文档文本内容
第 02 讲 常用逻辑用语
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：充分条件与必要条件的判断.............................4
高频考点二：充分条件与必要条件的应用.............................7
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比.........9
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断................12
高频考点五：含有一个量词的命题的否定............................15
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数....................16
第四部分：典型易错题型.............................................17
注意：“的”字结构倒装..........................................17
注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0.........................18
注意：给定的区间是非 区间，不能用 判别法.......................18
注意：给定的区间是 区间，可用 判别法...........................19
第五部分：新定义题（解答题）.......................................19第一部分：基础知识
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；
（2）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；
（3）若 且 ，则 是 的必要不充分条件；
（4） 若 ，则 是 的充要条件；
（5）若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件
（1） 是 的充分不必要条件 是 的充分不必要条件；
（2） 是 的必要不充分条件 是 的必要不充分条件；
（3） 是 的充要条件 是 的充要条件；
（4） 是 的既不充分也不必要条件 是 的既不充分也不必要条件.
拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件
若 以集合 的形式出现， 以集合 的形式出现，即 ： ， ： ，则
（1）若 ，则 是 的充分条件；
（2）若 ，则 是 的必要条件；
（3）若 ，则 是 的充分不必要条件；
（4）若 ，则 是 的必要不充分条件；
（5）若 ，则 是 的充要条件；
（6）若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构
（1） 是 的充分不必要条件 且 （注意标志性词：“是”，此时 与 正常顺序）
（2） 的充分不必要条件是 且 （注意标志性词：“的”，此时 与 倒装顺序）
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
（3）全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对 中的任意一个 ，有 成立；数学语言： .②全称量词命题的否定： .
（4）存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在 中的元素 ，有 成立；数学语言： .
②存在量词命题的否定： .
（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（ ） 大于（ ） 小于（ ） 是
否定词语 不等于（ ） 不大于（ ） 不小于（ ） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
2．（2023·北京·统考高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到
，代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性
可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（2024上·河北承德·高一统考期末）若 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合三角函数的诱导公式，判断“ ”和“ ”之间的逻辑推理关系，即可
得答案.
【详解】当 时， ，
即 成立；
又因为 ，
所以 或 ，
结合 ，解得 或 或 ，
即 成立，推不出 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
例题2．（2024下·云南昆明·高二统考开学考试）若集合 ，集合 ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【分析】根据指数、对数不等式的解法分别解出集合 、 ，结合集合的包含关系判断即可．
【详解】集合 ，
集合 ，
则B是A的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B．
例题3．（2024上·江苏连云港·高一统考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案.
【详解】设 ，此时满足 ，但不满足 ，充分性不成立，
设 ，此时满足 ，但不满足 ，必要性不成立，
故 是 的既不充分也不必要条件.
故选：D
练透核心考点
1．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判
定方法，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 ，解得 ，
又由不等式 ，即 ，可得 ，解得 ，
因为集合 是集合 的真子集，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B.
2．（2024上·浙江宁波·高一余姚中学校联考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】当 时，不妨取 ， ，则 ，所以，“ ” “ ”，
另一方面，当 时，由不等式的基本性质可得 ，
所以，“ ” “ ”，
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2024上·上海·高一上海市大同中学校考期末）已知 为非零实数，则“ ”是“ ”成立的
（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】D
【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.
【详解】显然 时不能推出 ，反之 时也不能推出 ，
则“ ”是“ ”成立的既非充分又非必要条件.
故选：D
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（2024下·上海·高一开学考试）已知 ， ，若 是 的必要
不充分条件，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】问题转化为： 的解集是 的解集的真子集，可解决此题．
【详解】由 解得 ，
由 解得 ，
根据题意得： 是 的真子集，
（等号不同时成立），解得： ．故答案为： ．
例题2．（2024·全国·高一专题练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择
补充到下面横线上.
已知集合 ， ，存在实数 使得“ ”是“ ”的 条
件.
【答案】②，③
【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.
【详解】①“ ”是“ ”的充要条件，则 ， ，此方程无解，故不存在实数
，则不符合题意；
②“ ”是“ ”的充分不必要条件时， ， ， ；解得 ，符合
题意；
③“ ”是“ ”的必要不充分条件时，当 ， ，得 ；
当 ，需满足 ， ， ，解集为 ；
综上所述，实数 的取值范围 .
