专题 01 集合、常用逻辑用语、不等式
（新定义，高数观点，压轴题）
目录
一、集合的新定义（高数观点）题.............................................................................2
①乘法运算封闭.......................................................................................................2
②“群”运算...........................................................................................................2
③“ ”运算............................................................................................................4
④“ ”运算...........................................................................................................5
⑤戴德金分割...........................................................................................................7
⑥“类”...................................................................................................................9
⑦差集运算.............................................................................................................10
⑧“势”.................................................................................................................12
⑨“好集”.............................................................................................................13
二、逻辑推理...............................................................................................................15
①充分性必要性.....................................................................................................15
②逻辑推理.............................................................................................................17
三、不等式...................................................................................................................19
①作差法.................................................................................................................19
②基本不等式.........................................................................................................20一、集合的新定义（高数观点）题
①乘法运算封闭
1．（2023春·高一课时练习）设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有
a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的
是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
【答案】C
【详解】因为有理数集中元素加减乘除四则运算后的结果还是有理数，因而有理数集是封闭的.
2．（2023·全国·高三专题练习）非空集合 关于运算 满足：① 对任意 ，都有 ；② 存在
使对一切 都有 ，则称 是关于运算 的融洽集，现有下列集合及运算：
① 是非负整数集， 运算：实数的加法；
② 是偶数集， 运算：实数的乘法；
③ 是所有二次三项式组成的集合， 运算：多项式的乘法；
④ ， 运算：实数的乘法；
其中为融洽集的是
【答案】①④
【详解】①对于任意非负整数 ,则 仍为非负整数,即 ；取 ,则 ,故①符合
题意；
②对于任意偶数 ,则 仍为偶数,即 ；但是不存在 ,使对一切 都有 ,故②不符
合题意；
③对于 是所有二次三项式组成的集合,若 , 不再是二次三项式,故③不符合题意；
④对于 ,设 , ,则 ,即
；取 ,则 ,故④符合题意,
故答案为:①④
②“群”运算
1．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设 为某种元素组成的一个非空集合，若在 内定义一个运算“*”，满足以下条件：
① ， ，有
②如 ， ， ，有 ；
③在 中有一个元素 ，对 ，都有 ，称 为 的单位元；
④ ，在 中存在唯一确定的 ，使 ，称 为 的逆元．此时称（ ，*）为一个群．
例如实数集 和实数集上的加法运算“ ”就构成一个群 ，其单位元是 ，每一个数的逆元是其相反
数，那么下列说法中，错误的是（ ）
A． ，则 为一个群
B． ，则 为一个群
C． ，则 为一个群
D． {平面向量}，则 为一个群
【答案】B
【详解】A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律， 为 的单位元，逆元为它
的相反数，满足群的定义，则 为一个群，所以该选项正确；
B. ， 为 的单位元，但是 ，当 时，不存在唯一确定的 ，所以不满足④，则
不为一个群，所以该选项错误；
C. ，满足①②， 为 的单位元满足③， 是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则 为一
个群，所以该选项正确；
D. {平面向量}，满足①②， 为 的单位元，逆元为其相反向量，则 为一个群，所以该选项正
确.
故选：B
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若非空集合G和G上的二元运算“ ”满足：① ，
；② ，对 ， ：③ ，使 ， ，有 ；
④ ， ，则称 构成一个群.下列选项对应的 构成一个群的是
（ ）
A．集合G为自然数集，“ ”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“ ”为有理数的乘法运算
C．集合 (i为虚数单位)，“ ”为复数的乘法运算
D．集合 ，“ ”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BCD
【详解】A． 时，不满足③，若 ，则由 得 ，若 ，则在 中设 ，由 得 ，所以 不能构成群；
B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然 ，对任意 ，
，③对任意正有理数 ， 也是正有理数，且 ，即 ，④有理数的乘数
满足结合律，B中可构造群；
C． (i为虚数单位)，①可验证 中任意两数（可相等）的乘积仍然属于 ；② ，满足任
意 ，有 ；③ ，满足任意 ，存在 ，有 ，实质上有
；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；
D． ，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于 ，② ，满足对任
意 ， ，③ ， ， ， 除以7余数为0；④加法满足交
换律，又 除以7的余数等于 除以7的余数加 除以7的余数的和再除以7所得余数，因此 ，
，D中可构造群；
故选：BCD．
3．（2018·北京·高三开学考试）设 是一个非空集合, 是定义在 上的一个运算,如果同时满足下述四个
条件：
（i）对于 ,都有 ;
（ii）对于 ,都有 ;
（iii）对于 ,使得 ;
（iv）对于 ,使得 （注：“ ”同（iii）中的“ ”）.
