§2.4 函数的周期性和对称性
课标要求 1.了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推
论.3.会依据函数的性质进行简单的应用.
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D 都有x＋
T∈D,且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的
最小正周期.
2.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a 对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点( a ,0)
对称.
(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x ＝
a ；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心
为( a ,0)
.
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y 轴
对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x 轴
对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若T 是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( √ )
(2)若函数y＝f(x)是奇函数,则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称.( √ )
(3)若函数y＝f(x＋1)是偶函数,则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1 对称.( × )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x),则f(x)的图象关于直线x＝2 对称.( √ )
2.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,则f(2 024.5)等于( )
A.17
16
B.5
4
C.2
D.1
答案 B
解析 由f(x＋2)＝f(x)可知,函数f(x)的周期为2,
当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,
∴f(2 024.5)＝f(2 024＋1
2)＝f(
1
2)＝1
4 ＋1＝5
4 .
3.下列函数与y＝ex关于直线x＝1 对称的是( )
A.y＝ex－1
B.y＝e1－x
C.y＝e2－x
D.y＝ln x
答案 C
解析 记f(x)＝ex,则关于直线x＝1 对称的是f(2－x)＝e2－x,即y＝e2－x.
4.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),则函数y＝－f(－x)的图象必过点 .
答案 (－1,2)
解析 y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称,y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),
则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝
1
f ( x) ,则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－
1
f ( x) ,则T＝2|a|.
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a 和x＝b 对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a 和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|.
题型一 函数的周期性
例1 (1)若偶函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0,当x∈(0,1)时,f(x)＝x
2＋1,则f(
7
2)等于( )
A.2
B.7
4
C.5
4
D.3
4
答案 C
解析 由已知可得f(x＋2)＋f(x)＝0⇒f(x＋4)＋f(x＋2)＝0⇒f(x＋4)＝f(x),
即T＝4 是函数f(x)的一个周期,
所以f(
7
2)＝f (- 1
2)＝f(
1
2)＝
1
2
2
＋1＝5
4 .
(2)已知f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(x－2)是偶函数,当0≤x≤2 时,f(x)＝x2－4x,则当6≤x≤8 时,f(x)的
解析式为( )
A.f(x)＝－x2－4x
B.f(x)＝x2－16x＋60
C.f(x)＝x2－12x＋32
D.f(x)＝－x2＋12x－32
答案 D
解析 因为f(x)是定义在R 上的奇函数,f(x－2)为偶函数,
所以f(－x)＝－f(x),f(－x－2)＝f(x－2),即f(－x)＝f(x－4),
所以f(x－4)＝－f(x),
所以f(x＋4)＝－f(x),
可得f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x),
所以f(x)的一个周期为8,
又当0≤x≤2 时,f(x)＝x2－4x,
当6≤x≤8 时,则0≤8－x≤2,所以f(8－x)＝(8－x)2－4(8－x)＝x2－12x＋32,
又f(x)是周期为8 的奇函数,
则f(x)＝f(x－8)＝－f(8－x)＝－(x2－12x＋32)＝－x2＋12x－32,
故f(x)＝－x2＋12x－32,x∈[6,8].
思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决
问题.
跟踪训练1 (多选)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x),当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则下列结论正
确的是( )
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6,－3]时,f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x＝3
2
答案 ACD
解析 因为f(x－3)＝－f(x),所以f(x)＝－f(x＋3),则f(x－3)＝f(x＋3),所以f(x＋6)＝f(x),故A 正确；
当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则当x∈[－6,－3]时,x＋6∈[0,3],f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝x2＋9x＋18,故B
不正确；
由f(x＋6)＝f(x),得函数f(x)的一个周期为6,得f(2 023)＝f(1＋337×6)＝f(1)＝－2,f(2 025)＝f(3＋337×6)＝f(3)
＝0,f(2 024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2,所以f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024),故C 正确；
由A 选项知,f(x)＝－f(x＋3),又f(x)＝－f(－x),则f(x＋3)＝f(－x),所以函数f(x)的一条对称轴为直线x＝3
2 ,故D
正确.
