59.空间垂直证明中的一些重要构型
一般的空间垂直（线面垂直或者面面垂直）基本都是一个平面垂直加一个线面或者面面垂
直得到，关于平面垂直，注意到通常以四棱锥，三棱柱，四棱柱为主，前者底面为四边
形，后者的侧面为平行四边形，如此的话，我们需要关注一些特殊四边形中的垂直，这些
垂直都是常出现在空间垂直的证明过程中的.
一．平面四边形中的一些重要垂直关系
1.等腰梯形：如图1，我们可以证得
，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现
DB
AD
的垂直情形.
图1 图2
2.内角为
的菱形，如图2，
，
为
中点，则
.
120
120
BAD
E
CD
CD
AE
3.内角为
的平行四边形，如图3，
，
，则
.
120
120
ABC
AB
AC
2
BC
AB
图3 图4
4.如图4，正方形中（边长为1:1 的矩形），
为中点，则
.
F
E,
BE
AF
5.如图5，边长为2:3 的矩形，可以看做是4 的推广，有
.
BH
BE :
图5
例1.(2022 年全国甲卷)·第18 题)
在四棱锥
中，
底面
．
P
ABCD
PD
,
,
1,
2,
3
ABCD CD
AB AD
DC
CB
AB
DP
∥
（1）证明：
；
BD
PA
（2）求PD 与平面
所成的角的正弦值．
PAB
解析：考察图1
（1）证明：在四边形
中，作
于
，
于
，因为
ABCD
DE
AB
E
CF
AB
F
，所以四边形
为等腰梯形，所以
，
/ /
,
1,
2
CD
AB AD
CD
CB
AB
ABCD
1
2
AE
BF
故
，
，所以
，所以
，因为
3
2
DE
2
2
3
BD
DE
BE
2
2
2
AD
BD
AB
AD
BD
平面
，
平面
，所以
，又
，所以
平
PD
ABCD
BD
ABCD
PD
BD
PD
AD
D
BD
面
，又因
平面
，所以
.
PAD
PA
PAD
BD
PA
例2．(2021 年高考浙江卷）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
P
ABCD
ABCD
，M，N 分别为
的中点，
120 ,
1,
4,
15
ABC
AB
BC
PA
,
BC PC
．
,
PD
DC PM
MD
（1）证明：
；
AB
PM
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
AN
PDM
解析：考察图3
解析:（1）在
中，
，
，
，由余弦定理可得
，
DCM
△
1
DC
2
CM
60
DCM
3
DM
所以
，
．由题意
且
，
平面
2
2
2
DM
DC
CM
DM
DC
DC
PD
PD
DM
D
DC
，而
平面
，所以
，又
，所以
．
PDM
PM
PDM
DC
PM
/ /
AB
DC
AB
PM
例3．(2021 年高考全国甲卷理科·第19 题)已知直三棱柱
中，侧面
1
1
1
ABC
A B C
1
1
AA B B
为正方形，
，E，F 分别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
2
AB
BC
AC
1
CC
1
1
A B
1
1
BF
A B
（1）证明：
；
BF
DE
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
1
B D
1
1
BB C C
DFE
解析：考察图4.
因为
，所以
．
1
1
1
1
,
/ /
BF
A B A B
AB
BF
AB
又因为
，
，所以
平面
．又因为
，构造正
1
AB
BB
1
BF
BB
B
AB
1
1
BCC B
2
AB
BC
方体
，如图所示，过E 作
的平行线分别与
交于其中点
1
1
1
1
ABCG
A B C G
AB
AG
BC
，
,
M N
，连接
，因为E，F 分别为
和
的中点，所以
是BC 的中点，
1
1
,
A M B N
AC
1
CC
N
易证
，则
．
1
Rt
Rt
BCF
B BN
A
A
1
CBF
BB N
又因为
，所以
．
1
1
90
BB N
B NB
1
1
90
CBF
B NB
BF
B N
，
又因为
，所以
平面
．
1
1
1
1
1
1
,
BF
A B B N
A B
B
BF
1
1
A MNB
又因为
平面
，所以
．
ED
1
1
A MNB
BF
DE
例4．如图，在三棱柱
中，已知
底面
，
，
，
1
1
1
ABC
A B C
1
AA
1
1
1
A B C
1
3
AA
AB
AC
，D 为
的中点，点F 在棱
上，且
，E 为线段
上的动点.
2
BC
BC
1
BB
2
BF
AD
（1）证明：
；
1
C F
EF
（2）若直线
与
所成角的余弦值为
，求二面角
的余弦值.
