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第 09 讲 函数模型及其应用
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：几类不同增长的函数模型...............................3
高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）. .10
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）. .14
高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题........................20
第一部分：基础知识
1、常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ( 为常数， )
反比例函数模型 ( 为常数且 )
二次函数模型 （ 均为常数， ）
指数函数模型 （ 均为常数， ， ， ）对数函数模型 （ 为常数， ）
幂函数模型 （ 为常数， ）
分段函数
2、指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
在(0，＋∞)上的
单调递增 单调递增 单调递增
增减性
介于指数函数与
增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 对数函数之间,相
对平稳
随x的增大，图象与 轴接 随x的增大，图象与 轴接 随 n值变化而各
图象的变化
近平行 近平行 有不同
值的比较 存在一个 ，当 时，有
第二部分：高考真题回顾
1．（多选）（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定
义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 ，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，
可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：几类不同增长的函数模型
典型例题
例题1．（2023上·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）函数 的数据如下表，则该函数的解析式可
能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数 的数据即可得出答案.
【详解】由函数 的数据可知，函数 ，
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当 时，由函数 的数据可知，函数 增长越来越快，可排除C.
故选：A.
例题2．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考阶段练习）有一组实验数据如表：
2 3 4 5 6
1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这组数据的最佳函数模型是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型.
【详解】 ， ， ， ，
通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，AC选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B
正确.
故选：B.
例题3．（2023上·山西临汾·高一统考期中）在一次物理实验中某同学测量获得如下数据：
1 2 3 4 5
5.380 11.232 20.184 34.356 53.482
下列所给函数模型较适合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由数据中y随x的变化情况，分析适用的函数模型.
【详解】由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，
而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中
的函数符合题意.
故选:D．
例题4．（2023上·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）假设某学习小组对家庭每月用水的
收费提供了如下两种模型：模型一：若用水量不超过基本月用水量 ，则只付基本费8元和损耗费c元
（ ）；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按 元 进行付
费；模型二：用函数模型 （其中k，m，n为常数， 且 ）来模拟说明每月支付费用
y（元）关于月用水量 的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为 ， 和 ，支
付的费用y分别为9元，19元和31元.
(1)写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量 的函数解析式；
(2)写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量 的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模
型哪个更合理？
【答案】(1)
(2) ， ，模型一与生活中的实际情况更接近
【分析】（1）分析出第2，3月份用水量 和 均大于最低限量 ，列出方程组，求出 ，
，不妨设 ，推出矛盾，故 ，得到 ，求出答案；（2）得到方程组，求出 ， ， ，得到解析式，并用三个方面说明模型一与生活中的
实际情况更接近.
【详解】（1）由题意得 ，
第2，3月份水费均大于13元，故用水量 和 均大于最低限量 ，
于是有 ，解得 ，
从而 ，
再考虑1月份用水量是否超过最低限量 ，
不妨设 ，将 代入 中，得 ，
故 ，与 矛盾，舍去，
故 ，即 ，解得 ，
故 ，
所以每月支付费用 （元）关于月用水量 的函数解析式 .
（2） ，
由题意知， ，即
由 得 ，由 得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
代入 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以 ， .
模型一与生活中的实际情况更接近（言之有理即可）.
建议从以下三方面考虑：
原因一：惠民政策，生活中，比如：打车，交税，交气费等都是与模型一接近，
百姓缴费少；
原因二：指数爆炸，由 知， 关于x是快速增长，但模型一在 上匀速增长，更符合实际意义；
原因三：当 时， ，
由于 ， ， ，
所以 ，故 ，不符合实际意义.
练透核心考点
1．（2023上·江苏·高一专题练习）今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】选 代入四个选项的解析式中选取所得的 最接近 的解析式即可.
【详解】对于选项A：当 时， ，与 相差较多，故选项A不正确；
对于选项B：当 时， ，与 相差较多，故选项B不正确；
对于选项C：当 时， ，故选项C正确；
对于选项D：当 时， ，与 相差较多，故选项D不正确；
故选：C.
