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§2.11 函数的零点与方程的解
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间
(a，b)内至少有一个零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=x-e-x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为
0.1)为( )
x
1
0.5
0.75
0.625
0.562 5
f(x)
0.632 1
-0.106 5
0.277 6
0.089 7
-0.007
A.0.55
B.0.57
C.0.65
D.0.7
3.(2025·新乡模拟)已知函数f(x)=x3+x，g(x)=3x+x，h(x)=log3x+x 的零点分别为α，β，γ，则( )
A.γ<α<β
B.α<β<γ
C.β<γ<α
D.β<α<γ
4.若函数f(x)=(ln x)2-ln xa在(0，8)内有2 个零点，则实数a 的取值范围为( )
A.(-∞，2ln 2)
B.(-∞，0)∪(0，2ln 2)
C.(-∞，3ln 2)
D.(-∞，0)∪(0，3ln 2)
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.下列说法正确的是( )
A.函数f(x)=x2+2x-8 的零点是(-4，0)，(2，0)
B.方程ex=3+x 在区间(-3，0)，(0，10)上有解
C.函数y=3x，y=log3x 的图象关于y=x 对称
D.用二分法求方程3x+3x-8=0 在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落
在区间(1，1.25)上
6.已知关于x 的方程|ax +3|=-ax2-6x-a(a>0)有两个不相等的实数解，则实数a 的取值可能为( )
A.1
B.2
C.3
D.6
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知函数f(x)={
ln(- x)，x<0，
x
2-3 x - 4，x>0，则函数y=f(x)的零点是 .
8.若函数f(x)=log2(a-2x)+x-1 存在零点，则实数a 的取值范围是
.
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)已知函数f(x)=xn-x-1.
(1)证明：当n=3 时，f(x)至少有一个零点；(6 分)
(2)当n=-1 时，关于x 的方程f(x)=m 在[1，3]上没有实数解，求m 的取值范围.(7 分)
10.(14 分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c.
(1)证明：f(x+2)是偶函数；(7 分)
(2)若函数g(x)=f(x)-mx+1 在(1，+∞)内有两个零点，求实数m 的取值范围.(7 分)
11 题6 分，12 题5 分，共11 分
11.(多选)已知函数f(x)={
- x
2+ 4 x，x ≥0，
- x，x<0，
若函数g(x)=f(x)-mx-1 有3 个零点，则实数m 的取值可能是(
)
A.-2
B.0
C.1
D.2
12.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)={
|3
x -1|，x ≤2，
x
2-10 x +24，x>2，若方程2[f(x)]2-mf(x)=0 有6 个不相等的实根，则
非零实数m 的取值范围为 .
答案精析
1.A [函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可知，当f(a)·f(b)<0 时，函数y＝f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点，
充分性成立；
而函数y＝f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点时，
f(a)·f(b)<0 不一定成立，
如函数y＝x2，在开区间(－1，1)内有零点x＝0，但f(－1)·f(1)>0，必要性不成立.
则“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.]
2.B [易知f(x)在[0，1]上单调递增，
由表格得f(0.562 5)f(0.625)<0，
且|0.625－0.562 5|＝0.062 5<0.1，
∴函数零点在(0.562 5，0.625)内，
∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57.]
3.D [令f(x)＝x3＋x＝0，
得x3＝－x，
令g(x)＝3x＋x＝0，得3x＝－x，
令h(x)＝log3x＋x＝0，
得log3x＝－x，
则易知函数
f(x)，g(x)，h(x)的零点分别为y＝x3，y＝3x，y＝log3x 的图象与直线y＝－x 交点的横坐标，如图，
由图象可知，β<0，α＝0，γ>0，
故β<α<γ.]
4.D [由f(x)＝(ln x)2－aln x
＝ln x(ln x－a)＝0，
得x＝1 或x＝ea.
依题意可得0<ea<8，且ea≠1，
所以a<3ln 2，且a≠0，
即a<0 或0<a<3ln 2.]