故答案为：②，③.
例题3．（2023上·山西晋中·高一统考期末）已知不等式 的解集为 .
(1)求不等式 的解集 ；
(2)设非空集合 ，若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据不等式的解集求出 ，再根据一元二次不等式的解法即可得解；
（2）由 是 的充分不必要条件，可得 是 的真子集，列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为不等式 的解集为 ，
所以方程 的解为 ，
所以 ， ，得 ， ，
则不等式 即 ，
解得 ，故解集 ；（2）由（1）知， ，而 是 的充分不必要条件，
则 是 的真子集，
所以 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 .
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）已知集合 ，若“ ”是“ ”
的必要条件，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据不等式求得集合 ，再利用“ ”是“ ”的必要条件，得 ，即可求得实数
的取值范围.
【详解】解： ， ，即 ，解得 或
或
“ ”是“ ”的必要条件， ，且 恒成立
则 或 ，解得 或 ．
故答案为： 或
2．（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）设命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题
：实数x满足 ，若 是 的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先解不等式，根据充分、必要条件的知识列不等式，再求出 的取值范围.
【详解】对于命题 ， ，
因为 ，所以 .
对于命题 ， ，由 ，解得 .
因为 是 的充分不必要条件，
所以 是 的必要不充分条件，所以 ⫋ ，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
3．（2023上·河南郑州·高一校考阶段练习）已知命题 ， 满足 ，不等式
恒成立，命题 ，则 是 的 条件.
【答案】充分不必要
【分析】将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】不等式 恒成立，即 ，
且满足 ，
，
当且仅当 即 时，等号成立.
所以 ，解得 ，
故命题 ，命题 ，
所以 是 的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
典型例题
例题1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“ ，
”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形得到 ，根据函数单调性得到 ，故 ，由于 是
的真子集，故A正确，其他选项不合要求.
【详解】 ， ，即 ， ，
∴ ，其中 在 上单调递减，
在 上单调递增，
其中 时， ，当 时， ，
故 ，即 ，
由于 是 的真子集，故“ ”的必要不充分条件为“ ”，
其他选项均不合要求.
故选：A
例题2．（2023上·贵州黔南·高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）已知条件 ，条件
，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】由题意条件 ，条件 或 ，所以 是 的充分不必要条件.
故选：A.
例题3．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）“关于 的不等式 对 上恒成
立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分 、 两种情况讨论，在 时，直接验证即可；在 时，根据题意可得出关于实数
的不等式组，综合可得出实数 的取值范围，再根据必要不充分条件求解.
【详解】当 时，则有 ，解得 ，不合题意；
当 时，则 ，解得 .
综上所述，关于 的不等式 对 上恒成立”的充要条件为 ，
所以一个必要不充分条件是 .故选：A.
练透核心考点
1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知 ，则下列选项中是“ ”的充分不必要条件的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，当 ，满足 ，但 不成立，
当 时，满足 ，但 不成立，故A错误；
对于B，当 时， ，但 ，故B正确；
对于C， 时， ，但 不成立，
时， ，但 不成立，故C错误；
对于D，因为指数函数 在 上单调递增，故 ，故D错误.
故选：B
2．（2024上·山东济宁·高一统考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要
条件
【答案】A
【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若 ，可得 ，即 ，即充分性成立；
若 ，例如 ，则 ， 不成立，即必要性不成立；
综上所述：“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023上·广东·高一校联考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，然后根据充分条件必要条件的概念得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，所以 .故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（多选）（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期中）设 表示不超过x的
最大整数，如： ， ， 又称为取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是
（ ）
A． 是奇函数
B． ， ，若 ，则
C． ，
D．不等式 的解集为
【答案】BCD
【分析】由“取整函数”的定义逐个选项分析即可.
