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进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
进阶1 椭圆、双曲线中的常见结论及应用
重点解读 椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基
础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，
还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
题型一 焦半径公式(第二定义)
例1 (1)设F1，F2分别为椭圆C：x
2
36+ y
2
20=1 的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF1F2
为等腰三角形，则M 的坐标为 .
(2)双曲线x2- y
2
3 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P 满足|PF1|=5，则△PF1F2的面积为
.
思维升华 (1)如图1，椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆上任意点，则
椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|=a+ex0；②|PF2|=a-ex0(记忆：左加右减).
(2)如图2，双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双
曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|=|ex0+a|；②|PF2|=|ex0-a|(记忆：左加右减).
跟踪训练1 (1)双曲线x
2
2 - y
2
2 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P 满足|PF1|=3|PF2|，则点
P 的坐标为 .
(2)椭圆x
2
6 + y
2
2 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的取值范围为 .
圆锥曲线的角度式焦半径公式
设P 是圆锥曲线上任意一点，F 为它的一个焦点，O 为坐标原点，∠PFO＝θ，
(1)椭圆：|PF|＝
b
2
a-c cosθ .
(2)双曲线：|PF|＝
b
2
c cosθ±a.
记忆规律：同正异负.即当P 与F 位于虚轴的同侧时取正，否则取负.
(3)抛物线：|PF|＝
p
1＋cosθ .
典例 设F1，F2分别是双曲线C：5x2－4y2＝m2的左、右焦点，过F2的直线l 与双曲线C 的右支交于A，B
两点，且满足⃗A F2＝7⃗F2B，则直线l 的斜率为 .
题型二 垂径定理(第三定义)
例2 已知椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B 两点，M 为线段AB 的中点，
直线AB 和OM(O 是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM=-b
2
a
2.
思维升华 (1)椭圆中的垂径定理
(2)双曲线中的垂径定理
(3)垂径定理也可以描述为：设点M 是有心圆锥曲线x
2
m + y
2
n =1(m>0，n>0，或mn<0)中与坐标轴不垂直且不
过中心O 的弦AB 的中点，则kAB·kOM=- n
m.
(4)若点M 是有心圆锥曲线的弦AB 的中点，其中AB 与坐标轴不垂直且不过中心O，且将圆看作是离心率
e=0 的特殊的椭圆，则有kAB·kOM=e2-1.
跟踪训练2 (1)已知双曲线C：x2-y2=2 025 的左、右顶点分别为A，B，P 为双曲线右支上一点，且
∠APB=4∠PAB，则∠PAB= .
(2)已知A，B 是椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线
AM，BN 的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为 .
题型三 焦点三角形
例3 (多选)如图，F1，F2是圆锥曲线的焦点，A，B 为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P 为双曲线上任
意一点，下列说法正确的是( )
A.椭圆中△ABF1的周长为4a
B.椭圆中当A 为短轴的端点时，∠F1AF2最大
C.椭圆中S△A F1 F2=
b
2
tan ∠F1 A F2
2
D.双曲线中S△P F1F2=
b
2
tan ∠F1 P F2
2
思维升华 椭圆、双曲线焦点三角形离心率
设P 是圆锥曲线上任意一点，F1，F2为它的两个焦点，且P，F1，F2三点不共线，记∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，∠F1PF2＝θ，则
椭圆的离心率为
e＝2c
2a ＝| F1 F2|
|P F1|＋|P F2| ＝
sinθ
sin α ＋sin β ；
双曲线的离心率为
e＝2c
2a ＝| F1 F2|
|| P F1|-|P F2|| ＝
sinθ
|sin α -sin β|.
跟踪训练3 已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=1
2，点P 为该椭圆
上一点，且满足∠F1PF2=π
3 ，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( )
A.2
B.4
C.6
D.12
焦点弦三角形
1.椭圆焦点弦三角形周长公式
F1，F2分别为椭圆C 的两个焦点，过F2的直线交椭圆C 于A，B 两点，则椭圆焦点弦三角形△F1AB 的周长
为4a.
2.双曲线焦点弦三角形周长公式
F1，F2分别为双曲线C 的两个焦点，过F2的直线交双曲线C 同一支于A，B 两点，且|AB|＝m，则焦点弦三
角形△F1AB 的周长为4a＋2m.
3.椭圆焦点弦三角形面积公式
(1)F1，F2分别为椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且倾斜角为θ 的直线l 与椭圆C 交于A，
B 两点，则焦点弦三角形△F1AB 的面积S△F1 AB＝2cpsinθ
1-e
2co s
2θ，其中p＝b
2
a .
(2)F1，F2分别为椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，且|
AB|＝m，则焦点弦三角形△F1AB 的面积S△F1 AB＝b√(2a-m)m.