5.BC [对于A，令f(x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f(x)＝x2＋2x－8 的零点是－4 和2，
故A 错误；
对于B，令f(x)＝ex－x－3，
则f(－3)＝e－3>0，f(0)＝－2<0，f(10)＝e10－13>210－13＝1 024－13＝1 011>0，所以由函数零点存在定理可
知f(x)＝ex－x－3 在区间(－3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex＝3＋x 在区间(－3，0)，(0，10)内有解，故
B 正确；
对于C，函数y＝3x，y＝log3x 互为反函数，所以函数y＝3x，y＝log3x 的图象关于y＝x 对称，故C 正确；
对于D，用二分法求方程3x＋3x－8＝0 在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方
程的解落在区间(1.25，1.5)上，故D 错误.]
6.AB [由a>0，记F(x)＝|ax＋3|，
G(x)＝－ax2－6x－a，
作出两个函数的图象如图，
若函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，则需G(- 3
a)＝9
a－a>0，
解得0<a<3.]
7.－1 和4
解析 依题意，{
x<0,
ln(- x)＝0或{
x>0,
x
2-3 x - 4＝0,
解得x＝－1 或x＝4.
8.[2√2，＋∞)
解析 当log2(a－2x)＋x－1＝0⇔log2(a－2x)＝1－x⇔a－2x＝21－x＝2
2
x ，即a＝2x＋2
2
x ≥2√2，当且仅当2x＝
2
2
x ，即2x＝√2，即x＝1
2时等号成立，所以实数a 的取值范围是[2√2，＋∞).
9.(1)证明 当n＝3 时，
f(x)＝x3－x－1，
因为f(0)＝03－0－1＝－1<0，
f(2)＝23－2－1＝5>0，
根据函数零点存在定理，可知f(x)＝x3－x－1 至少有一个零点.
(2)解 当n＝－1 时，关于x 的方程f(x)＝m 变为1
x －x－1＝m，
又因为函数f(x)＝1
x －x－1 在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[1，3]上的值域为[- 11
3 ，-1]，
方程f(x)＝m 在[1，3]上没有实数解，则m 的取值范围是(-∞，- 11
3 )∪(－1，＋∞).
10.(1)证明 由二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2，＋∞)，
可得b
2＝2，解得b＝4.
又因为f(x)有一个零点为c，
则f(c)＝c2－4c＋c＝0，
解得c＝3 或c＝0(舍去)，
所以f(x)＝x2－4x＋3
＝(x－2)2－1，
因为f(－x＋2)＝x2－1
＝f(x＋2)，f(x)的定义域为R，
所以f(x＋2)是偶函数.
(2)解 由(1)可知g(x)＝x2－4x＋3－mx＋1＝x2－(4＋m)x＋4，
因为g(x)在(1，＋∞)内有两个零点，
则满足{
Δ＝(4＋m)
2-16>0,
4＋m
2
>1,
g(1)＝1-m>0,
解得0<m<1，
所以实数m 的取值范围为(0，1).
11.BC [令g(x)＝0，
得f(x)＝mx＋1，
∴函数f(x)的图象与直线y＝mx＋1 有三个交点，如图，
若直线y＝mx＋1 与直线y＝－x(x<0)平行，
则m＝－1，此时有2 个交点；
若直线y＝mx＋1 与y＝－x2＋4x(x≥0)的图象相切，
联立两方程得x2＋(m－4)x＋1＝0，
Δ＝(m－4)2－4＝0，
得m＝2(m＝6 舍去)，
此时有2 个交点，故－1<m<2.]
12.[2，16)
解析 函数f(x)＝{
|3
x -1|, x ≤2,
x
2-10 x＋24 , x>2的图象如图，
且f(2)＝8，
由2[f(x)]2－mf(x)＝0，
可得f(x)＝0 或f(x)＝m
2 ，
由图象可知方程f(x)＝0 有3 个不相等的实根，
又方程2[f(x)]2－mf(x)＝0 有6 个不相等的实根，
则f(x)＝m
2 有3 个不相等的实根，
所以m
2 ∈[1，8)，解得m∈[2，16).