【详解】A．取 和0.5，函数值分别为 和0，故A不正确；
B．设 ，则 ， ， ， ，
则 ，因此 ，故B正确；
C．设 （ ， ），
当 时， ， ，
此时 ，
当 时， ， ，
此时 ，
综合可得，C正确；
D．不等式 ，可得： ，或 ，∴ ，或 ，因此不等式的解集为 ，故D正确．
故选：BCD．
例题2．（多选）（2023上·江西九江·高一九江一中校考期中）下列命题中，真命题的是（ ）
A． ，都有
B． ，使得
C．任意非零实数 、 ，都有
D．若正实数 、 满足 ，则
【答案】BD
【分析】取 可判断A选项；解方程 ，可判断B选项；取 ， ，可判断C选项；利用
基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，当 时， ，A错；
对于B选项，由 可得 ，解得 ，B对；
对于C选项，不妨取 ， ，则 ，C错；
对于D选项，若正实数 、 满足 ，
则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 ，D对.
故选：BD.
练透核心考点
1．（多选）（2023上·浙江杭州·高一校联考阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC【分析】根据基本不等式，求得 的取值范围，可判定A不正确；根据当 时，得到 ，可判
定B正确；结合配方法，可判定C正确；结合对数函数的性质，可判定D不正确.
【详解】对于A中，当 时，则 ，当且仅当 时，等号成立；
当 时，则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的取值范围为 ，所以A不正确；
对于B中，当 时，可得 ，所以命题 为真命题，所以B正确；
对于C中，由 ，所以命题 为真命题，所以C正确；
对于D中，当 时， ，所以命题 为假命题，所以D不正确.
故选：BC.
2．（多选）（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）已知函数 ，则下列命题
正确的是（ ）
A． ，使得
B． ，都有
C． ，使得
D． ，都有
【答案】BCD
【分析】利用代入法，结合一元二次方程根的判别式、比较法逐一判断即可.
【详解】A： ，该方程的判别式 ，
所以该方程无实数根，因此本选项命题不正确；
B：二次函数 的对称轴为 ，
所以有 ，因此本选项命题正确；
C： ，显然当 时，不等式 成立，所以本选项命题正确；
D：，所以本选项正确，
故选：BCD
高频考点五：含有一个量词的命题的否定
典型例题
例题1．（2024上·山东潍坊·高一统考期末）设 ，命题“存在 ，使 有实根”的否
定是（ ）
A．任意 ，使 无实根 B．任意 ，使 有实根
C．存在 ，使 无实根 D．存在 ，使 有实根
【答案】A
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.
【详解】由题意知命题“存在 ，使 有实根”为存在量词命题，
其否定为：任意 ，使 无实根，
故选：A
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知命题 ， ，则命题 的真假以及否定分别为
（ ）
A．真， ， B．假， ，
C．真， ， D．假， ，
【答案】C
【分析】利用基本不等式可推理得到命题 为真，再否定量词和结论，即得命题的否定.
【详解】因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故命题 为真．
又 ， .
故选:C．
练透核心考点
1．（2024上·广东佛山·高一统考期末）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.
【详解】命题“ ”为全称量词命题，它的否定是 ，
故选：C
2．（2024·全国·高一专题练习）若命题P： ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由特陈命题的否定是全称命题即可得出答案.
【详解】特称命题“ ，”的否定 .
故选：D.
高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数
典型例题
例题1．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）已知命题 ：“ ， ”为假命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据命题 是假命题列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】由于命题 ：“ ， ”为假命题，
所以 ，
解得 .
故选：D
例题2．（2024上·陕西宝鸡·高一宝鸡市石油中学校考阶段练习） ， ．若此命题是假命
题，则实数a的取值集合是 ．
【答案】
【分析】先得到 ， 为真命题，分 和 两种情况，结合根的判别式得到不等
式，求出答案.
【详解】由题意得 ， 为真命题，
当 时， 恒成立，满足要求，当 时， ，解得 ，
综上，实数a的取值集合为 .
故答案为：
练透核心考点
1．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知命题“ ”是真命题，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，即可得解.
【详解】因为命题“ ”是真命题，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：D.
2．（2024上·安徽·高一校联考期末）已知“ ， ”为真命题，则实数a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.
【详解】“ ， ”为真命题，则“ ， ”为真命题，
而 ，当且仅当 时取等号，则 ，
所以实数a的取值范围为 .
故选：A第四部分：典型易错题型
注意：“的”字结构倒装
1．（2023·江苏·高一专题练习）线段 在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是
.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】结合一次函数性质知 ,再结合充分不必要条件定义解题即可.
【详解】结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，需 , ．
就是一个使命题成立的充分条件但不是必要条件．
故答案为: .
