文档文本内容
§1.6 一元二次方程、不等式
分值：100 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2024·威海模拟)设集合A={x||x-1|≥1}，B={x|x2-x-2<0}，则A∩B 等于( )
A.(-2，0)
B.(-1，0)
C.(-2，0]
D.(-1，0]
2.若命题“∃x∈R，-x2-2mx+2m-3≥0”为真命题，则m 的取值范围是( )
A.-1≤m≤3
B.-3≤m≤1
C.m≤-1 或m≥3
D.m≤-3 或m≥1
3.设p：实数m 满足-1<m<0，q：一元二次方程x2+3x+m+1=0 有两个负数根，则p 是q 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2025·桂林模拟)已知实数a 为常数，且a≠0，函数f(x)=(ax-1)(x-a)，甲同学：f(x)>0 的解集为(-∞，a)∪
(
1
a ，+ ∞)；乙同学：f(x)<0 的解集为(-∞，a)∪(
1
a ，+ ∞)；丙同学：f(x)存在最小值.在这三个同学的论述
中，只有一个是错误的，则a 的取值范围为( )
A.a<-1
B.-1<a<0
C.0<a<1
D.a>1
5.当x∈(-1，1)时，不等式2kx2-kx-3
8<0 恒成立，则k 的取值范围是( )
A.(-3，0)
B.[-3，0)
C.(-3，1
8)
D.(-3，1
8]
6.已知关于x 的不等式x2-ax+1<0 的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且( x1-1)
2+( x2-1)
2=3，则a 等于( )
A.-1
B.1
C.3
D.-1 或3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.关于x 的不等式ax2+bx+c<0 的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是( )
A.a<0
B.关于x 的不等式bx+c>0 的解集为(-∞，-2)
C.4a-2b+c>0
D.关于x 的不等式cx2-bx+a>0 的解集为(-1，1
2)
8.(2024·南平模拟)下列命题正确的是( )
A.若关于x 的方程x2+(a2-1)x+a-2=0 的一个根比1 大且另一个根比1 小，则a 的取值范围是(-2，1)
B.若关于x 的不等式x2-kx+k-1<0 在(1，2)上恒成立，则实数k 的取值范围是(-∞，3)
C.若关于x 的不等式ax-b>0 的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式ax +b
x -2 >0 的解集是{x|x>2 或x<-1}
D.若1
a+2
b=1(a>0，b>0)，则1
a
2+ 4
b
2的最小值为1
2
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.甲、乙两人解关于x 的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得
到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为 .
10.定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有
一位正整数的自恋数组成集合A，集合B={x|
x
2-5 x -3
2- x
<1，x≠2 且x∈N
*}，则A∩B 的非空子集个数
为 .
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知不等式ax2-3x+2>0 的解集为{x|x<1 或x>b}.
(1)求a，b 的值；(6 分)
(2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0.(7 分)
12.(14 分)设函数f(x)=ax2+bx+3，关于x 的一元二次不等式f(x)>0 的解集为(-3，1).
(1)求不等式x2+ax+b>0 的解集；(6 分)
(2)若∀x∈[-1，3]，f(x)≥mx2，求实数m 的取值范围.(8 分)
13，15，16 题每小题5 分，14 题6 分，共21 分
13.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2 时，f(x)>0，则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞，1]
B.[-2，1]
C.[-1，2]
D.[-1，+∞)
14.(多选)已知k∈Z，若关于x 的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，则k 的可能取值为( )
A.－1
B.1
C.2
D.3
15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数y=[x]，其中[x]表示“不超过x 的
最大整数”，如[3.14]=3，[0.618]=0，[-2.718 28]=-3.写出满足[x]=1 的一个x 的值： ；关于x 的方
程[
x +1
x -1]=1 的解集为 .
16.(2025·日照模拟)若存在实数m，使得对于任意的x∈[a，b]，不等式m2+sin xcos x≤2sin(x - π
4)·m 恒成
立，则当b-a 取得最大值时，|sin a+b
2 |= .
答案精析
1.D
2.D [由题意知不等式-x2-2mx+2m-3≥0 有解.
即不等式x2+2mx-2m+3≤0 有解.
