝑥)𝑦= 𝑔(𝑥)G¶*%
i"d𝑎= 0e%𝑏,OR[4‘
ii"’
𝑎2 + 𝑏2 > e
392022·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−
1
𝑥−(𝑎+ 1)ln𝑥
(1)d𝑎= 0e%𝑓(𝑥),PQR‘
(2)r𝑓(𝑥)·GYZ*% a ,OR[4
      
      
402022·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑥3−𝑥,𝑔(𝑥) = 𝑥2 +𝑎%'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(𝑥1,𝑓(𝑥1))+,-(|L
'(𝑦= 𝑔(𝑥),-(
(1)r𝑥1 = −1% a‘
(2) a ,OR[4
412022·¸¹· !"#$
𝑓(𝑥) =
e
2𝑥+ ln𝑥(𝑥> 0)
(1)𝑓(𝑥),`^_‘
(2)>?𝑎,𝑏∈𝑅%'(𝑦= 𝑓(𝑥)<ˆp,6*(𝑥1,𝑓(𝑥1)),(𝑥2,𝑓(𝑥2)),(𝑥3,𝑓(𝑥3))+,-(o›Š*(𝑎,𝑏)’“
ⅰ"r𝑎> e%&0 < 𝑏−𝑓(𝑎) <
1
2
𝑎
e −1 ‘
ⅱ"r0 < 𝑎< e,𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3%&
2
e +
e−𝑎
6e2 <
1
𝑥1 +
1
𝑥3 <
2
𝑎−
e−𝑎
6e2

e = 2.71828⋯Lº»x
,¼
"
422022·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
𝑥−ln𝑥+ 𝑥−𝑎
(1)r𝑓(𝑥) ≥0% a ,OR[4‘
(2)’“
r𝑓(𝑥)G/YZ*𝑥1,𝑥2%&𝑥1𝑥2 < 1
432022·· !">?$
𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑥) +𝑎𝑥e−𝑥
(1)d𝑎= 1e%'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(0,𝑓(0))+,-(\]‘
      
      
(2)r𝑓(𝑥))^_(−1,0),(0, + ∞)m·GYZ*% a ,OR[4
442022·™š· !">?$
𝑓(𝑥) = e𝑥ln(1 + 𝑥)
(1)'(𝑦= 𝑓(𝑥))*(0,𝑓(0))+,-(\]‘
(2)#𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)%°±$
𝑔(𝑥))[0, + ∞)<,`¯‘
(3)’“
x¬­,𝑠,𝑡∈(0, + ∞)%G𝑓(𝑠+ 𝑡) > 𝑓(𝑠) + 𝑓(𝑡)
452022·· !">?$
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥−𝑎𝑥𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥−ln𝑥G½p,PXR
(1) a‘
(2)’“
M)(𝑦= 𝑏%l./Œ'(𝑦= 𝑓(𝑥)𝑦= 𝑔(𝑥)¶G6Yˆp,‰*%¾u¿ÀVÁ,6Y‰*
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