93.有心圆锥曲线第三定义的四大应用
一．基本原理
1．有心圆雉曲线第三定义
平面内动点到两定点
（或
）的斜率乘积等于常数
1
2
, 0 ,
, 0
A
a
A
a
1
2
0 ,
,
0 ,
A
a
A
a
的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当
时为椭
2
e
1
2
0
1
e
圆，当
时为双曲线．具体地，分为以下结论：
2
1
e
【结论1】.
为椭圆
的长轴两端点，
是椭圆上异于
的任
,
A B
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
P
,
A B
一点，则有
．
2
2
2
1
PA
PB
b
e
k
a
k
证明：设
，则
，
0
0
0
, 0 ,
, 0 ,
,
0
A
a
B a
P x
y
y
2
0
2
2
0
PA
PB
y
k
x
a
k
又
，
2
2
2
2
2
2
0
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
1,
1
b
a
x
x
y
x
y
b
a
b
a
a
代入上式可得
．
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
0
2
0
1
1
PA
PB
b
a
x
k
k
y
b
x
a
a
x
a
e
a
【结论2】.
为双曲线
的实轴（或虚轴）两端点，
是椭圆
,
A B
2
2
2
2
:
1
0 ,
0
x
y
C
a
b
a
b
P
上异于
的任一点，则有
．（同理可得）
,
A B
2
2
2
1
PA
PB
b
e
a
k
k
一般地，上述结论还可以进一步推广：
【结论3】．已知
是椭圆
上关于原点对称的两个点，点P 在椭
,
A B
2
2
2
2
1
0 ,
0
y
x
a
b
a
b
圆上．当PA、PB 斜率存在时，则有
．
2
2
2
1
PA
PB
a
e
k
b
k
证明:设
，
，则
．所以
①,
②
( , )
P x y
1
1
( ,
)
A x y
1
1
(
,
)
B
x
y
1
2
2
2
2
b
y
a
x
1
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
由①－②得
，所以
，所以
2
2
1
2
2
2
1
2
b
y
y
a
x
x
2
2
2
1
2
2
1
2
a
b
x
x
y
y
为定值．
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
PA
PB
y
y
y
y
y
y
b
k
k
x
x
x
x
x
x
a
【结论4】．在双曲线
中，
是关于原点对称的两点，
是双
2
2
2
2
:
1
0 ,
0
x
y
C
a
b
a
b
,
A B
P
曲线上异于
的一点，若
存在，则有：
．（同理可证）
,
A B
,
PA
PB
k
k
2
2
2
1
PA
PB
b
e
a
k
k
二．典例分析
例1.椭圆
的左、右顶点分别为A 和B，点P 在C 上，设直线
、
的斜
2
2
:
1
2
x
C
y
PA
PB
率分别为
、
，若
，则
的取值范围是______.
1k
2k
1
1
2
k
2k
解析：由椭圆第三定义，
，所以
，
1
2
1
2
k k
2
1
1
2
k
k
，故
的取值范围是
.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
4
k
k
k
2k
1
1
,
2
4
例2（2015·新课标2 卷）已知A、B 是双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，
为
ABM
A
等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（
）
A.
B.2
C.
D.
5
3
2
解析：设双曲线
，由题意，
，
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
0,
0
a
b
120
ABM
，
，所以直线
和直线
的斜率分
30
BAM
BMA
180
60
MBN
ABM
AM
BM
别为
和
，由双曲线第三定义，
，所以离心率
.