注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0
2．（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）“ ”是“关于 的不等式
，对任意的 恒成立”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充
分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要.
【分析】根据不等式 对任意的 恒成立，求得实数 的取值范围，结合充分
条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式 对任意的 恒成立，
当 时，不等式可化为 ，显然恒成立；
当 时，则满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 ，
所以 是 对任意的 恒成立的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.注意：给定的区间是非 区间，不能用 判别法
3．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）若“ ， ”为真命题，则实数a的取值范围为
.
【答案】
【分析】根据全称命题为真命题，可把不等式转化为 对于 恒成立，根据函数单调性确
定最值，即可得实数a的取值范围.
【详解】若 ， ，则 对于 恒成立
又函数 在区间 上单调递增
所以 ，故 .
故答案为： .
注意：给定的区间是 区间，可用 判别法
4．（2023上·陕西渭南·高一统考期中）已知命题：“ ， ”是假命题，则实数a的取
值范围是 .
【答案】
【分析】命题：“ ， ”是假命题等价于命题：“ ， ”是真
命题，再解决含参的不等式恒成立问题即可.
【详解】命题：“ ， ”是假命题，
即命题：“ ， ”是真命题，
当 时， 恒成立，符合题意；
当 时， ， ,
则 ，解得 ；
综上所述，a的取值范围是 .
故答案为： .第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为 ，且区间 ，对任意 且
，记 ， .若 ，则称 在 上具有性质 ；若 ，则称
在 上具有性质 ；若 ，则称 在 上具有性质 ；若 ，则称 在 上具有性
质 .
(1)记：①充分而不必要条件；
②必要而不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件
则 在 上具有性质 是 在 上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在 上具有性质 是 在 上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在 上具有性质 是 在 上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
(2)若 在 满足性质 ，求实数 的取值范围；
(3)若函数 在区间 上恰满足性质 ､性质 ､性质 ､性质 中的一个，直接写出实数 的最
小值.
【答案】(1)②；①；③
(2)
(3)1
【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案.
（2）根据性质 ，利用分离常数法，结合不等式的性质求得 的取值范围.
（3）将问题转化为 恒成立，对 的范围进行分类讨论，由此求得 的最小值.
【详解】（1）由于 ，所以 .
对于性质 ，当 时，无法判断 的符号，故无法判断单调性；
当 在 上单调递增时， ，
所以 在 上具有性质 是 在 上单调递增的必要而不充分条件.
对于性质 ，当 时， ，所以 在 上单调递增；当 在 上单调递增时， ， 的符号无法判断，
所以 在 上具有性质 是 在 上单调递增的充分而不必要条件.
对于性质 ，若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
当 在 上单调递增时， ， ，
所以 在 上具有性质 是 在 上单调递增的充要条件.
（2）对于任意的 ，且 ，
有 ，
由于 在 满足性质 ，即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由于任意的 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3）实数 的最小值为1.
理由如下：
因为 在 上恰满足性质 ､性质 ､性质 ､性质 中的一个，
所以对任意 且 ，若满足性质A， ，
若满足性质 ，则 ，若满足性质C、D，则 ，
性质B、C、D同时满足，所以仅满足性质A，此时 ，
有 恒成立.
因为 的定义域为 ，所以 .
当 时， ，
所以 ，从而 ，不合题意；
当 时， ，所以 ，从而 ，
要使 恒成立，只需使 ，即 恒成立，
若 ，则 ，使 ，这与 矛盾，
当 时， ， 恒成立，
所以 的最小值为1.
【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的
知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少.
2．（2024·全国·高一假期作业）对于有限个自然数组成的集合 ，定义集合 ，记
集合 的元素个数为 .定义变换 ，变换 将集合 变换为集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）若集合 ，证明： 的充要条件是
.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题干中对集合 和 的定义，可以求出两个集合
（2）证明充要条件要从两方面证明，一是证明充分性，而是证明必要性，都成立则说明是充要条件
【详解】解：（1）若集合 , 则根据定义可得： .
（2）由 .
充分性：设 是公差为 的等差数列,
则
且 , 所以 共有 个不同的值, 即 .
必要性：若 ,
因为 ,
所以 中有 个不同的元素： ,
任意 的值都与上述某一项相等.
又 , 且 .
所以 所以 是等差数列，且公差不为 .
,