则称 关于运算 构成一个群,现给出下列集合和运算：
是整数集合, 为加法; 是奇数集合, 为乘法;
是平面向量集合, 为数量积运算; 是非零复数集合, 为乘法.
其中 关于运算 构成群的序号是 （将你认为正确的序号都填上）.
【答案】
【详解】 若 是整数集合，则 两个整数相加仍为整数， 整数加法满足结合律；
，则 ； 在整数集合中存在唯一一个 ，使
，故整数集合关于运算*构成一个群；
是奇数集合， 为乘法，则 ，不满足 ；
是平面向量集合， 为数量积运算，则不满足 ；
是非零复数集合， 为乘法，则 两个非零复数相乘仍为非零复数； 非零复数相乘符合结合律；
，则） ； 在 中存在唯一一个 ，使 ．故答案为
③“ ”运算
1．（2023·全国·高三专题练习）在 上的定义运算 ，则满足 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以由 ，
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”， ．对于任意集
合 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知：∵ ．
∴对于任意集合 ， ， ，则 ．
故选： ．
3．（2023秋·高一课时练习）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意 ，
；（2）对任意a， ， ；（3）对任意a，b， ，
.给出下列三个结论：
① ；
②对任意a，b， ， ；
③存在a，b， ， ；
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【详解】① ，错误；
② ，而 ，故，正确；
③当 且 时， ，而 ，显然
成立，正确.
故选：C
④“ ”运算
1．（2023·全国·高三专题练习）对于任意的两个实数对 和 ,规定 当且仅当 ,
；运算“ ”为： ，
运算“ ”为： ，
设 ，若 则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由（1，2） （p，q）＝（5，0）得
⊗
，
所以（1，2）⊕（p，q）＝（1，2）⊕（1，﹣2）＝（2，0），
故选D．
2．（2023·高一课时练习）定义集合运算：A⊙B＝﹛z|z=xy(x+y)，x∈A,y∈B﹜.设集合A=﹛0，1﹜，B=
﹛2，3﹜，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
【答案】D
【详解】 ，选D.
3．（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数 ， ，定义运算⊕如下：
①当 ， 奇偶性相同时， ；
②当 ， 奇偶性不同时， ．
若集合 ，则 的元素个数为 ．
【答案】
【详解】因为 ，
当 、 都是正偶数时，则集合 中含有 ， ， ， ， 共 个元素；
当 、 都是正奇数时，则集合 中含有 ， ， ， ， ， 共 个元素；
当 、 一个为正偶数，一个为正奇数，则集合 中含有 ， ， ， 共 个元素；所以 的元素共有 个.
故答案为：
4．（2023·全国·高三对口高考）非空集合G关于运算 满足：（1）对任意 ，都有 ；
（2）存在 ，使得对一切 ，都有 ，则称G关于运算 为“融洽集”．现给出下
列集合和运算：
① {非负整数}， 为整数的加法；
② {偶数}， 为整数的乘法：
③ {平面向量}， 为平面向量的加法；
④ {二次三项式}， 为多项式的加法；
⑤ {虚数}， 为复数的乘法
其中G关于运算 为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号）
【答案】①③
【详解】对于①， {非负整数}， 为整数的加法；当 ， 都为非负整数时， ， 通过加法运算还是
非负整数，且存在一整数 有 ，所以①为“融洽集”；
对于② ， {偶数}， 为整数的乘法，由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1),但不存在偶数
,使得一个偶数与 的积仍是此偶数，故不满足条件（2),故不满足“融洽集”的定义；
对于③， {平面向量}， 为平面向量的加法；若 ， 为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，
且存在零向量通过向量加法满足条件（2）；所以③为“融洽集”；
对于④， {二次三项式}， 为多项式的加法；由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如
与 的和为 ,不满足条件（1),故不满足“融洽集”的定义；
对于⑤， {虚数}， 为复数的乘法；两个虚数相乘得到的可能不是虚数，例如： ，故不满足
“融洽集”的定义；
故答案为：①③
⑤戴德金分割
1．（多选）（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求
出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础
上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两
个非空的子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则
称 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M没有最大元素，N没有最小元素
D．M有一个最大元素，N有一个最小元素
【答案】ABC
【详解】对于A， 满足戴德金分割的定义，A正确；
对于B,取 ，符合戴德金分割，
M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确；
对于C，取 满足戴德金分割的定义，
M没有最大元素，N没有最小元素，C正确；
对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义，
必有 ，则无法满足 ，D错误，
故选： .