1
C D
EF
10
6
1
E
FC
D
解析：考察图5
解析：在三棱柱
中，
底面
，所以三棱柱
是直三棱
1
1
1
ABC
A B C
1
AA
1
1
1
A B C
1
1
1
ABC
A B C
柱，则
，因为
，所以
，又因为
， D 为
的中点，
1
AA
AD
1
1
/ /
AA
BB
1
BB
AD
AB
AC
BC
所以
,又
，所以
平面
，则
，
BC
AD
1
BB
BC
B
AD
1
1
BB C C
1
AD
C F
易知
，则
，因为
，
1
1
FBD
C B F
A
A
1
1
DFB
FC B
1
1
1
1
90
C FB
FC B
三条
，则
，即
，又
，
1
1
90
DFB
C FB
1
90
C FD
1
C F
FD
FD
AD
D
所以
平面
，所以
；
1
C F
ADF
1
C F
EF
二．一些常见的空间垂直模型
模型1.“筝形翻折模型”
结论：如图，
，设
为
中点，则
，故
DC
DB
AC
AB
,
O
BC
BC
DO
BC
AO
,
面
，则
.
BC
AOD
AD
BC
模型2. 面面垂直找交线，找到交线引垂线.
下面的例6-例8 均考察上述模型1：“筝形翻折模型”
例6.(2022 年全国乙卷数学)
如图，四面体
中，
，
为
的中点．
ABCD
,
,
AD
CD AD
CD
ADB
BDC
E
AC
（1）证明：平面
平面
；
BED
ACD
（2）设
，点
在
上，当
的面积最小时，求
2,
60
AB
BD
ACB
F
BD
AFC
△
CF
与平面
所成的角的正弦值．
ABD
解析：（1）因为
，E 为
的中点，所以
；在
和
中，
AD
CD
AC
AC
DE
ABD
△
CBD
A
因为
，所以
，所以
，
,
,
B
A
C
D
CD
ADB
DB DB
D
ABD
CBD
≌
△
△
AB
CB
又因为E 为
的中点，所以
；又因为
平面
，
AC
AC
BE
,
DE BE
BED
DE
BE
E
，所以
平面
，因为
平面
，所以平面
平面
．
AC
BED
AC
ACD
BED
ACD
例7．(2021 年新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
A
BCD
ABD
BCD
，
AB
AD
为
的中点．
O
BD
（1）证明：
；
OA
CD
（2）若
是边长为1的等边三角形，点
在棱
上，
，且二面角
OCD
A
E
AD
2
DE
EA
的大小为
，求三棱锥
的体积．
E
BC
D
45
A
BCD
解析：（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD
平面BCD
,
=BD
平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为
平面BCD，所
AO
CD
以AO⊥CD
（2）作EF⊥BD 于F, 作FM⊥BC 于M,连FM，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,
AO⊥CD，所以EF⊥BD, EF⊥CD,
,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因为
BD
CD
D
FM⊥BC，
,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF 则
为二面角E-BC-D
FM
EF
F
I
EMF
的平面角,
，因为
,
为正三角形,所以
为直角三角形，因
4
EMF
BO
OD
OCD
A
OCD
A
为
,
，从而EF=FM=
，
平面BCD,
2
BE
ED
1
1
1
2
(1
)
2
2
3
3
FM
BF
2
1
3
AO
AO
Q
所以
1
1
1
3
1
1
3
3
3
2
6
BCD
V
AO S
例8．（2017 新课标3 卷）如图，四面体
中，
是正三角形，
是直角
ABCD
ABC
ACD
三
角形，
，
．
ABD
CBD
AB
BD
（1）证明：平面
⊥平面
；
ACD
ABC
（2）过
的平面交
于点
，若平面
把四面体
分成体积相等的两部
AC
BD
E
AEC
ABCD
分，求二面角
的余弦值．
D
AE
C
A
B
C
D
E
解析：（1）由题设可得，
，从而
.又
是直角三角
ABD
CBD
≌
△
△
AD
DC
ACD
△
形，所以
.取AC 的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
=90
ADC
又由于
是正三角形，故
.所以
为二面角
的平面角.
ABC
A
BO
AC
DOB
D
AC
B
在
中，
.又
，所以
Rt AOB
A
2
2
2
BO
AO
AB
AB
BD
，故
.所以平面ACD⊥平面ABC.
2
2
2
2
2
2
BO
DO
BO
AO
AB
BD
90
DOB
下面的例9 考察了面面垂直模型：面面垂直找交线，找到交线引垂线
例9.如图，边长为
的正方形
所在平面与半圆弧
所在的平面垂直，
是弧
2
ABCD
CD
M
CD
上异于
的点．
,
C D
（1）证明：平面
平面
；
AMD
BMC
（2）当三棱锥
体积最大时，求面
与面
所成二面角的正弦值．
M
ABC
MAB
MCD
证明：由题设知，平面
平面
，交线为
因为
，
平面
CMD
ABCD
CD
BC
CD
BC
，所以
平面
，故
因为
为
上异于
的点，且
ABCD
BC
CMD
BC
DM
M
ACD
,
C D
DC
为直径，所以
又
，所以
平面
而
平面
DM
CM
BC
CM
C
DM
BMC
DM
，故平面
平面
AMD
AMD