3
3
3
2
3
3
1
1
3
MA
MB
k
k
e
2
e
例3．椭圆
的左顶点为
，点
，
均在
上，且关于
轴对
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
A
P
Q
C
y
称．若直线
，
的斜率之积为
，则
的离心率为
AP
AQ
1
4
C
(
)
A．
B．
C．
D．
3
2
2
2
1
2
1
3
解析：设椭圆
的右顶点为
, 由于点
均在
上且关于
轴对称,所以直线
,
C
B
P
Q
、
C
y
BP
也关于
轴对称, 即
AQ
y
2
1
1,
4
AP
BP
AP
AQ
k
k
k
k
e
即
故选：
．
2
3
4
e
3
2
e
A
例4．已知椭圆
：
，过
中心的直线交
于
，
两点，点
在
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
C
C
M
N
P
x
轴上，其横坐标是点
横坐标的3 倍，直线
交
于点
，若直线
恰好是以
为
M
NP
C
Q
QM
MN
直径的圆的切线，则
的离心率为（ ）
C
A．
B．
C．
D．
2
2
6
3
3
3
3
2
【详解】
设
，
，则
，
，设
、
、
，分别为直线
、
1
1
,
M x y
2
2
,
Q x
y
1
1
,
N
x
y
1
3 ,0
P
x
1k
2k
3k
MN
、
的斜率，则
，
，
，因直线
是以
QM
NP
1
1
1
y
k
x
2
1
2
2
1
y
y
k
x
x
1
1
3
1
1
1
1
0
1
3
4
4
y
y
k
k
x
x
x
QM
为直径的圆的切线所以
，
，所以
，又
在直线
上，
MN
QM
MN
1
2
1
k k
2
3
1
4
k k
Q
NP
所以
，因
、
在
上，所以
，
，
2
1
3
2
1
y
y
k
x
x
M
Q
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
两式相减得
，整理得
，故
，即
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
2
2
3
2
1
4
b
k k
a
，
，故
，故选：D
2
2
1
4
b
a
2
2
2
1
3
1
1
4
4
b
e
a
3
2
e
例5．已知直线
与椭圆
交于
两点，
是椭圆上异于
:l y
kx
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
,
A B
M
的一点．若椭圆
的离心率的取值范围是
，则直线
，
斜率之积的取
,
A B
E
3
2
,
3
2
MA
MB
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2
1
,
2
2
1
1
,
2
4
3
2
,
2
2
2
1
,
3
2
解析：设
，由直线
与椭圆
交于
两点可知
两点关于原点
1
1
,
,
,
M x y
A x y
:l y
kx
E
,
A B
,
A B
对称，所以
且
，由题意知：
，两式相减得：
1
1
,
B
x
y
1
x
x
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
，即
，
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
0
x
b
y
x
y
x
y
y
a
b
x
a
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
y
y
y
y
y
b
x
x
x
x
y
x
x
a
又
，由椭圆的离心率的取值范围是
，
2
1
1
2
1
1
MA
MB
k
x
k
y
y
y
b
y
x
x
x
a
3
2
,
3
2
即
，所以
，
2
3
2
3
2
1
1
3
2
3
2
3
2
c
c
e
a
a
2
2
2
2
2
1
1
2
1
3
2
3
2
a
b
b
a
a
即
，故选：D.
2
1
3
2
MA
MB
k
k
例6．已知过原点O 的直线AB 交椭圆
于A，B 两点，点A 在第一象
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
限，过点A 作AD⊥x 轴交椭圆于点D，点E 在线段AD 上，且满足
，连接
2
3
AE
DE
BE 并延长交椭圆于点P，若
，则椭圆的离心率为（ ）
1
2
AB
AP
k
k
A．
B．
C．
D．
2 5
5
1
5
2 3
5
3
2
解析：设
，则
，由AD⊥x 轴，
，可得
，
0
0
,
A x
y
0
0
,
B
x
y
2
3
AE
DE
0
0
1
,
5
E x
y
又因为
，则
，设
，则
0
0
AB
y
k
x
0
0
0
1
2
5
2
5
BP
BE
AB
y
y
k
k
k
x
1
1
,
P x y
，
2
2
2
2
2
0
1
2
2
2
2
2
2
2
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
BP
AP
x
x
b
b
b
x
x
a
a
y
y
y
y
y
y
b
a
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
又因为
，所以
，解得：
，所以
，则
1
2
AB
AP
k
k
5
1
2
2
BP
AP
k
k
1
5
BP
AP
k
k
2
2
1
5
b
a
，所以离心率
．故选：A.
2
2
2
2
4
1
5
b
c
a
a
2 5
5
e
例7.（2019 全国2 卷）已知点
，动点
满足直线
与
的斜
)
0,2
(
),
0,2
(
B
A
)
,
(
y
x
M
AM
BM
率之积为
. 记
的轨迹为曲线
.