2．（多选）（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）19世纪戴德金利用他提出的分割理
论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推
出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足： ， ，则称 为 的二划分，例
如 ， 则 就是 的一个二划分，则下列说法正确的是
（ ）
A．设 ， ，则 为 的二划分
B．设 ， ，则 为 的二划分
C．存在一个 的二划分 ，使得对于 ， ， ，对于 ， ，
D．存在一个 的二划分 ，使得对于 ， ， ，则 ， ， ， ，则
【答案】BCD
【详解】解：对于A选项，因为 ， ，所以 ，
则 不为 的二划分，故A错误；
对于B选项，因为 ，
由于 ，所以 ， ，则 为 的二划分，故B正确；
对于C选项，存在 ， ，使得对于 ， ， ，对
于 ， ， ，故C正确；
对于D选项，存在 ， 或 ，使得对于 ， ，，则 ， ， ， ，则 ，故D正确.
故选：BCD.
3．（2022秋·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用
有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而
结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集 划分为两个非空
的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则称
为戴德金分割．则下列关于戴德金分割 的说法一定不成立的是（ ）
A． 中有最大元素， 中有最小元素
B． 中没有最大元素， 中有最小元素
C． 中有最大元素， 中没有最小元素
D． 中没有最大元素， 中没有最小元素
【答案】A
【详解】设 ， ，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有
最小元素，所以满足D选项，
设 ， ，则满足B选项；
设 ， ，则满足C选项；
故A选项一定不成立，其他三个选项可能成立.
故选：A
4．（2022秋·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足
Q， ，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且
B中无最小元素的戴德金分割 ．
【答案】 ， （答案不唯一）
【详解】解：以无理数分界写出一组即可，如 ， ．（答案不唯一）；
故答案为： ， ．（答案不唯一）
⑥“类”
1．（多选）（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）整数集Z中，被5除所得余数为 的所
有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，其中 ．以下判断正确的是（ ）
A． B．C． D．若 ，则整数 ， 属同一类
【答案】ACD
【详解】A选项， ，故 ，A正确；
B选项， ，故 ，B错误；
C选项，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故 ，C正确；
D选项，由题意可知 能被5整除，故 分别被5除的余数相同，故整数 ， 属同一类，D正确.
故选：ACD
2．（2021秋·高一课时练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成的一个集合称为“类”，
记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2 013∈[3];②-2∈[2];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0]．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】对于①， ，结论①正确；
对于②， ，结论②错误;
对于③，对于任意一个整数，它除以5的余数可能是0，1，2，3，4， ，结论
③正确;
对于④，整数a，b属于同一“类”，设 ， ，则存在 ，使得
， ，结论④正确；
故选：C．
3．（2022秋·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组
成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②
2025∈[1] ； ③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a 3b∈[0].其中正确的结论是
.
【答案】①④
【详解】因为2025被4除所得余数为1，所以①正确；
因为 ，所以 ，所以②不正确；
因为a∈[1]，b∈[2]，设 ， ，则
，且 ，所以 ，所以③
不正确；
因为a∈[1]，b∈[3]，设 ， ，则
，且 ，所以 ，所以④正确.
故答案为：①④
⑦差集运算
1．（多选）（2023秋·高一课时练习）我们知道，如果集合 ，那么S的子集A的补集为
且 ，类似地，对于集合A、B我们把集合 且 ，叫做集合A和B的差集，
记作 ，例如： ， ，则有 ， ，下列解析正确
的是（ ）
A．已知 ， ，则
B．如果 ，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知 或 ， ，则 或
【答案】BD
【详解】对于A：由 且 ，故 ，故A错误；
对于B：由 且 ，则 ，故 ，故B正确；
对于C：由韦恩图知： 如下图阴影部分，
所以 ，故C错误；
对于D： 或 ，则 或 ，故D正确.
故选：BD.
2．（多选）（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，
而集合还有很多其他的基本运算．设 ， 为两个集合，称由所有属于集合 但不属于集合 的元素组成
的集合为集合 与集合 的差集，记为 ，即 ．下列表达式一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C，因为 ， ，所以 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，所以 ，故D正确.