设f(x)=x2+2mx-2m+3，
则函数f(x)的图象开口向上，
要使不等式f(x)≤0 有解，
则函数f(x)的图象与x 轴有交点，
则Δ=4m2-4(-2m+3)≥0，化简得m2+2m-3≥0，
解得m≤-3 或m≥1.]
3.A [命题q：一元二次方程x2+3x+m+1=0 有两个负数根，
所以{
Δ=3
2- 4×1×(m+1)≥0，
m+1>0，
解得-1<m≤5
4 ，
所以p 是q 的充分不必要条件.]
4.C [若甲正确，则a>0 且1
a>a，
则0<a<1；
若乙正确，则a<0 且a<1
a，
则a<-1；
若丙正确，则二次函数的图象开口向上，即a>0；
因为只有一个同学的论述是错误的，所以只能乙的论述错误，故0<a<1.]
5.D [当k=0 时，满足不等式恒成立；
当k≠0 时，令f(x)=2kx2-kx-3
8，则f(x)<0 在(-1，1)上恒成立，
函数f(x)图象的对称轴为x=1
4 ，
当k>0 时，f(x)在(-1，1
4)上单调递减，在(
1
4 ，1)上单调递增，
则有{
f (-1)=2k + k - 3
8 ≤0，
f (1)=2k -k - 3
8 ≤0，
解得0<k≤1
8；
当k<0 时，f(x)在(-1，1
4)上单调递增，在(
1
4 ，1)上单调递减，
则有f(
1
4)=2k
16 -k
4 -3
8<0，
解得-3<k<0.
综上可知，k 的取值范围是(-3，1
8].]
6.C [关于x 的不等式x2-ax+1<0 的解集为{x|x1<x<x2}，则x1和x2是关于x 的方程x2-ax+1=0 的两根，
则Δ=a2-4>0，
解得a>2 或a<-2，
有x1
2+1=ax1，x2
2+1=ax2，x1+x2=a，x1x2=1，
( x1-1)
2+( x2-1)
2=x1
2-2x1+1+x2
2-2x2+1=ax1-2x1+ax2-2x2=(a-2)(x1+x2)
=a(a-2)=3，
即a2-2a-3=0，
解得a=3(a=-1 舍去).]
7.BC [由已知可得a>0 且-1，2 是方程ax2+bx+c=0 的两根，所以A 选项不正确；
由根与系数的关系可得
{
-1+2=- b
a ，
-1×2= c
a .
解得b=-a，c=-2a，
则不等式bx+c>0 可化为-ax-2a>0，即x+2<0，
所以x<-2，所以B 选项正确；
因为4a-2b+c=4a+2a-2a=4a>0，所以C 选项正确；
不等式cx2-bx+a>0 可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1<0，
解得-1
2<x<1，
故不等式cx2-bx+a>0 的解集为(- 1
2 ，1)，所以D 选项不正确.]
8.ACD [对于A，二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2 的图象开口向上，
若关于x 的方程x2+(a2-1)x+a-2=0 的一个根比1 大且另一个根比1 小，
则f(1)=1+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0，解得-2<a<1，故A 正确；
对于B，若关于x 的不等式x2-kx+k-1<0 在(1，2)上恒成立，
则只需k(x-1)>x2-1，即k>x+1 在(1，2)上恒成立即可，
则实数k 的取值范围是k≥3，故B 错误；
对于C，若关于x 的不等式ax-b>0 的解集是(1，+∞)，则a>0，a=b，
所以关于x 的不等式ax +b
x -2 >0⇔x +1
x -2>0⇔x<-1 或x>2，故C 正确；
对于D，若1
a+2
b=1(a>0，b>0)，则1
a+2
b=1≥2√
2
ab，
解得4
ab≤1
2，当且仅当a=2，b=4 时等号成立，
所以1
a
2+ 4
b
2=(
1
a + 2
b)
2
- 4
ab=1- 4
ab≥1-1
2=1
2，当且仅当a=2，b=4 时等号成立，故D 正确.]
9.(-2，3)
解析 依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，因此不等式x2+bx+c<0，
即x2-x-6<0，解得-2<x<3，
所以原不等式的解集为(-2，3).