2．（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系
的最佳函数模型是（ ）
10 20 29 41 50 58 70
1 2 3.8 7.4 11 15 21.8
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】根据散点图的变化趋势及散点的分布情况判断回归方程的类型.
【详解】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内上单调递增，
对于 ，由题意可得：
10 20 29 41 50 58
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.57
可知， 近似于线性，所以适合二次函数模型.
故选：C
3．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以
满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售
卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格
（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足 .且销售量 （单位：件）与
时间 （单位：天）的部分数据如下表所示
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
(1)给出以下四个函数模型：① ；② ；③ ；④ .
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量 与时间 的变化关
系，并求出该函数的解析式及定义域
(2)设该工艺品的日销售收入为 （单位：元），求 的最小值.
【答案】(1)选择模型②，
(2)441元.
【分析】（1）根据表格中数据的增减性，结合函数的单调性，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，结合基本不等式，可得答案.
【详解】（1）由表格数据知，当时间 变换时， 先增后减，而①③④都是单调函数
所以选择模型②，
由 ，可得 ，解得
由 ，解得所以日销售量 与时间 的变化的关系式为 .
（2）由（1）知：
所以
即
当 时，
由基本不等式，可得 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
当 时， 为减函数，
所以函数的最小值为 ，
综上，当 时，函数 取得最小值441元.
4．（2023上·四川宜宾·高一统考阶段练习）2023年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建
成较为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动
车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.有关部门在国道
上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速 .经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量 （单
位： ）与速度 （单位： ）的数据如下表所示：
0 10 40 60
0 1420 4480 6720
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量 与速度 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①
；② ；③ .
(1)当 时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数
表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶 ，高速上行驶 .假设
该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量 与速度 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速 （单位： ）满足 ，且每小时耗电量 （单位： ）与速度 （单
位： ）的关系满足 .则当国道和高速上的车速分别为多少时，该
车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
【答案】(1)选① ， ；
(2)在高速上的行驶速度为 ，在国道上的行驶速度为 ， .
【分析】（1）根据表格中的数据，对3个函数模型逐一判断即得.
（2）分别求出国道和高速上该辆车耗电量的最小值及对应行驶速度即可得解.
【详解】（1）对于③， ，当 时，它无意义，不符合题意；
对于②， ，当 时， ，又 ，
所以 ，不符合原意；
因此选①， .
由表中的数据得， ，解得 ，
所以 .
（2）高速上行驶 ，所用时间为 ，
则所耗电量为 ，
显然函数 在 上单调递增，
于是 ；
国道上行驶 ，所用时间为 ，
则所耗电量为 ，
而 ，则当 时， .
所以当这辆车在高速上的行驶速度为 ，在国道上的行驶速度为 时，
该车从宜宾行驶到重庆某地的总耗电量最少，最少为 .高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）
典型例题
例题1．（2023上·湖南岳阳·高二统考期末）2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车
制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本1000万元，生产 （百辆）新能源汽车，还需另投入成本
万元，且 .由市场调研，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆
当年能全部销售完.
(1)求出2022年该企业生产新能源汽车的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；（利润
销售量-成本）
(2)2022年产量为多少百辆时，该企业生产新能源汽车所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)50百辆时，企业所获得利润最大为1600万元
【分析】（1）根据利润与产量、成本之间的关系，写出分段函数的解析式即可；
（2）分别根据二次函数、均值不等式求函数在每一段的最值，比较大小即可得解.
【详解】（1）当 时，
当 时，
（2）当 时，
取得最大值，最大值为1250
当 时，
当且仅当 等号成立，
所以当 时， 有最大值1600.综上所述： ， 取得最大值，最大值为1600，即2022年生产量为50百辆时，企业所获得利润最
大，最大利润为1600万元.
例题2．（2023上·贵州六盘水·高一统考期末）心理学家根据高中生心理发展规律，对高中生的学习行为
进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.上课开始时，学生的兴趣
激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用
表示学生掌握和接受概念的能力（ 的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时
间（单位： ），满足以下关系：
(1)上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
(2)有一道数学难题，需要54的接受能力及 的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的
状态下讲授完成这道难题？
【答案】(1)上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟
(2)老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题
【分析】（1）在 上利用二次函数求得最大值； 时， ，在 利用一次函
数求得最大值即可；
（2）当 ， ， 时分别令 求解.