2
1
M
C
（1）求
的方程，并说明
是什么曲线；
C
C
（2）过坐标原点的直线交
于
两点，点
在第一象限，
轴，垂足为
，连
C
Q
P,
P
x
PE
E
接
并延长交
于点
.
QE
C
G
（i）证明：
是直角三角形；
PQG
A
（ii）求
面积的最大值.
PQG
A
解析：（1）直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，由题意
AM
(
2)
2
y
x
x
BM
(
2)
2
y
x
x
可知：
，所以曲线C 是以坐标原点为中心，
2
2
1
2
4,(
2)
2
2
2
y
y
x
y
x
x
x
焦点在
轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为
.
x
2
2
1,
2
4
2
x
y
x
（i）设
坐标为
，则由（1）可知：
，另
G
Q
P
,
,
)
,
(
),
,
(
),
,
(
2
2
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
2
1
GQ
GP k
k
一方面，由于
，那么由上述两式可知：
，
1
1
2x
y
k
k
EQ
GQ
1
2
1
2
1
1
x
y
k
x
y
k
GP
GP
进一步可得：
，故
为直角三角形.
PQ
GP
PQG
例8.如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的焦距为
，且过
xOy
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
2
点
.
6
2, 2
（1）求椭圆
的方程；
E
（2）若点
分别是椭圆
的左右顶点，直线经过点
且垂直于
轴，点
是椭圆上
,
A B
E
l
B
x
P
异于
的任意一点，直线
交于点
.
,
A B
AP
l
M
①设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证：
为定值；
OM
1k
BP
2k
1
2
k k
②设过点
垂直于
的直线为
，求证：直线
过定点，并求出定点的坐标.
M
PB
m
m
解析：（1）椭圆
的标准方程为
.
E
2
2
1
4
3
x
y
（2）①设
，则直线
的方程为
，令
得
0
0
0
,
0
P x
y
y
AP
0
0
2
2
y
y
x
x
2
x
，因为
，因为
，所以
，因为
0
0
4
2,
2
y
M
x
0
1
0
2
2
y
k
x
0
2
0
2
y
k
x
2
0
1
2
2
0
2
y
k k
x
在椭圆上，所以
，所以
为定值，
0
0
0
,
0
P x
y
y
2
2
0
0
1
4
3
x
y
1
2
3
2
k k
②直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，则直线
的方程为
BP
1
2
1
2
y
k
x
m
1
1
2
m
x
k
y
m
，所以直线
过定点
1
1
1
1
0
1
1
1
1
2
2
4
2
2
2
1
2
x
x
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
y
m
.
1,0
三．习题演练
1．已知双曲线
（
，
），
、
为双曲线上关于原点对称
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
0
a
0
b
M
N
的两点，
为双曲线上的点，且直线
、
的斜率分别为
、
，若
，则双
P
PM
PN
1k
2k
1
2
9
4
k k
曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
3
2
13
2
5
2
解析：设
、
，则
，所以，
，
1
1
,
M x y
2
2
,
P x
y
1
1
,
N
x
y
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
y
y
y
y
y
y
k k
x
x
x
x
x
x
由点
、
在双曲线上得
，
M
P
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
两式相减得
，可得
，因为
，所以，
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
x
x
y
y
a
b
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
y
y
b
x
x
a
1
2
9
4
k k
2
2
9
4
b
a
3
2
b
a
，因此，
.故选：C.