4.双曲线焦点弦三角形面积公式
(1)F1，F2分别为双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2且倾斜角为θ 的直线l 与双曲线C
的右支交于A，B 两点，则焦点弦三角形△F1AB 的面积S△F1 AB＝2cpsinθ
1-e
2co s
2θ ，其中p＝b
2
a .
(2)F1，F2分别为双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线l 与双曲线C 的右支交于
A，B 两点，且|AB|＝m，则焦点弦三角形△F1AB 的面积S△F1 AB＝b√(2a＋m)m.
(3)F1，F2分别为双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线l 与双曲线C 右支、左支分
别交于A，B 两点，且|AB|＝m，则焦点弦三角形△F1AB 的面积S△F1 AB＝b√(m-2a)m.
5.抛物线焦点弦三角形面积公式
设直线l 过焦点F 且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B 两点，O 为坐标原点，直线l 的倾斜角为θ，则焦点弦
三角形△OAB 的面积S△OAB＝
p
2
2sinθ .
答案精析
常见结论及应用
例1 (1)(3，√15)
解析 方法一 △MF1F2为等腰三角形，点M 在第一象限⇒|MF1|>|MF2|，且|MF2|<a=6，
又|F1F2|=8，所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|=|F1F2|=8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则{
( x0+ 4)
2+ y0
2=64 ,
x0
2
36 + y0
2
20 =1,
解得{
x0=3,
y0=√15,
所以M(3，√15).
方法二 △MF1F2为等腰三角形，
点M 在第一象限⇒|MF1|>|MF2|，
且|MF2|<a=6，
又|F1F2|=8，
所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|=|F1F2|=8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
由椭圆焦半径公式知
|MF1|=6+2
3x0=8，
解得x0=3，代入椭圆方程得y0=√15，
故M(3，√15).
(2)6 或4√6
解析 方法一 由题意得a=1，b=√3，c=2，e=2，
设P(x0，y0)，则|PF1|=|2x0+1|=5，
解得x0=2 或x0=-3，
当x0=2 时，代入双曲线方程可求得y0=±3，
所以S△P F1F2=1
2·|F1F2|·|y0|=6；
当x0=-3 时，代入双曲线方程可求得y0=±2√6，
所以S△P F1 F2=1
2·|F1F2|·|y0|=4√6.
综上所述，△PF1F2的面积为6 或4√6.
方法二 由题意得a=1，b=√3，c=2，
所以|F1F2|=4，
当点P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知
|PF1|-|PF2|=2，
又|PF1|=5，所以|PF2|=3，
显然|P F2|
2+| F1 F2|
2=|P F1|
2，
所以PF2⊥F1F2，
从而S△P F1F2=1
2·|PF2|·|F1F2|=1
2×3×4=6；
当点P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2，
又|PF1|=5，所以|PF2|=7，
从而cos∠PF1F2
=|P F1|
2+| F1 F2|
2-|P F2|
2
2|P F1|·| F1 F2|
=-1
5 ，
所以sin∠PF1F2
=√1-co s
2∠P F1 F2=2√6
5
，
从而S△P F1 F2=1
2·|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2
=1
2×5×4×2√6
5
=4√6.
综上所述，△PF1F2的面积为6 或4√6.
跟踪训练1 (1)(2，±√2)
解析 由题意得a=b=√2，c=2，e=√2，
设P(x0，y0)，则|PF1|=|√2x0+√2|，
|PF2|=|√2x0-√2|，
因为|PF1|=3|PF2|，
所以|√2x0+√2|=3|√2x0-√2|，
解得x0=2 或x0=1
2 ，
又|x0|≥√2，所以x0=2，
代入双曲线方程可求得y0=±√2，
即P(2，±√2).
(2)[2，6]
解析 由题意得a=√6，c=2，e=√6
3 ，
设P(x0，y0)，其中-√6≤x0≤√6，
则|PF1|=√6+√6
3 x0，
|PF2|=√6-√6
3 x0，
所以|PF1|·|PF2|=6-2
3 x0
2，取值范围为[2，6].
微拓展
典例 √3或－√3
解析 如图，设双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M 在双曲线的右支上，
连接MF2，过点M 作右准线x＝a
2
c 的垂线MN，记∠MF2O＝θ，
则由双曲线的第二定义知，
|M F2|
| MN | ＝c
a，即
|M F2|
c - a
2
c ＋|M F2|cos(π -θ)
＝c
a，
整理得|MF2|＝
b
2
c cosθ＋a.
由双曲线C：5x2－4y2＝m2，得
x
2
m
2
5
－y
2
m
2
4
＝1，
所以a2＝m
2
5 ，b2＝m
2
4 ，离心率e＝√
1＋b
2
a
2 ＝3
2，
由题设直线l 的倾斜角为π－θ，由⃗A F2＝7⃗F2B，
知|AF2|＝7|BF2|，
所以
b
2
c cosθ＋a＝7×
b
2
c cos(π -θ)＋a，
或
b
2
c cos(π -θ)＋a＝7×
b
2
c cosθ＋a，
解得cos θ＝－3
4 e 或cos θ＝3
4 e ，
把e＝3
2代入，可求得θ＝120°或θ＝60°.