题型二 函数的对称性
命题点1 自对称中的轴对称
例2 (多选)设f(x)是R 上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x2,则下列说法正确
的是( )
A.f(x)在[3,5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1,最小值是0
C.直线x＝1 是函数f(x)的一条对称轴
D.当3≤x≤4 时,f(x)＝－(x－4)2
答案 ACD
解析 因为f(x)是R 上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),又因为f(2－x)＝f(x),所以f(x)的图象关于直线x＝1 对称,
故C 正确；
因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x),即f(2－x)＋f(－x)＝0,从而f(2＋x)＋f(x)＝0,所以f(4＋x)＋f(2＋x)＝0,所以f(4＋x)
＝f(x),所以f(x)是周期为4 的周期函数,又因为当x∈[0,1]时,f(x)＝x2单调递增,所以f(x)在[－1,0]上也单调递增,
从而f(x)在[－1,1]上单调递增,又因为f(x)的周期为4,所以f(x)在[3,5]上单调递增,故A 正确；
因为f(x)在[－1,1]上单调递增,且f(x)的图象关于直线x＝1 对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[－1,3]
上的最大值为f(1)＝1,最小值为f(－1)＝f(3)＝－1,故B 错误；
当3≤x≤4 时,0≤4－x≤1,所以f(4－x)＝(4－x)2,因为周期为4,所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2,又因为f(x)为奇
函数,所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2,故D 正确.
命题点2 自对称中的中心对称
例3 (多选)下列说法中,正确的是( )
A.函数f(x)＝2 x -1
x＋2 的图象关于点(－2,2)中心对称
B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称
C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1 过定点(1,2)
D.函数y＝x -1
x -b的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2
答案 ABC
解析 对于A,f(x)＝2 x -1
x＋2 ＝2( x＋2)-5
x＋2
＝2－
5
x＋2 ,其图象可以由y＝－5
x 的图象向左平移2 个单位长度,
再向上平移2 个单位长度得到,且y＝－5
x 的图象关于原点对称,故f(x)＝2 x -1
x＋2 的图象关于点(－2,2)中心对称,
A 正确；
对于B,因为f(2x－1)为奇函数,所以f(2x－1)＝－f(－2x－1),所以f(x－1)＝－f(－x－1),
所以f(x)＝－f(－x－2),所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称,B 正确；
对于C,函数y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长度,再向上平移1 个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1 的图象,
由于y＝f(x)过定点(0,1),故函数y＝f(x－1)＋1 过定点(1,2),C 正确；
对于D,函数y＝x -1
x -b ＝( x -b)＋b-1
x -b
＝1＋b-1
x -b的图象关于点(3,c)中心对称,
所以{
3-b＝0,
c＝1, 解得{
b＝3,
c＝1,
所以b＋c＝4,D 不正确.
命题点3 互对称问题
例4 已知函数y＝f(x)是定义域为R 的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A.关于直线x＝1 对称
B.关于直线x＝3 对称
C.关于直线y＝3 对称
D.关于点(3,0)对称
答案 A
解析 设P(x0,y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点,则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0)),
所以点Q(2－x0,y0)在函数y＝f(4－x)的图象上,
而点P(x0,y0)与点Q(2－x0,y0)关于直线x＝1 对称,
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1 对称.
思维升华 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
对称.
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋
x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点(
a＋b
2
, c
2)成中心对称.
跟踪训练2 (1)(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则函数f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)＝x＋
1
x＋3
B.f(x)＝ex－3＋e3－x
C.f(x)＝x4－18x2
D.f(x)＝|x2－6x|
答案 BD
解析 若f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则f(6－x)＝f(x).
对于A,f(6－x)＝6－x＋1
9- x ≠f(x),A 错误；
对于B,f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x),B 正确；
对于C,∵f(0)＝0,f(6)＝64－18×62＝648,∴f(0)≠f(6),即f(6－x)＝f(x)不恒成立,C 错误；
对于D,f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x),D 正确.
