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进阶篇 导数中的零点问题
导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的作用，而这些问题的解决都离不开一个基本要点，
即函数的零点.比如，导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点，或是最
值点.可以说，抓住了函数的零点，也就抓住了导数问题的要点.
零点问题主要有如下四类：
①零点的个数问题；
②零点的范围问题；
③隐零点问题；
④分段函数零点问题.
进阶1 零点个数问题
题型一 利用导数研究零点个数
例1 (2024·北京模拟)已知函数f(x)＝axln x－1
2x2＋(1－a)x.
(1)当a<0 时，求f(x)的极值；
(2)当1
2≤a≤1 时，判断f(x)的零点个数，并说明理由.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f'(x)＝aln x＋a－x＋1－a＝aln x－x＋1，
令g(x)＝f'(x)＝aln x－x＋1，
则g'(x)＝a
x －1＝a- x
x
，
因为a<0，所以g'(x)<0 恒成立，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
即f'(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f'(1)＝0，
所以当0<x<1 时，f'(x)>0，当x>1 时，f'(x)<0，
则f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在x＝1 处取得极大值为1
2－a，无极小值.
(2)令f(x)＝0，即axln x－1
2x2＋(1－a)x＝0，
因为x>0，所以aln x－1
2x＋1－a＝0，
令F(x)＝aln x－1
2x＋1－a，
所以判断f(x)的零点个数，即判断F(x)的零点个数，
又F'(x)＝a
x - 1
2 ＝2a- x
2 x
，1
2≤a≤1，
所以当0<x<2a 时，F'(x)>0，当x>2a 时，F'(x)<0，
所以F(x)在(0，2a)上单调递增，在(2a，＋∞)上单调递减，
所以F(x)max＝F(2a)＝aln(2a)－2a＋1，1≤2a≤2，
令H(x)＝x
2ln x－x＋1，x∈[1，2]，
则H'(x)＝1
2ln x－1
2 ，
因为x∈[1，2]，所以H'(x)≤1
2ln 2－1
2 ＝1
2(ln 2－1)<0，
所以H(x)在[1，2]上单调递减，
所以H(x)≤H(1)＝0，
所以F(2a)≤0，当且仅当a＝1
2时等号成立，
所以当a＝1
2时，F(x)有一个零点，即f(x)有一个零点，
当1
2<a≤1 时，F(x)无零点，即f(x)无零点，
综上可得，当a＝1
2时，f(x)有一个零点，当1
2<a≤1 时，f(x)无零点.
思维升华 解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种：
(1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解.
(2)转化为函数f(x)的图象与x 轴交点个数的问题.
(3)将f(x)＝0 进行参变分离，转化为a＝g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝ex－a(x＋1)，a∈R.
(1)若f(x)在[0，1]上不单调，求a 的取值范围；
(2)当a>0 时，试讨论函数f(x)的零点个数.
解 (1)函数f(x)＝ex－a(x＋1)，
则f'(x)＝ex－a，
∵f(x)在[0，1]上不单调，
故函数f(x)在(0，1)上存在极值，
∴f'(x)在(0，1)上存在变号零点，
即ex－a＝0 在(0，1)上有解，
即直线y＝a 与曲线y＝ex的图象在(0，1)上有交点，令h(x)＝ex，
当x∈(0，1)时，h(x)∈(1，e)，
∴a 的取值范围为(1，e).
(2)f(x)＝0 等价于1
a ＝x＋1
e
x
，
故f(x)＝0 的零点个数即为直线y＝1
a与曲线y＝x＋1
e
x
的图象的交点个数，
令g(x)＝x＋1
e
x
，则g'(x)＝- x
e
x ，
令g'(x)>0，得x<0，令g'(x)<0，得x>0，
故g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
∵g(0)＝1，当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
函数g(x)的图象如图所示，
∴当0<1
a<1，即a>1 时，f(x)有两个零点；
当1
a＝1，即a＝1 时，f(x)有一个零点；
当1
a>1，即0<a<1 时，f(x)无零点.
题型二 利用函数零点个数求参数范围
例2 (2024·长沙模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，证明：当x≥0 时，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0，＋∞)内有两个零点，求a 的取值范围.
(1)证明 当a＝1 时，f(x)＝ex－x2，
则f'(x)＝ex－2x，
令h(x)＝ex－2x，则h'(x)＝ex－2，
由h'(x)＝0，得到x＝ln 2，
当x∈(－∞，ln 2)时，h'(x)<0，当x∈(ln 2，＋∞)，h'(x)>0，
所以h(x)≥h(ln 2)＝2－2ln 2>0，即f'(x)>0 恒成立，
所以f(x)＝ex－x2在区间[0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝e0＝1，命题得证.
(2)解 因为f(x)＝ex－ax2，
令f(x)＝0，得ex＝ax2，
又x∈(0，＋∞)，所以e
x
x
2＝a，
令g(x)＝e
x
x
2 ，x∈(0，＋∞)，
则g'(x)＝e
x( x -2)
x
3
，
当x∈(0，2)时，g'(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，g'(x)>0，
所以g(x)≥g(2)＝e
2
4 ，
又当x→0 时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
又f(x)在(0，＋∞)内有两个零点，
所以a>e
2
4 ，即a 的取值范围为(
e
2
4 ，＋∞).