故选：
3．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）定义差集 且 ，已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选：B
4．（2022秋·江苏常州·高一统考期中）对于集合A，B，我们把集合 且 叫做集合A与B的差
集，记作 ．若集合 ，集合 ，且 ，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据差集的定义，由 可得 ，
因为 ， ，
又因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，故 ，由 得 ，
令 ，得 或 ，
当 ，即 时，上述不等式解得 ，即 ，显然此时集合 没有任何包
含关系，不满足题意；
当 ，即 时，上述不等式化为 ，显然无解，即 ，显然 不成立，不满足题
意；
当 ，即 时，上述不等式解得 ，
因为 ，所以由数轴法可得 ，故 ；
综上： ，即 .
故选：A.
⑧“势”
1．（2022秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）设全集 ，对其子集引进“势”的
概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则
子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就
越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是 ．
【答案】 /
【详解】元素个数为0的1个， ；
元素个数为1的5个， ， ， ， ， ；
元素个数为2的10个， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
所以，排在第12位的子集是 .
故答案为： .
2．（2022秋·高一单元测试）设全集 ，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；
②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集
的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子
集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第 位的子集是 .
【答案】
【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有
10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第 位的子集在含有3个元素
的子集中，第26位的子集为 ，第25位的子集为 ，第24位的子集为 ，第23位的子集为
故答案为：
⑨“好集”
1．（2016秋·山西·高一阶段练习）如果集合 ，同时满足 ,
就称有序集对 为“ 好集对”.这里有序集对 是指当 时， 和 是不同的集对，
那么“好集对” 一共有个
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
【答案】B
【详解】试题分析：因为 ，所以当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，
；当 时， ；所以满足条件的“好集对”一共有 个，故选B.
2．（2023秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）定义：实数a，b，c，若满足 ，则称a，
b，c是等差的，若满足 ，则称a，b，c是调和的．已知集合 ，集合P是
集合M的三元子集，即 ，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合P
为“好集”，则集合P为“好集”的个数是 ．
【答案】1010
【详解】由好集的定义得 且 ，则有 ，化简得 ，故
或 ，
由 得 ，故 ， ，∴ ，且 .
∵ ，∴ 且 ，得 ，
故集合P为“好集”的个数为 .
故答案为：10103．（2016·浙江嘉兴·高三阶段练习）若三个非零且互不相等的实数 ， ， 满足 ，则称 ， ，
是调和的；若满足 ，则称 ， ， 是等差的，若集合 中元素 ， ， 既是调和的，又是等
差的，则称集合 为“好集”，若集合 ，集合 ，则（1）“好集”
中的元素最大值为 ；（2）“好集” 的个数为 ．
【答案】 2012； 1006.
【详解】解：由题意得，
，∵ ，∴ ， ，
∴ 时，好集中的元素的最大值为 ，
的所有可能值为 ， ，…… ， ，…… ， ，共 个，即好集的个数为 ．
故答案为：2012, 1006.
二、逻辑推理
①充分性必要性
1．（2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考期末）若 、 为实数，则“ ”是“
或 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若 ，若 ，则 ，此时有 ，
若 ，则 ，此时有 ，
所以，若 ，则“ 或 ”，
即“ ” “ 或 ”；若“ 或 ”，若 ，不妨取 ， ，则 ；
若 ，不妨取 ， ，则 .
所以，“ ” “ 或 ”.
因此，“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023春·辽宁·高二校联考期末）“ ”是“方程 有实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当 时，此时的方程为 ，即 无解，所以 有实
数解；
因为 ，所以 ，即 ，所以方程 有实数解
；
所以“ ”是“方程 有实数解”的必要不充分条件．
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知“ ”是“ ”成立的必要不充分
条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 得： 或 ，所以 或 ；
由 得： ，所以 .
因为 是 的必要不充分条件，即 且 ，
所以 是 或 的真子集，
所以 或 ，解得 或 .
故选：B4．（2023·全国·高一假期作业）已知不等式 成立的充分条件是 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得 ，
所以 ，且等号不能同时成立，解得 .
故选：D.
5．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知 是 的充分非必要条件，则实
数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由 ，解得 ，记 ，
由 ，解得 ，记 ，
∵“ ”是“ ”的充分非必要条件，
∴ 真包含于 ，即 ，解得 .