(2)(多选)已知函数y＝f(x＋1)－2 为定义在R 上的奇函数,又函数g(x)＝2 x -1
x -1 ,且f(x)与g(x)的函数图象恰
好有2 026 个不同的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P2 026(x2 026,y2 026),则下列叙述中正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(2,2)对称
B.g(x)的图象关于点(1,2)对称
C.x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026
D.y1＋y2＋…＋y2 026＝2 026
答案 BC
解析 函数y＝f(x＋1)－2 为定义在R 上的奇函数,则有f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)＋2,
即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4,
又(- x＋1)＋( x＋1)
2
＝1, 4
2 ＝2,所以函数y＝f(x)的图象关于点(1,2)对称,无法判断是否关于点(2,2)对称,A
选项错误；
函数g(x)＝2 x -1
x -1 ＝2＋1
x -1 ,结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知,g(x)的函数图象也关于点(1,2)
对称,B 选项正确；
f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1,2)对称,不妨设x1<x2<…<x2 026,
则有x1＋x2 026＝x2＋x2 025＝…＝x1 013＋x1 014＝2,
y1＋y2 026＝y2＋y2 025＝…＝y1 013＋y1 014＝4,
所以x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026,C 选项正确；
y1＋y2＋…＋y2 026＝4 052,D 选项错误.
课时精练
[分值：90 分]
一、单项选择题(每小题5 分,共20 分)
1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),则f(2 026)等于( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案 B
解析 因为f(x)是定义在R 上的奇函数,
所以f(0)＝0,
又f(x＋2)＝f(x),
所以2 是f(x)的一个周期,
所以f(2 026)＝f(0)＝0.
2.函数y＝－ex与y＝e－x的图象( )
A.关于x 轴对称
B.关于y 轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y＝x 对称
答案 C
解析 根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称.
3.若函数y＝f(x)与函数y＝2x＋1－1 的图象关于直线x＝2 对称,则f(4)的值为( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
答案 A
解析 设g(x)＝2x＋1－1,
因为函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2 对称,
所以f(4)＝g(0)＝2－1＝1.
4.(2024·茂名模拟)函数y＝f(x)和y＝f(x－2)均为R 上的奇函数,若f(－1)＝－2,则f(2 025)等于( )
A.－2
B.－1
C.0
D.2
答案 D
解析 因为y＝f(x－2)为奇函数,
f(x－2)＝－f(－x－2),
所以y＝f(x)的图象关于点(－2,0)对称,
即f(－x)＋f(x－4)＝0,
又y＝f(x)的图象关于原点对称,
则f(－x)＝－f(x),
有f(x)＝f(x－4)⇒f(x＋4)＝f(x),
所以y＝f(x)的一个周期为4,
故f(2 025)＝f(1＋2 024)＝f(1)＝－f(－1)＝2.
二、多项选择题(每小题6 分,共12 分)
5.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x),且满足f(x)－f(2－x)＝0,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称
B.函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称
C.函数f'(x)的图象关于直线x＝1 对称
D.函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 BD
解析 由f(x)－f(2－x)＝0,可知函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称.对f(x)－f(2－x)＝0 求导,得f'(x)＋f'(2－x)
＝0,则函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称,所以A,C 错误,B,D 正确.
6.(2025·漳州质检)已知定义在R 上的函数f(x)不恒等于0,f(π)＝0,且对任意的x,y∈R,有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋
y)f(x－y),则( )
A.f(0)＝1
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称
D.2π 是f(x)的一个周期
答案 ABC
解析 对于A,根据题意令x＝y,则由f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y),可得f(2x)＋f(2x)＝2f(2x)f(0),又f(x)不恒等
于0,则f(0)＝1,即A 正确；
对于B,令y＝－x,可得f(2x)＋f(－2x)＝2f(0)f(2x)＝2f(2x),所以f(2x)＝f(－2x),
即对任意的x∈R 满足f(x)＝f(－x),即f(x)是偶函数,所以B 正确；
对于C,令x＋y＝π,则由f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y),可得f(2π－2y)＋f(2y)＝2f(π)f(π－2y)＝0,
即f(x)满足f(2π－x)＋f(x)＝0,因此可得f(x)的图象关于点(π,0)中心对称,即C 正确；
对于D,由于f(x)是偶函数,所以满足f(x－2π)＋f(x)＝0,即f(x)＋f(x＋2π)＝0,
可得f(x－2π)＝f(x＋2π),即f(x)＝f(x＋4π),所以4π 是f(x)的一个周期,即D 错误.