思维升华 (1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直
线与函数图象交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线
的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判
断零点个数，从而求出参数的取值范围.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ln x＋ax＋2.
(1)若函数f(x)在x＝1 处取得极值，求a 的值；
(2)若函数f(x)在定义域内存在两个零点，求a 的取值范围.
解 (1)因为f(x)＝ln x＋ax＋2(x>0)，
则f'(x)＝1
x ＋a＝ax＋1
x
，
因为函数f(x)在x＝1 处取得极值，
所以f'(1)＝1＋a＝0，解得a＝－1，
当a＝－1 时，可得f'(x)＝1- x
x
，
当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x＝1 时，函数f(x)取得极大值，符合题意，故a＝－1.
(2)由f'(x)＝ax＋1
x
，其中x>0，
当a≥0 时，可得f'(x)>0，f(x)单调递增，
此时函数f(x)至多有一个零点，不符合题意；
当a<0 时，令f'(x)＝0，解得x＝－1
a ，
当x∈(0，- 1
a)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(- 1
a ，＋∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x＝－1
a时，f(x)取得极大值，也是最大值，
最大值为f (- 1
a)＝ln(- 1
a)＋a·(- 1
a)＋2＝1－ln(－a)，
又当x→0 时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，
所以要使得函数f(x)有两个零点，则满足f (- 1
a)>0，
即1－ln(－a)>0，解得－e<a<0，
所以实数a 的取值范围是(－e，0).
课时精练
[分值：28 分]
1.(13 分)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex－sin x－1.
(1)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(4 分)
(2)证明函数f(x)在区间(－π，0]内有且仅有两个零点.(9 分)
(1)解 函数f(x)＝ex－sin x－1，
当x>0 时，f'(x)＝ex－cos x>1－cos x≥0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
(2)证明 由(1)知，f'(x)＝ex－cos x，
当x∈(- π ，- π
2]时，f'(x)>0，
函数f(x)单调递增，
f(－π)＝e－π－1<0，f (- π
2)＝e
- π
2>0，
因此函数f(x)在(- π ，- π
2]内有唯一零点；
当x∈(- π
2 ，0]时，令g(x)＝ex－cos x，
得g'(x)＝ex＋sin x，
g'(x)在(- π
2 ，0]上单调递增，
g'(- π
2)＝e
- π
2－1<0，g'(0)＝1>0，
则存在x0∈(- π
2 ，0)，使得g'(x0)＝0，
当x∈(- π
2 ，x0)时，g'(x)<0，
函数g(x)即f'(x)单调递减，
当x∈(x0，0)时，g'(x)>0，
函数g(x)即f'(x)单调递增，
又f'(- π
2)＝e
- π
2>0，
f'(x0)<f'(0)＝0，
则存在x1∈(- π
2 ，x0)，使得f'(x1)＝0，
当x∈(- π
2 ，x1)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，0)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
而f (- π
2)＝e
- π
2>0，f(0)＝0，
因此函数f(x)在(- π
2 ，0]内有唯一零点，
所以函数f(x)在区间(－π，0]内有且仅有两个零点.
2.(15 分)(2024·绍兴模拟)已知函数f(x)＝ax＋(a－2)√x - 1
2ln x，a∈R.
(1)求函数f(x)图象上一点P(1，4)处的切线方程；(4 分)
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，求a 的取值范围.(11 分)
解 (1)由f(1)＝2a－2＝4，解得a＝3，
∴f(x)＝3x＋√x - 1
2ln x，
则f'(x)＝3＋1
2√x - 1
2 x ，则f'(1)＝3，
∴切线方程为y－4＝3(x－1)，即y＝3x＋1.
(2)由f(x)＝ax＋(a－2)√x - 1
2ln x，
得f'(x)＝a＋a-2
2√x - 1
2 x ＝2ax＋(a-2)√x -1
2 x
＝(a√x -1)(2√x＋1)
2 x
，x>0，
当a≤0 时，f'(x)<0 在(0，＋∞)上恒成立，
f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，舍去；
当a>0 时，令f'(x)<0，得0<x< 1
a
2 ，f(x)在(0，1
a
2)上单调递减；令f'(x)>0，得x> 1
a
2 ，f(x)在(
1
a
2 ，＋∞)上
单调递增.
当x→0 时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，
则f (
1
a
2)＝1
a ＋a-2
a
- 1
2ln 1
a
2 ＝1
a＋1－2
a＋ln a＝1－1
a＋ln a<0，
令g(a)＝1－1
a＋ln a，a>0，
则g'(a)＝1
a
2 ＋1
a>0，
∴g(a)在(0，＋∞)上单调递增.
又∵g(1)＝0，∴当a∈(0，1)时，g(a)<0，当a∈(1，＋∞)时，g(a)>0，
∴0<a<1，∴a 的取值范围是(0，1).