故答案为：
②逻辑推理
1．（2023春·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期末）定义 ，设函数
，若 使得 成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】命题 使得 成立的否定为对 ， ，
因为当 或 时， ，当 时， ，
所以当 或 时， ，
若命题 ， 为真命题，
则当 时， 恒成立，
所以 ，其中 ，
设 ，
当 时，函数 在 单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，所以 ，
所以 ，矛盾；
当 时，函数 在 单调递减，
所以当 时，函数 取最小值，所以 ，
所以 ，矛盾；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时，函数 取最小值，所以 ，
所以 ，
所以当 时，命题 ， 为真命题，
所以若 使得 成立，则a的取值范围为 .
故选：A.
2．（2023春·江苏徐州·高二统考期末）已知“ ， ”为假命题，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
【详解】由“ ， ”为假命题，
可知“ ， ”为真命题，
设 ，则有 在 上恒成立，则须满足：
，解得： ，故答案为： .
3．（2023·全国·高三对口高考）已知命题 ，使得“ 成立”为真命题，则实数a的
取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为命题 ，使得“ 成立”为真命题，
当 时， ，则 ，故成立；
当 时， ，解得： ；
当 时，总存在 ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
故答案为：
4．（2023·全国·高一假期作业）已知命题 ”的否定为真命题，则实数 的取值范
围是 .
【答案】
【详解】已知问题等价于 有解，即 或 ，解得 .
故答案为：
5．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，若同时满足条件：①
或 ；② .则m的取值范围是 .
【答案】
【详解】根据 可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在 是必须是
，当m=0时， 不能做到f(x)在 时 ，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只
能向下，故m<0,且此时2个根为 ，为保证条件成立，只需 ，
和大前提m<0取交集结果为 ；
又由于条件2的限制， ，
可分析得出在 ，
因此-4应该在两个根之间，当 时， ，解得交集为空，舍．
当m=-1时，两个根同为 ，舍．
当 时， ，解得 ，所以综上所述， ．
三、不等式
①作差法
1．（多选）（2023春·河南商丘·高二统考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A项，取 ，则 ，故A项错误；
对于B项，因为 ，所以 ，又因为 ，则 ，故B项正确；
对于C项， ，所以 ，故C项正确；
对于D项，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故D项正确.
故选：BCD.
2．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，所以 .
因为 ， ，所以 .因为 ，
所以， .
因为 ， ，所以 .
综上所述， .
故选：A.
3．（2023秋·高一课时练习）比较大小：
(1) 和 ；
(2) 和 ，其中 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以
，
所以 .
②基本不等式
1．（多选）（2023春·福建福州·高一福州三中校考期末）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为16
【答案】BCD【详解】因为 ， ，
所以 ，仅当 时，即 等号成立，
令 ，则 ，故 ，
所以 ，即 ，仅当 时右侧等号成立，
所以 的最大值为 ，A错误；
由 ，则 ，
所以 ，
仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 ，B正确；
由 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，C正确；
由 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为16，D正确.
故选：BCD
2．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．13 C．9 D．6
【答案】A
【详解】因 ， ，
所以 ，
当且仅当 即 ，且 时，等号成立.
故选：A
3．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）若正数 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 可得 时等号成立，
所以 ，所以 时， 的最小值是 ，
故选：B
4．（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】25
【详解】因为正实数x，y满足 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为25，
故答案为：25
5．（2023春·河北保定·高二校联考期末）若 ，且 ，则 的最小值为
．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ．因为 ，所以 ，
所以 ，整理得， ，
所以 或 （ 故舍去），故 的最小值为12，当且仅当 时，等号
成立．
故答案为：
6．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知 ，其中 ， ， ，则 的最小
值为 ．
【答案】16
【详解】因为 ， ，则
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为16.
故答案为：167．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）正实数 满足 ，且不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为不等式 恒成立，
所以 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号是成立的，
所以 ，所以 ，即 ，
解得 .
故答案为：
8．（2023春·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知 ，则 的最小值
为 .
【答案】
【详解】
∵ ，∴ ， ，且 ，
∴
，当且仅当 时，
即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故答案为： .
9．（2023春·江苏苏州·高二统考期末）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【详解】因为 ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 ，又 ，所以 ， 时，等号成立.
故 的最小值为 .
故答案为： .
10．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知 ，则 的
最小值为 .
【答案】 /
【详解】∵ ，∴ ，
两边平方得 ，
， ， ，∴ ，
所以 ，
当且仅当 ， 时，上述等号成立.
故答案为： .