2
2
2
2
2
2
2
13
1
2
c
c
a
b
b
e
a
a
a
a
2．已知双曲线
，
，
是双曲线上关于原点对称的两点，
是双曲
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
M
N
P
线上的动点，直线
，
的斜率分别为
，若
的最小值为2，则
PM
PN
1
2
1
2
,
(
0)
k k k k
1
2
k
k
双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
2
5
2
3
2
3
2
解析：由题意，可设点
，
，
．
，且
．
( , )
M p q
(
,
)
N
p
q
( , )
P s t
2
2
2
2
1
p
q
a
b
2
2
2
2
1
s
t
a
b
两式相减得
．再由斜率公式得：
．
2
2
2
2
2
2
t
q
b
s
p
a
2
2
2
1
2
2
2
2
t
q
b
k k
s
p
a
1
2
2
|
|
|
|
b
k
k
a
…
根据
的最小值为2，可知
，所以a=b. 所以
，故选A
1
2
|
|
|
|
k
k
2
2
b
a
2
c
a
2
c
e
a
4．双曲线
的左右顶点分别为
，曲线
上的一点
关于
2
2
2
2
1
0
0
x
y
M
a
b
a
b
：
（
，
）
,
A B
M
C
x
轴的对称点为
，若直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，则当
取到最小
D
AC
m
BD
n
9
mn
mn
值时，双曲线离心率为（ ）
A．
B．2
C．3
D．6
3
解析：设
，则
，
，所以
(
,0), ( ,0),
( , ),
( ,
)
A
a
B a
C x y D x
y
AC
y
m
k
x
a
BD
y
n
k
x
a
，将曲线方程
代入得
，
2
2
2
y
mn
x
a
2
2
2
2
2
x
a
y
a
b
2
2
b
mn
a
又由均值定理得
，当且仅当
，即
9
9
9
2
6
mn
mn
mn
mn
mn
mn
9
mn
mn
时等号成立，所以离心率
，故选：B
2
2
3
b
mn
a
2
2
1
2
b
e
a
5．已知椭圆
，过原点的直线交椭圆于
、
（
在第一象限）由
2
2
2
2
:
1
0
x
y
a
b
a
b
A
B
A
向
轴作垂线，垂足为
，连接
交椭圆于
，若三角形
为直角三角形，则椭圆
A
x
C
BC
D
ABD
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
2
2
2
3
2
3
3
解析：如下图所示，设点
，其中
，
，则
、
，
0
0
,
A x
y
0
0
x
0
0
y
0
0
,
B
x
y
0,0
C x
则
，
，设点
，则
，作差可得
，
0
0
AB
y
k
x
0
0
2
BC
y
k
x
1
1
,
D x y
2
2
1
1
2
2
2
2
0
0
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
2
2
2
2
1
0
1
0
2
2
0
x
x
y
y
a
b
所以，
，
2
2
2
1
0
2
2
2
1
0
y
y
b
x
x
a
所以，
，则
不互相垂直，所以
2
2
2
1
0
1
0
1
0
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
DA
DB
y
y
y
y
y
y
b
k
k
x
x
x
x
x
x
a
,
AD BD
，则
，所以，
，又因为
AD
AB
1
AD
AB
k
k
0
0
1
AD
AB
x
k
k
y
，所以，
，所以，该椭圆的离心率为
0
0
0
0
1
2
2
DA
DB
DA
BC
x
y
k
k
k
k
y
x
2
2
1
2
b
a
.故选：B.
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
c
c
a
b
b
e
a
a
a
a
6．已知两点
在双曲线C：
的右支上，点M 与点N 关于原点
,
M P
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
对称，
交y 轴于点T，若
，
，则双曲线C 的离心率为
NP
0
MN MP
2
7
OT
ON OT
（ ）
A．
B．
C．
D．
5
6
7
2 2
解析：如图，不妨设M 在第一象限，设Q 为
的中点，
NP
因为O 为
的中点，故
,设
，
，
MN
OQ
MP
∥
1
1
1
1
2
2
0
0
( ,
)(
0,
0), (
,
),
(
,
)
N x y
x
y
P x
y
Q x
y
1
2
x
x
在双曲线上，则
，两式相减可得
，
,
N P
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1,
1
x
y
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
