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§2.4 函数的周期性和对称性
课标要求 1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推
论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D 都有x
＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个___________就
叫做f(x)的最小正周期.
2.函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a 对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称.
(3)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对
称中心为 .
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于 对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T 是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( )
(2)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称.( )
(3)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1 对称.( )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2 对称.( )
2.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于( )
A.17
16
B.5
4
C.2
D.1
3.已知定义在R 上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R 恒成立，则( )
A.f(－1)<f(3)
B.f(0)>f(3)
C.f(－1)＝f(3)
D.f(0)＝f(3)
4.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点 .
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则2|a|是f(x)的一个周期；
(2)若f(x＋a)＝
1
f ( x)，则2|a|是f(x)的一个周期；
(3)若f(x＋a)＝－
1
f ( x)，则2|a|是f(x)的一个周期.
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a 和x＝b 对称，则函数f(x)的一个周期为2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a 和点(b，0)对称，则函数f(x)的一个周期为4|a－b|.
题型一 函数的周期性
例1 (1)已知函数f(x)满足f(2＋x)＝－f(x)，当2≤x≤3 时，f(x)＝x2－x，则f(2 026)等于( )
A.0
B.2
C.6
D.20
(2)已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于y 轴对称，且f(x－1)＝f(x＋2)，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则
f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是( )
A.2 024
B.2 023
C.1
D.0
思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而
解决问题.
跟踪训练1 (多选)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，则下列
结论正确的是( )
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6，－3]时，f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024)
D.函数f(x)的图象关于点(－6，0)对称
题型二 函数的对称性
命题点1 自对称中的轴对称
例2 (多选)设f(x)是R 上的奇函数，且对∀x∈R，都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列
说法正确的是( )
A.f(x)在[3，5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1，最小值是0
C.直线x＝1 是函数f(x)的一条对称轴
D.f(x)的一个周期为4
命题点2 自对称中的中心对称
例3 (多选)下列说法中，正确的是( )
A.函数f(x)＝2 x -1
x＋2 的图象关于点(－2，2)对称
B.若函数f(x)为奇函数，则函数y＝f(x－1)＋1 的图象关于点(－1，1)对称
C.若函数f(x)满足f(4－x)＝－f(x)，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称
D.若函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称
命题点3 互对称问题
例4 已知函数y＝f(x)是定义域为R 的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A.关于直线x＝1 对称
B.关于直线x＝3 对称
C.关于直线y＝3 对称
D.关于点(3，0)对称
思维升华 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
对称.
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a
＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点(
a＋b
2
，c
2)成中心对称.
跟踪训练2 (1)(多选)下列结论正确的是( )
A.函数f(x)满足f(x－6)＋f(－x)＝0，则函数f(x)的图象关于直线x＝－3 对称
B.函数f(x)＝cos xsin 2x 的图象关于直线x＝π
2 对称
C.函数f(x)＝esin x－ecos x的图象关于点(
π
4 ，0)中心对称
D.函数y＝3x与y＝32－x的图象关于直线x＝1 对称
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－
1)的解集为 .
答案精析
落实主干知识
1.(1)f(x＋T)＝f(x) (2)最小 最小正数
2.(2)(a，0) (3)x＝a (a，0)
3.(1)y 轴 (2)x 轴 (3)原点
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.B [由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的一个周期为2，
当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，
∴f(2 024.5)＝f (2 024＋1
2)
＝f (
1
2)＝1
4 ＋1＝5
4 .]
3.A [因为f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2 对称，
所以f(3)＝f(1)，
由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，
所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3).]
4.(－1，2)
解析 y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，
则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2).
探究核心题型
例1 (1)B [因为f(x＋4)
＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的一个周期为4，
所以f(2 026)＝f(506×4＋2)
＝f(2)＝22－2＝2.]
(2)D [因为f(x－1)＝f(x＋2)，
所以f(x)＝f(x＋3)，
所以f(x)的一个周期为3，
由f(－1)＝1，得f(2)
＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，
由f(0)＝－2，得f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，
因为函数f(x)的图象关于y 轴对称，且定义域为R，所以f(x)为偶函数，
故f(1)＝f(－1)＝1，
则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0.]
跟踪训练1 ACD [因为f(x－3)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋3)，则f(x－3)＝f(x＋3)，所以f(x＋6)＝f(x)，
故A 正确；
当x∈[－6，－3]时，x＋6∈[0，3]，f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18，故B 不正确；
由f(x＋6)＝f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 023)＝f(1＋337×6)＝f(1)＝－2，f(2 025)＝f(3＋337×6)
＝f(3)＝0，f(2 024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2，所以f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024)，故C 正确；
因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点(0，0)对称，又函数f(x)的一个周期为6，故f(x)的图象关
于点(－6，0)对称，故D 正确.]
例2 ACD [因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1 对称，故C 正确；
又因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(2－x)＋f(－x)＝0，从
而f(2＋x)＋f(x)＝0，所以f(4＋x)＋f(x＋2)＝0，所以f(4＋x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4，故D 正确；
又因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x2单调递增，所以f(x)在[－1，0]上也单调递增，从而f(x)在[－1，1]上单调递
增，又因为f(x)的一个周期为4，所以f(x)在[3，5]上单调递增，故A 正确；
因为f(x)在[－1，1]上单调递增，且f(x)的图象关于直线x＝1 对称，所以f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)
在[－1，3]上的最大值为f(1)＝1，最小值为f(－1)＝－f(1)＝－1，故B 错误.]
例3 ACD [对于A，f(x)＝2 x -1
x＋2 ＝2( x＋2)-5
x＋2
＝2－
5
x＋2，其图象可以由y＝－5
x 的图象向左平移2
个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，且y＝－5
x 的图象关于原点对称，故f(x)＝2 x -1
x＋2 的图象关于
点(－2，2)对称，A 正确；
对于B，函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，将函数f(x)的图象向右平移1 个单位长度，
再向上平移1 个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1 的图象，其图象关于点(1，1)对称，B 错误；
对于C，函数f(x)满足f(4－x)＝－f(x)，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，C 正确；
对于D，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－
f(－x－2)，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，D 正确.]
例4 A [设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1 对称，
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1 对称.]
跟踪训练2 (1)BCD [对于A，由f(x－6)＋f(－x)＝0 可得，f(x－6)＝－f(－x)，所以函数f(x)的图象关于点
(－3，0)对称，故A 错误；对于B，f(π－x)＝cos(π－x)·sin(2π－2x)＝cos xsin 2x＝f(x)，故B 正确；对于C，
f (
π
2 - x)＝e
sin(
π
2 - x)－e
cos(
π
2 - x)＝ecos x－esin x＝－f(x)，故C 正确；对于D，函数y＝3x与y＝3－x的图象关于
直线x＝0 对称，把函数y＝3－x的图象向右平移2 个单位长度，得到函数y＝32－x的图象，故函数y＝3x与y
＝32－x的图象关于直线x＝1 对称，D 正确.]
(2)(－1，1)
解析 ∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0 对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝2 对称，
又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，2]上单调递增.
又－x2，－1∈(－∞，2]，
f(－x2)>f(－1)，
∴－x2>－1，即x2<1，
∴－1<x<1，
∴原不等式的解集为(－1，1).