三、填空题(每小题5 分,共10 分)
7.(2024·龙岩模拟)定义在R 上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x),且f(x)在(－∞,2]上单调递减,则不等式f(2x＋
3)≤f(1)的解集为 .
答案 [－1,0]
解析 因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x),
则f(x)的图象关于直线x＝2 对称,
又因为f(x)在(－∞,2]上单调递减,
则f(x)在[2,＋∞)上单调递增,
则由f(2x＋3)≤f(1)得|2x＋3－2|≤|1－2|,
即|2x＋1|≤1,解得－1≤x≤0,
则不等式的解集为[－1,0].
8.(2025·八省联考)已知曲线C:y=x3-2
x ,两条直线l1,l2均过坐标原点O,l1和C 交于M,N 两点,l2和C 交于P,Q 两
点.若△OPM 的面积为√2,则△MNQ 的面积为 .
答案 2√2
解析 因为函数y=x3-2
x 为奇函数,所以曲线C 的图象关于原点对称,又两条直线l1和l2均过坐标原点O,则P,Q
关于原点对称,M,N 关于原点对称,则四边形PNQM 为平行四边形.
又S△OPM=√2,则S△MNQ=2√2.
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且y＝f(x)的图象关于直线x＝2 对称.
(1)证明：f(x)是周期函数；(6 分)
(2)若当x∈[－2,2]时,f(x)＝－x2＋1,求当x∈[2,6]时,f(x)的解析式.(7 分)
(1)证明 因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2 对称,所以f(x＋2)＝f(2－x),
即有f(－x)＝f(x＋4),
又函数f(x)是定义在R 上的偶函数,
有f(－x)＝f(x),
所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x),
即f(x)是周期为4 的周期函数.
(2)解 当x∈[－2,2]时,f(x)＝－x2＋1,
又f(x)是周期为4 的周期函数,
当x∈[2,6]时,x－4∈[－2,2],
所以f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)2＋1,
所以f(x)＝－(x－4)2＋1＝－x2＋8x－15,x∈[2,6].
10.(14 分)函数y＝f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b 为奇函数.
(1)若f(x)＝x3－3x2,求此函数图象的对称中心；(9 分)
(2)类比上述推广结论,写出“函数y＝f(x)的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一
个推广结论.(5 分)
解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a,b),g(x)＝f(x＋a)－b,
则g(x)为奇函数,故g(－x)＝－g(x),
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b,
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b,
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0,
故{
3a-3＝0,
a
3-3a
2-b＝0,解得{
a＝1,
b＝-2,
所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1,－2).
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
11~13 题每小题5 分，14 题6 分，共21 分
11.已知函数f(x)的定义域为R,f(x＋1
2)为偶函数,f(2－x)＋f(x)＝0,f(
1
3)＝－1
2 ,则f(
16
3 )等于( )
A.1
2
B.1
3
C.0
D.－1
2
答案 A
解析 因为f(x＋1
2)为偶函数,
所以f(- x＋1
2)＝f(x＋1
2),
所以f(－x＋2)＝f(x－1),
又因为f(2－x)＋f(x)＝0,故f(x－1)＋f(x)＝0,即f(x)＝－f(x－1),
所以f(x－1)＝－f(x－2),
故f(x)＝f(x－2),
故函数f(x)的一个周期为2,
故f(
16
3 )＝f(- 2
3 ＋6)＝f(- 2
3),
在f(x－1)＋f(x)＝0 中,令x＝1
3得,
f(- 2
3)＋f(
1
3)＝0,
因为f(
1
3)＝－1
2 ,所以f(- 2
3)＝1
2 ,
故f(
16
3 )＝f(- 2
3)＝1
2.
