文档文本内容
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
进阶1 椭圆、双曲线中的常见结论及应用
分值：52 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知F1，F2分别是椭圆C：x
2
16+ y
2
9 =1 的左、右焦点，点M 在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.25
B.16
C.9
D.7
2.椭圆C：x
2
4 + y
2
3 =1 的左、右顶点分别为A1，A2，点P 在椭圆C 上，直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-
1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
A.[
1
2 ，3
4]
B.[
3
8 ，3
4]
C.[
1
2 ，1]
D.[
3
4 ，1]
3.(2024·成都模拟)如图，A，B 分别是椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 在以AB 为直径的圆
O 上(点P 异于A，B 两点)，线段AP 与椭圆C 交于另一点Q，若直线BP 的斜率是直线BQ 的斜率的4 倍，
则椭圆C 的离心率为( )
A.√3
3
B.1
2
C.√3
2
D.3
4
4.已知双曲线的中心为原点O，且一个焦点为F(√7，0)，直线y=x-1 与其相交于M，N 两点，MN 中点的横
坐标为-2
3，则此双曲线方程为( )
A. x
2
3 - y
2
4 =1
B. x
2
4 - y
2
3 =1
C. x
2
5 - y
2
2 =1
D. x
2
2 - y
2
5 =1
5.如图，F1，F2是椭圆C1：x
2
4 +y2=1 与双曲线C2的公共焦点，A，B 分别是C1，C2在第二、四象限的公共
点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.√2
B.√3
C.3
2
D.√6
2
6.已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
4 =1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，
则c
x0+y0
2(c 为双曲线C 的半焦距)的取值范围是( )
A.[4√2，+∞)
B.[2，25
2 )
C.[4√2，25
2 )
D.[2，4√2]
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2024·泸州模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c，过右焦
点F2的直线l 与双曲线的右支交于A，B 两点，则下列说法中正确的是( )
A.弦AB 的长度的最小值为2b
2
a
B.若|AB|=m，则△F1AB 的周长为2m+4a
C.若AB 的中点为M，坐标原点为O，且直线AB 的斜率为k，则kOM·k=b
2
a
2
D.若直线AB 的斜率为√3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
8.已知椭圆x
2
4 +y2=1，A，B 分别为长轴左、右端点，F1，F2分别为左、右焦点，点P 为椭圆上除去A，B 之
外的任意一点，则( )
A.△PAB 面积的最大值为2
B.|PF1|2+|PF2|2的最大值为8
C.kPA·kPB=1
2
D.若∠F1PF2=60°，则S△P F1 F2=√3
3
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2024·南京模拟)已知双曲线x
2
9 - y
2
25=1 上一点M 与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=120°，则△F1MF2的面
积为 .
10.双曲线x2- y
2
3 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P 满足∠F1PF2为钝角，则点P 的横坐标
的取值范围为 .
答案精析
1.B [由题意，a=4，b=3，c=√7，离心率e=√7
4 ，设M(x0，y0)，-4≤x0≤4，则|MF1|=4+√7
4 x0，|MF2|=4-√7
4
x0，所以|MF1|·|MF2|=16- 7
16 x0
2，故当x0=0 时，|MF1|·|MF2|取得最大值16.]
2.B [由垂径定理得k P A1·k P A2=-b
2
a
2=-3
4 ，又k P A2∈[-2，-1]，所以k P A1∈[
3
8 ，3
4].]
3.C [根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1，
又{
k AQ·k BP=-1,
4 k BQ=k BP, 所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4(e
2-1)=-1，
则e=√3
2 .]
4.D [由条件知，线段MN 的中点P 在直线y=x-1 上，
所以P(- 2
3 ，- 5
3)，
由垂径定理有kMN·kOP=b
2
a
2=e2-1，
即1×
- 5
3
- 2
3
=e2-1，解得e=√14
2 ，
又c=√7，所以a=√2，b=√5，
故所求双曲线方程为x
2
2 - y
2
5 =1.]
5.D [设双曲线C2的方程为x
2
a2
2- y
2
b2
2 =1(a2>0，b2>0)，则有a2
2+b2
2=c2
2=c1
2=4-1=3.
设椭圆C1中，a1=2，b1=1，
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为
b1
2tan 45°=
b2
2
tan 45° ，即b2
2=b1
2=1，
所以a2
2=c2
2-b2
2=3-1=2，
故双曲线C2的离心率
e=c2
a2
=√
3
2
=√6
2 .]
6.B [由双曲线的第二定义可知
|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a，
∵右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|，
∴ex0+a=3(ex0-a)⇒ex0=2a，
由e=c
a ，解得x0=2a
2
c ，
∵P 在右支上，可得x0=2a
2
c ≥a，
又c>a，可得1<c
a≤2，即1<e≤2，
则c
x0
+y0
2= c
2
2a
2+4(
x0
2
a
2 -1)
=1
2e2+16
e
2 -4，
令e2=t，1<t≤4，可得c
x0
+y0
2
=1
2e2+16
e
2 -4=1
2t+16
t -4
=1
2(t + 32
t )-4，
而f(t)=1
2(t + 32
t )在(1，4]上单调递减，∴1
2(t + 32
t )∈[6，33
2 )，
∴2≤c
x0
+y0
2<25
2 .]
7.ABC [弦AB 的长度的最小值为通径2b
2
a ，故A 正确；
由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a，
|BF1|-|BF2|=2a，
所以|AF1|=|AF2|+2a，
|BF1|=|BF2|+2a，
|AF1|+|BF1|=|AF2|+2a+|BF2|+2a=|AB|+4a，
则△F1AB 的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B 正确；
根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=kOM·k=b
2
a
2 ，故C 正确；
若直线AB 的斜率为√3，所以b
a<√3，
所以b2<3a2，所以c2<4a2，
所以e=c
a∈(1，2)，故D 错误.]
8.AD [依题意知，a=2，b=1，c=√3，
当P 为短轴端点时，(S△PAB)max
=1
2×2a×b=2，A 正确；
∵|PF1|+|PF2|=2a=4，
由基本不等式|P F1|+|P F2|
2
≤√
|P F1|
2+|P F2|
2
2
知，
√
|P F1|
2+|P F2|
2
2
≥2，
即|PF1|2+|PF2|2≥8，故B 错误；
由垂径定理得，
kPA·kPB=-b
2
a
2=-1
4 ，C 错误；
S△P F1F2=b2tan∠F1 P F2
2
=1×tan 30°=√3
3 ，D 正确.]
9.25√3
3
解析 根据双曲线焦点三角形的面积公式的二级结论得S△F1 M F2=
b
2
tan ∠F1 M F2
2
=
25
tan 60° =25√3
3
.
10.(- √7
2 ，-1)∪(1，√7
2 )
解析 ∠F1PF2为钝角⇒
cos∠F1PF2<0，而cos∠F1PF2
=|P F1|
2+|P F2|
2-| F1 F2|
2
2|P F1|·| P F2|
，
所以|P F1|
2+|P F2|
2-| F1 F2|
2<0，
由题意得a=1，b=√3，c=2，|F1F2|=4，设P 点的横坐标为x0，由焦半径公式得|PF1|=|2x0+1|，
|PF2|=|2x0-1|，
所以|2 x0+1|
2+|2 x0-1|
2-16<0，
解得-√7
2 <x0<√7
2 ，
又x0≤-1 或x0≥1，且当x0=±1 时，
∠F1PF2=180°，
所以x0∈(- √7
2 ，-1)∪(1，√7
2 ).