x
y
y
a
b
即
，而
,故
，
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
0
1
2
1
2
1
2
0
1
2
2
,
2
OQ
NP
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
2
2
NP
OQ
k
k
b
a
即
；又因为
，则
，故
，即
,
2
0
2
0
NP
b x
a
k
y
0
MN MP
MN
MP
ON
OQ
1
ON
OQ
k
k
即
，即
，所以
，又
，则
1
0
1
0
1
y
y
x
x
0
1
0
1
x
y
y
x
2
1
2
1
NP
k
b y
a x
2
7
OT
ON OT
，即
，故
，
2
|
|
||
| co
|
s
7
NOT
OT
ON
OT
1
|
|
| cos
7 |
|
7 |
NO
y
OT
ON
T
1
(0,7
)
T
y
所以
，而
,故
，
1
1
1
1
1
7
6
NT
y
y
y
k
x
x
NP
NT
k
k
1
2
1
2
1
1
6y
x
b y
a x
故
，则双曲线C 的离心率为
，根据双曲线的对称性可
2
2
6
b
a
2
2
2
2
2
1
7
a
b
b
e
a
a
知，当M 在第四象限时，同理可求得
，当M 在双曲线的顶点时，由于
，
7
e
MN
MP
此时
与双曲线相切，不合题意，故双曲线C 的离心率为
故选：C
MP
7
e
7．设椭圆
的左,右顶点为
是椭圆上不同于
的一点,设直线
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
＞＞
, ,
A B P
,
A B
的斜率分别为
,则当
取得最小值时,椭圆
的离心率为
,
AP BP
,
m n
ln
ln
a
m
n
b
C
A．
B．
C．
D．
1
5
2
2
4
5
3
2
解析：由椭圆方程可得
，设
，则
,
,0 ,
,0
A
a
B a
0
0
,
P x
y
2
2
2
0
2
0
2
b
a
x
y
a
则
，
，
0
0
0
0
,
y
y
m
n
x
a
x
a
2
2
0
2
2
2
0
y
b
mn
x
a
a
ln
ln
ln
2ln
a
a
a
b
m
n
mn
b
b
b
a
，
令
，则
，
，
1
a
t
b
1
2ln
f t
t
t
2
2
'
1
t
f
t
t
t
在
上递减，在
上递增，可知当
时，函数
取得最小值
1
2ln
f t
t
t
,2
2,
2
t
f t
，
，
，故选D.
1
2
2
2ln
2
2ln 2
2
f
2
a
b
2
2
2
2
3
1
2
c
a
b
b
e
a
a
a
8.（23 届武汉二调）设
为双曲线
的右焦点，
分别为双
F
)
0
,0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
E
B
A,
曲线
的左右顶点，点
为双曲线
上异于
的动点，直线
使得过
作直线
E
P
E
B
A,
t
x
l
:
F
的垂线交直线于点
时总有
三点共线，则
的最大值为________
AP
l
Q
Q
P
B
,
,
a
t
解析：（方法1）设
，
，联立
整理得:
:
PA y
k x
a
2
2
,
,
,0
P x
y
A
a
2
2
2
2
1
x
y
a
b
y
k x
a
;
2
2
2
2
3
2
4
2
2
2
2
0
b
a k
x
a k x
a k
a b
所以
，得到
，所以
；
3
2
2
2
2
2
2a k
a
x
b
a k
2
3
2
2
2
2
2
ab
a k
x
b
a k
2
2
2
2
2
2kab
y
b
a k
过F 作直线PA 的垂线
与直线
交于Q，
2
2
1
1
:
(
)
l
y
x
a
b
k
:l x
t
因为B,Q,P 三点共线，所以Q 是直线
与BP 的交点，
2
2
1
1
:
(
)
l
y
x
a
b
k
Q 是
与
的交点
2
2
2
2
0
:
y
b
BP y
x
a
x
a
x
a
ka
2
2
1
1
:
(
)
l
y
x
a
b
k
所以得
，所以
2
2
2
2
2
2
ab
a
a
b
t
a
b
2
2
2
2
2
2
2
2
( )
1 ( )
1 ( )
b
b
t
b
a a
b
a
a
b
a
a
b
a
设
则
2
1 ( )
b
m
a
2
2
2
2
1
1
1
1
1
5
1
(
)
2
4
t
m
m
a
m
m
m
m
所以当
时，即m=2 即时， 取得最大值
.故答案为：
1
1
2
m
5
4
5
4
方法2.由于
，
轴，又
2
2
2
1
a
b
e
k
k
PB
PA
x
QM
a
t
c
t
BM
FM
a
b
k
k
k
k
FQ
PB
FQ
PA
2
2
1
)
;
(
FM
QM
k
BM
QM
k
FQ
PB
整理可得：
此时
2
2
2
c
ab
c
a
t
,
4
5
1
)
(
2
2
2
2
2
2
c
a
c
a
c
a
c
ac
c
b
ac
a
t
2
1
c
a