12.已知函数f(x)的定义域为R,f(x－2)为偶函数,f(x－3)＋f(－x＋1)＝0,当x∈[－1,0]时,f(x)＝x＋1,则
19
Σ
k ＝1
f(k)
等于( )
A.19
B.0
C.1
D.－1
答案 D
解析 因为f(x－2)是偶函数,
所以f(x－2)＝f(－x－2),
则f(x)＝f(－4－x),
①
即对称轴为直线x＝－2,
又因为f(x－3)＋f(－x＋1)＝0,
所以f(x－3)＝－f(－x＋1),
则f(x)＝－f(－x－2),
②
即对称中心为点(－1,0).
由①②得f(－4－x)＝－f(－x－2),
令t＝－x－2,则－4－x＝t－2,
所以f(t－2)＝－f(t),
即f(x－2)＝－f(x),
③
所以f(x－4)＝－f(x－2).④
由③④得f(x－4)＝f(x),
所以f(x)＝f(x＋4),
所以函数f(x)是周期为4 的周期函数,
当x∈[－1,0]时,f(x)＝x＋1,
则f(0)＝1,f(－1)＝0,
f(－2)＝－f(0)＝－1,f(－3)＝－f(－1)＝0,
根据周期性得f(1)＝f(－3)＝0,f(2)＝f(－2)＝－1,f(3)＝f(－1)＝0,f(4)＝f(0)＝1,
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0－1＋0＋1＝0,
又因为19＝4×4＋3,故
19
Σ
k ＝1
f(k)＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×0＋0－1＋0＝－1.
13.(2025·吕梁模拟)已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2
3f(x)f(y)，f(1)=3
2，则下列结论不正确的是( )
A.f(0)=3
B.函数f(2x-1)的图象关于直线x=1
2对称
C.f(x)+f(0)≥0
D.f(x)的周期为3
答案 D
解析 令x=1，y=0，
则2f(1)=2
3f(1)f(0)，
又f(1)≠0，解得f(0)=3，A 正确；
令x=0，则f(y)+f(-y)=2
3f(0)f(y)=2f(y)，
所以f(y)=f(-y)，即f(x)是偶函数，
所以f(2x-1)=f(-2x+1)=f[2(1-x)-1]，
所以函数f(2x-1)的图象关于直线x=1
2对称，B 正确；
令y=x，则f(2x)+f(0)=2
3[f(x)]2≥0，
令t=2x，则f(t)+f(0)≥0，所以f(x)+f(0)≥0，C 正确；
令y=1，则f(x+1)+f(x-1)=f(x)，①
所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)，
②
联立①②得f(x+2)=-f(x-1)，
所以f(x+3)=-f(x)，f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即f(x)的周期为6，D 错误.
14.(多选)已知定义域为R 的函数f(x)对任意实数x，y 都有f(x)+f(y)=f (
x + y
2 ) f (
x - y
2 )，且f(1)=1，则下列
说法正确的是( )
A.f(0)=3
B.f(x)=f(-x)
C.函数f(x)的图象关于点(
1
2 ，0)对称
D.f(1)+f(2)+…+f(2 024)=0
答案 BD
解析 定义域为R 的函数f(x)对任意实数x，y 都有f(x)+f(y)=f (
x + y
2 ) f (
x - y
2 )，令x=y=1，则
f(1)+f(1)=f(1)f(0)，而f(1)=1，因此f(0)=2，A 错误；
令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)f(x)=2f(x)，则f(x)=f(-x)，B 正确；
显然f(0)+f(1)=3≠0，则函数f(x)的图象关于点(
1
2 ，0)不对称，C 错误；
令y=x-2，则f(x)+f(x-2)=f(x-1)f(1)=f(x-1)，同理f(x+1)+f(x-1)=f(x)，因此f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x)，从而
f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即函数f(x)的周期是6，由f(x+3)=-f(x)，得f(2)=-f(-1)=-f(1)，则f(1)+f(2)=0，显然f(4)=-
f(1)，f(5)=-f(2)，f(6)=-f(3)，所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)=337[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)=0，D 正确.
