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第4 节 简单的三角恒等变换
考试要求 1.会根据相关公式进行化简和求值. 2.会利用三角函数式的化简与求值
解决一些简单的问题.
考点一 三角函数式的化简
例1 化简：(1)＝______.
答案 cos 2x
解析 原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
(2)·＝________.
答案
解析 原式＝
(－)·(1＋·)
＝·
＝·＝.
感悟提升 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式
子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补
等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
训练1 (1)2＋等于( )
A.2cos 2
B.2sin 2
C.4sin 2＋2cos 2
D.2sin 2＋4cos 2
答案 B
解析 2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵＜2＜π，∴cos 2＜0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，＜2＋＜π，
∴sin 2＋cos 2＞0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
(2)已知0＜θ＜π，则
＝________.
答案 －cos θ
解析 原式＝
＝
＝＝－cos θ.
考点二 三角函数式的求值
角度1 给角求值
例2 (1)sin 40°(tan 10°－)等于( )
A.2
B.－2
C.1
D.－1
答案 D
解析 sin 40°·(tan 10°－)
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·＝sin 40°·
＝＝＝－1.
(2)计算：(1＋tan 13°)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)·(1＋tan 32°)＝________.
答案 4
解析 ∵1＝tan 45°＝tan(13°＋32°)
＝，
∴tan 13°＋tan 32°＝1－tan 13°tan 32°，
即tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝1，
∴(1＋tan 13°)(1＋tan 32°)＝1＋tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝2，
同理可得(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝2.
∴(1＋tan 13°)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 32°)＝4.
角度2 给值求值
例3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(
)
A.
B.
C.－
D.－
答案 B
解析 依题意，得
所以sin αcos β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝＋＝，
所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)
＝1－2×＝.
(2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
角度3 给值求角
例4 已知α，β 均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝
________.
答案
解析 因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β 均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
＝×－×＝.
因为α 为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β 为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
感悟提升 1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某
种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
2.给值(角)求值问题的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
训练2 (1)(2024·武汉调研)已知sin αsin＝3cos αsin，则cos＝( )
A.－
B.－1
C.
D.
答案 C
解析 sin αsin＝sin αsin
＝sin αcos＝3cos αsin，
所以tan α＝3tan，
则tan α＝3·＝，
所以tan2α＋2tan α＋3＝0，
则tan α＝－，故tan＝－，
所以cos＝
＝＝.
(2)(2024·盐城模拟)＝____.
答案 －
解析 法一
＝＝
＝＝－.
法二 ＝
＝＝－.
(3)(2024·烟台调研)若<β<π<α<，且cos(α＋β)＝－，sin 2β＝，则α－β＝______.
答案
解析 因为<β<π，所以<2β<2π.
sin 2β＝>0，所以<2β<π，
所以<β<，所以－<－β<－，
因为π<α<，
所以<α－β<，<α＋β<2π.
因为<2β<π，sin 2β＝，
所以cos 2β＝－.
因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝－.
所以sin(α－β)＝sin[(α＋β)－2β]
＝sin(α＋β)cos 2β－cos(α＋β)sin 2β
＝－×－×＝，
所以α－β＝.
考点三 三角恒等变换的综合应用
例5 已知函数f(x)＝sin＋·cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f(2θ＋)的值.
解 (1)由题意得
f(x)＝sin＋cos
＝×
＝－sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－sin＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝.
感悟提升 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角
之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
2.形如y＝asin x＋bcos x 化为y＝·sin(x＋φ)，可进一步研究函数的性质.
训练3 已知f(x)＝sin＋
2sin·cos.
(1)求f 的值；
(2)若锐角α 满足f(α)＝，求sin 2α 的值.
解 (1)由题意得
f(x)＝sin＋2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－sin
＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
故f＝sin＝0.
(2)∵α∈，∴2α＋∈，
又∵f(α)＝，∴f(α)＝sin＝，
又∵sin＝<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos －cossin
＝×＋×＝.
【A 级 基础巩固】
1.(2024·武汉质检)已知tan α＝，则＝( )
A.－2
B.－
C.
D.2
答案 D
解析 因为tan α＝，所以＝＝＝＝2.
2.(2024·宝鸡模拟)sin 15°cos 45°＋sin 105°sin 135°＝( )
A.
B.
C.
D.1
答案 C
解析 因为sin 105°＝sin(90°＋15°)＝cos 15°，
sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°，
所以sin 15°cos 45°＋sin 105°sin 135°＝sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°＝sin(15°＋
45°)＝sin 60°＝.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α 为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 法一 由题意，cos α＝＝1－2sin2，
得sin2＝＝＝，
又α 为锐角，所以sin>0，
所以sin＝.
法二 由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝，将选项逐个代入验证可知D 选项
满足.