10.31
解析 x∈N*，
当x=1 时，x
2-5 x -3
2- x
=-7<1，
则1∈B，
当x>2 时，不等式x
2-5 x -3
2- x
<1 化为x2-4x-5>0，解得x>5，
所以B={x|x>5，x∈N*或x=1}，
又A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
所以A∩B={1，6，7，8，9}，它的子集有32 个，非空子集有31 个.
11.解 (1)因为不等式ax2-3x+2>0 的解集为{x|x<1 或x>b}，
所以x1=1，x2=b 是方程ax2-3x+2=0 的两个根，
所以{
1+b= 3
a ，
1×b= 2
a ，
解得{
a=1，
b=2.
(2)由(1)知原不等式为
x2-(m+2)x+2m<0，
即(x-m)(x-2)<0，
当m>2 时，不等式解集为{x|2<x<m}；
当m=2 时，不等式解集为∅；
当m<2 时，
不等式解集为{x|m<x<2}.
12.解 (1)因为一元二次不等式f(x)>0 的解集为(-3，1)，
所以-3 和1 是方程ax2+bx+3=0 的两个实根，则{
-3+1=- b
a ，
-3×1= 3
a ，
解得{
a=-1，
b=-2.
因此所求不等式即为x2-x-2>0，解集为{x|x<-1 或x>2}.
(2)f(x)≥mx2可化为(m+1)x2≤-2x+3，当x=0 时显然成立；
当x≠0 时，不等式可化为m+1≤-2
x +3(
1
x)
2
对∀x∈[-1，0)∪(0，3]恒成立，令t=1
x ∈(-∞，-1]∪[
1
3 ，+ ∞)
，则m+1≤-2t+3t2，
当t=1
3，即x=3 时，
(-2t +3t
2)min=-1
3，
所以m+1≤-1
3，即m≤-4
3 .
13.B [f(x)=x|x-a|-2a2
={
x
2-ax -2a
2, x ≥a,
- x
2+ax -2a
2, x<a,
若a>2,当2<x<a 时,f(x)=-x2+ax-2a2,此时关于x 的方程-x2+ax-2a2=0 的Δ=a2-4×2a2=-7a2<0,
所以f(x)<0,不符合题意;
若0<a≤2,当x>2 时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,
则2a≤2,即0<a≤1;
若a=0,当x>2 时,f(x)=x2>0 恒成立,符合题意;
若a<0,当x>2 时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,
则-a≤2,即-2≤a<0.
综上,-2≤a≤1,故a 的取值范围是[-2,1].]
14.AD [关于x 的不等式x2－x<k(x－1)，
即x2－(k＋1)x＋k<0，
即(x－1)(x－k)<0，
当k＝1 时，(x－1)(x－k)<0 即(x－1)2<0，
解集为空集，不符合题意；
当k>1 时，(x－1)(x－k)<0 的解满足1<x<k，
要使得关于x 的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，需2<k≤3，
由于k∈Z，故k＝3；
当k<1 时，(x－1)(x－k)<0 的解满足k<x<1，
要使得关于x 的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，需－1≤k<0，
由于k∈Z，故k＝－1，
综上，k 的可能取值为－1，3.]
15. 3
2(答案不唯一) (3，+∞)
解析 根据取整函数y=[x]的定义，当[x]=1 时，1≤x<2，故取x=3
2；
∵[
x +1
x -1]=1，∴1≤x +1
x -1<2，解得x>3.
16. √2
2
解析 因为m2+sin xcos x≤2sin(x - π
4)·m 恒成立，
即m2-2sin(x - π
4)·m+sin xcos x≤0 恒成立，
若存在实数m，使得上式成立，
则Δ=4sin2(x - π
4)-4sin xcos x
=2-2cos(2 x - π
2)-2sin 2x
=2-2sin 2x-2sin 2x=2-4sin 2x≥0，
可得sin 2x≤1
2，可得2kπ-7 π
6 ≤2x≤2kπ+π
6 ，k∈Z，
解得kπ-7 π
12 ≤x≤kπ+ π
12，k∈Z，
由题意知，[a，b]⊆[k π - 7 π
12 ，k π + π
12]，k∈Z，
则当b-a 取得最大值时，a=kπ-7 π
12 ，b=kπ+ π
12，k∈Z，
则a+b=-π
2 +2kπ，k∈Z，
此时|sin a+b
2 |=|sin(- π
4 +k π)|=√2
2 ，k∈Z.