故直线l 的斜率为√3或－√3.
例2 证明 方法一 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
M(x0，y0)，
则kAB=
y2- y1
x2- x1
，kOM=
y0
x0
，
x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
因为{
x1
2
a
2 + y1
2
b
2 =1,
x2
2
a
2 + y2
2
b
2 =1,
两式作差得x1
2- x2
2
a
2
+ y1
2- y2
2
b
2
=0，
即
y1- y2
x1- x2
·
y1+ y2
x1+ x2
=-b
2
a
2 ，
于是y1- y2
x1- x2
· y0
x0
=-b
2
a
2 ，
所以kAB·kOM=-b
2
a
2.
方法二 设直线AB 的方程为
y=kx+m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由{
y =kx +m,
x
2
a
2 + y
2
b
2 =1,
消去y 得(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，
所以x1+x2=- 2kma
2
b
2+a
2k
2 ，
于是y1+y2=k(x1+x2)+2m= 2mb
2
b
2+a
2k
2 ，
所以M(-
kma
2
b
2+a
2k
2 ，
mb
2
b
2+a
2k
2)，
于是kOM=
y0
x0
=- b
2
k a
2.
因此kAB·kOM=k·(- b
2
k a
2)=-b
2
a
2.
方法三 令x
a=x'，y
b =y'，
则x'2+y'2=1.
原题设中的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分别对应单位圆中的点A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，
且M'是线段A'B'的中点，
由圆的垂径定理得kA'B'·kOM'=-1，
又因为kAB＝
y1- y2
x1- x2
＝by
' 1-by
' 2
a x
' 1-a x
' 2
＝b
a·kA'B'，kOM＝
y0
x0
＝b y
' 0
a x
' 0
＝b
a·kOM'，
所以kAB·kOM=b
a·kA'B'·b
a·kOM'
=b
2
a
2·kA'B'·kOM'=-b
2
a
2.
跟踪训练2 (1) π
12
解析 令∠PAB=α，则α∈(0，π
2)，
∠PBx=β，则β∈(0，π
2)，
则β=5α，所以α∈(0，π
10)，
由双曲线的垂径定理可知
tan α·tan β=tan α·tan 5α=e2-1=1，
则tan α=
1
tan5α =tan(
π
2 -5α)，
π
2 -5α∈(0，π
2)，
则α=π
2 -5α，故α= π
12.
(2)√3
2
解析 如图所示，连接MB，由椭圆的第三定义可知
kAM·kBM=e2-1=-b
2
a
2 ，
而kBM=-kBN⇒k1k2=b
2
a
2 ，
则|k1|+|k2|≥2√|k1|·|k2|=2b
a =1⇒b
a=1
2⇒e=√3
2 .
例3 ABD [对于A，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a 显然成立，A 正确；
对于B，cos∠F1AF2
=|A F1|
2+|A F2|
2- 4 c
2
2|A F1|| A F2|
=(|A F1|+|A F2|)
2-2|A F1|| A F2|- 4 c
2
2|A F1|| A F2|
=(2a)
2-2|A F1|| A F2|- 4 c
2
2|A F1|| A F2|
=
2b
2
|A F1|| A F2|-1，
∵|AF1||AF2|
≤(
|A F1|+|A F2|
2
)
2
=a2，
当且仅当|AF1|=|AF2|，即点A 是短轴端点时取等号，
∴cos∠F1AF2=
2b
2
|A F1|| A F2|-1
≥2b
2
a
2 -1，
又∵y=cos θ 在(0，π)上单调递减，
∴当A 为短轴端点时，∠F1AF2最大，B 正确；
对于C，由选项B 的推导过程得
cos∠F1AF2=
2b
2
|A F1|| A F2|-1，
∴|AF1||AF2|=
2b
2
1+cos∠F1 A F2
，
∴S△A F1 F2=1
2|AF1||AF2|sin∠F1AF2
=1
2·
2b
2
1+cos∠F1 A F2
·sin∠F1AF2
=b2·
2sin ∠F1 A F2
2
cos ∠F1 A F2
2
2co s
2 ∠F1 A F2
2
=b2tan ∠F1 A F2
2
，C 错误；
对于D，证明方法同椭圆，S△P F1F2=
b
2
tan ∠F1 P F2
2
，D 正确.]
跟踪训练3 D [由e=1
2 ，
得c
a=1
2 ，即a=2c. ①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，
所以πr2=3π，解得r=√3(舍负).
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1 P F2=b2tan∠F1 P F2
2
=1
2r(2a+2c)，
即√3
3 b2=√3(a+c)，②
又a2=b2+c2，
③
联立①②③得c=3，a=6，b=3√3，
所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.]
