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2.6 指数与指数函数
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
2.6 指数与指数函数..............................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：指数.............................................................2
考点2：指数函数.........................................................3
二、分类题型................................................................4
题型一 指数幂的运算......................................................5
题型二 指数函数的图象及应用..............................................5
题型三 指数函数的性质及应用..............................................6
命题点1 比较指数式的大小............................................6
命题点2 解简单的指数方程或不等式....................................7
命题点3 指数函数性质的综合应用......................................8
三、课堂总结：知识图谱......................................................9
四、分层训练：课堂知识巩固.................................................10
1
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一、主干知识
考点1：根式
(1)如果xn＝a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n 为奇数时，＝a，
当n 为偶数时，＝|a|＝
考点2：分数指数幂
正数的正分数指数幂，
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，
＝
＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义．
考点3：指数幂的运算性质
aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r (a>0，b>0，r，s∈R)．
2
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考点4：指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R，a 是底数．
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0
，＋
∞
)
性质
过定点(0,1)，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y >1
；
当x<0 时，
0<
y <1
当x<0 时，y >1
；
当x>0 时，
0<
y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函
数
【常用结论归纳】
1、指数函数单调性的讨论：一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a
＞1，0＜a＜1 的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判
断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X 的增大，Y 值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值就在不断的减
小，而内层函数的Y 值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X 的增大时，内层函数
的Y 值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X 不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复
合函数的Y 值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则
若随着内层函数自变量X 的增大，内层函数的Y 值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X 不断增大，
又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y 值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
3
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4
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二、分类题型
题型一 指数幂的运算
【例题精析1】
（2023·全国·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【例题精析2】
已知
，则
的值是（ ）
A．15
B．12
C．16
D．25
【例题精析3】
化简
____________.
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注
意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【对点精练1】
化简
的结果是______．
【对点精练2】
用分数指数幂表示下列各式：
5
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(1)
＝____; (2)
＝____；(3)
＝____; (4)
＝____；(5)
＝____.
【对点精练3】
计算：
的值．
题型二 指数函数的图象及应用
【例题精析4】
（2020·山东·统考高考真题）已知函数
是偶函数，当
时，
，
则该函数在
上的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析5】
（2023·广西南宁·统考二模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
6
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C．
D．.
（1）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、
伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
（2）有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【对点精练4】
指数函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练5】
已知函数
，若
的值域是
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练6】
已知函数
（其中
）的图象如图所示，则函数
的图象大
致是（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
【例题精析6】
（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析7】
函数
（其中
，
）的图象恒过的定点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练7】
（2023·江西南昌·统考二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【对点精练8】
（2020·全国·统考高考真题）若
，则（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
命题点2 解简单的指数方程或不等式
【例题精析8】
（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析9】
已知函数
，则函数
零点的个数是__________．
【例题精析10】
（2023·山东青岛·统考模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【对点精练9】
（2023·全国·高三专题练习）设函数
则满足
的x 的取值范围
是______．
【对点精练10】
“
”是“
的一个（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
命题点3 指数函数性质的综合应用
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【例题精析11】
写出一个同时具有下列性质①②的函数
______．
①
；②
在R 上为增函数．
【例题精析12】
已知函数
是增函数，则实数
的取值范围是_____________．
【例题精析13】
已知不等式
对于
恒成立，则实数
的取值范围是__．
【例题精析14】
若函数f (x)＝
有最大值3，则a＝________.
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还
可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最
值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【对点精练11】
已知函数
，则函数
的值域为___．
【对点精练12】
已知函数
(其中是常数)．若当
时，恒有
成立，则实数的
取值范围为_______．
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三、课堂总结：知识图谱
四、分层训练：课堂知识巩固
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1．（2023•沭阳县校级模拟）设
，那么
A．
B．
C．
D．
2．（2022 秋•甘肃期末）下列等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
3．（2022•甲卷）已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．（2021•山东模拟）已知函数
的图象恒过定点
，则点
的坐标是
A．
B．
C．
D．
5．（2021•山东模拟）函数
的图象一定经过的点是
A．
B．
C．
D．
6．（2021•未央区校级模拟）设
，则
A．
B．
C．
D．
7．（2020•新课标Ⅲ）
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据
建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
的单位：天）的
模型：
，其中
为
最大确诊病例数．当
时，标志着已初步遏制疫情，则
约为
A．60
B．63
C．66
D．69
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8．（2020•新课标Ⅰ）若
，则
A．
B．
C．
D．
9．（2020•九江二模）已知
，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
10．（2020 秋•徐汇区校级期中）若
，则
等于
A．
B．
C．
D．
11．（2018 春•上杭县校级月考）已知向量
满足
．
1．（2022 秋•甘肃期末）下列等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
2．（2021•南昌模拟）定义在
上的函数
为偶函数，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
3．（2021•未央区校级模拟）已知函数
，
，
的图象如图所示，则
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A．
B．
C．
D．
4．（2020 秋•玉林期中）已知
，
则化简的结果是
A．
B．
C．
D．
5．（2019 春•玉林期末）若函数
，满足
（1）
，则
的单调递减区间是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
6．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数
，在同一坐标系中，
与
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
1．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数
，在同一坐标系中，
与
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的图象可能是
A．
B．
C．
D．
2．（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象
称为衰变．假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量
（单位：太贝克）与时间（单位：年）
满足函数关系：
，其中
为
时铯137 的含量．已知
时，铯137 含量的变化率是
（太贝克年），则
A．5 太贝克
B．
太贝克
C．
太贝克
D．150 太贝克
3．（2021 秋•宛城区校级期中）已知
且
，
，当
时均有
，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
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