4.(2024·西安模拟)我国古代天文学家僧一行在《太衍历》中建立了晷影长l 与太
阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界上较早的一张正切函数表.根据三
角学知识可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距θ 正切值的乘积，即l＝htan θ.
对同一“表高”两次测量，第一次和第二次的太阳天顶距分别为α，β，且tan(α
－β)＝，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表
高”的( )
A.1 倍
B.2 倍
C.3 倍
D.4 倍
答案 B
解析 依题意，tan β＝1，
则tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝2，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2 倍.
5.(2024·东北三校联考)若sin＋cos 2α＝，则tan α＝( )
A.
B.1
C.2－
D.2＋
答案 C
解析 由sin＋cos 2α＝，
可得sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋cos 2α＝，
所以＝，
即sin＝1，
解得2α＋＝＋2kπ，k∈Z，
即α＝＋kπ，k∈Z，
则tan α＝tan＝tan ＝tan
＝＝＝2－.
6.(2024·河北省级联测)若α∈，＝，则cos＝( )
A.
B.
C.
D.0
答案 C
解析 由＝，
得3(1＋tan2α)＝8×
＝8×，
则3(1＋tan2α)2＝8－8tan2α，
解得tan2α＝(负值舍去).
因为α∈，所以tan α＝，
所以α＝，所以cos＝cos ＝.
7.(多选)下列各式与tan α 相等的是( )
A.
B.·(α∈(0，π))
C.
D.
答案 BC
解析 A 中，＝＝＝|tan α|；
B 中，因为α∈(0，π)，
所以原式＝·＝＝tan α；
C 中，＝＝tan α；
D 中，＝＝.故选BC.
8.求值：＝________.
答案 8
解析 原式＝
＝＝
＝＝8.
9.(2024·青岛调研)已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)＝
________.
答案
解析 因为sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝，
故(sin α＋sin β)2＝sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝1，
(cos α＋cos β)2＝cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝2，
以上两式相加可得
2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝3，
即2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
故cos(α－β)＝.
10.已知α∈，tan ＝，则α＝________.
答案
解析 由tan ＝＝，得
sin ＝cos ，
∴sin cos α＋sin cos
＝cos sin α－cos sin ，
即sin cos ＋cos sin
＝cos sin α－sin cos α，
即sin ＝sin，
∵α∈，∴α－∈，
∴＝α－，得α＝＋＝.
11.化简并求值.
(1)；
(2)·.
解 (1)原式＝
＝
＝
＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝
＝＝32.
12.(2024·舟山调研)已知2sin α＝2sin2－1.
(1)求sin αcos α＋cos 2α 的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β 的值.
解 (1)由已知得2sin α＝－cos α，
所以tan α＝－.
sin αcos α＋cos 2α＝
＝＝.
(2)由tan2β－6tan β＝1，
可得tan 2β＝＝－，
则tan(α＋2β)＝
＝＝－1.
因为β∈，所以2β∈(0，π)，
又tan 2β＝－＞－，则2β∈，
因为α∈(0，π)，tan α＝－＞－，
则α∈，则α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
【B 级 能力提升】
13.(2024·广东大联考)设sin 20°＝m，cos 20°＝n，则－＝( )
A.
B.－
C.
D.－
答案 A
解析 法一 －
＝－
＝－
＝－
＝－＝＝.
法二 ＝
＝tan 55°＝＝，
原式＝－＝＝.
14.(多选)(2024·湖南名校联考)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β 为锐
角，以下判断正确的是( )
A.sin 2α＝
B.cos(α－β)＝
C.cos αcos β＝
D.tan αtan β＝
答案 AC
解析 由题意，易得α＋β∈，2α∈，
所以sin 2α＝＝，故A 正确；
sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝，故B 错误；
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝×＝，故C 正确；
sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝×＝，
所以tan αtan β＝＝，故D 错误.
15.(2024·河南部分学校联考)写出使等式＋＝2 成立的一个α 的值________.
答案 (答案不唯一)
解析 由＋
＝
＝＝2，
得sin＝sin，
所以＋＝(2k＋1)π(k∈Z)，
解得α＝kπ＋(k∈Z)，
当k＝0 时，α＝，
所以可取α＝(答案不唯一).
16.(2024·长春质检)(1)已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan；
(2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ；
(3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β 的值.
解 (1)因为tan(α＋β)＝，tan＝，
所以tan＝tan
＝
＝＝.
(2)由<θ<，得<2θ<π，
∴sin 2θ＝＝，
sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ＝2××＝－，
cos 4θ＝2cos22θ－1＝2×－1
＝－1＝.
(3)由0<β<<α<，
得0<2β<，－<－2β<0，
则－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝>0，
所以cos(α－2β)＝＝＝.
由0<β<<α<，
得<2α<π，－<－β<0，
则<2α－β<π，
因为cos(2α－β)＝－，
所以sin(2α－β)＝.
因为<α＋β<，
又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝，
所以α＋β＝.