【详解】（1）解：由题知 在 上单调递增，
所以 ，
又 时， ，
在 上单调递减， ，
所以上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟.
（2）当 时，令 ，即 ，
化简得 ，解得 ，又 ，
所以 ，此时有效时间为2分钟 ，
当 时， ，有效时间为10分钟，
当 时，令 ，解得 ，有效时间为1分钟，
由于讲授时间需15分钟，但有效时间 分钟， ，
所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题.
练透核心考点
1．（2023下·河南·高一校联考阶段练习）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导
体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划
建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本 （单位：万元），
已知当 时， ；当 时， ；当 时，
，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为 （单位：万元），试求出 的函数解析式.
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最
大利润.
【答案】(1) ；
(2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润 的表达式；
（2）根据 的表达式分别求出每段函数的最大值即可.
【详解】（1）（1）由题意可得， ，
所以 ，
即 .
（2）当 时， ；
当 时， ，对称轴 ， ；
当 时，由基本不等式知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 ，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
2．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期中）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一.
在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR智能巴士.某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔
（单位：分钟）满足 ， ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量 与发车时间间隔 满足：
，其中 .
(1)求 ，并说明 的实际意义；
(2)若该路公交车每分钟的净收益 （元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分
钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.
【答案】(1)35；发车时间间隔为5分钟时，载客量为35
(2)6分钟，38元
【分析】（1）根据题意求得 ，从而说明其实际意义；
（2）根据题意，分类讨论 的取值范围，利用基本不等式与反比例函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35.
（2）因为 ，
所以当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最大值38；
当 时， ，该函数在区间 上单调递减，
则当 时， 取得最大值28.4；
综上所述，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元.
高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）
典型例题
例题1．（2023上·湖南长沙·高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）中国茶文化源远流传，博大精深，
茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用 的水泡制，再等到茶水温度降至 时饮用，
可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是 ，经过 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温
度， 表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是 ，放在 的室温中，
以后茶水的温度是 ，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到
0.1，参考数据 ， ）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件列出关于 ， 的方程组可得答案.
【详解】由题意可得方程组：
，由①式化简可得： ，代入②式，
所以 ，
大约需要放置 能达到最佳饮用口感．
故选：A．
例题2．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著
名的香农公式： ．它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽
W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫作信噪比．当信噪比比较大
时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若带宽W不变，信噪比 从1000提升到
12000，则C比原来大约增加了（ ）．(附： )
A．32% B．43% C．36% D．68%
【答案】C
【分析】根据 和 表示出对应 ，然后根据 结合对数的运算求解出结果.
【详解】当 时，最大信息传递速度为 ，
当 时，最大信息传递速度为 ，
所以 比原来增加了
，故选：C.
例题3．（2023上·安徽六安·高一校考阶段练习）一种放射性元素，最初质量为 ，按每年 衰减．
(1)写出 年后这种放射性元素质量 与 之间的函数关系式
(2)求这种放射性元素的半衰期（放射性物质的质量衰减为原来的一半所需要的时间）精确到0.1年，已知
（ ， ）.
【答案】(1)
(2)6.6年
【分析】（1）由递推关系写出函数解析式即可.
（2）依据题意列出方程，求解即可.
【详解】（1）最初的质量为 ，经过 年后， ，
经过 年后， ，由此推知， 年后， ，
年后， 关于 的表达式为 ．
（2）列出方程 ，
，
年 ，
即这种放射性元素的半衰期约为 年．
例题4．（2023上·全国·高一期末）“实施科教兴国战略,强化现代化建设人才支撑”是2022年10月16日
习近平同志在中国共产党第二十次全国代表大会上报告的一部分.必须坚持科技是第一生产力、人才是第一
资源、创新是第一动力,深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略,开辟发展新领域新赛
道,不断塑造发展新动能新优势.某科技企业通过加大科技研发投资,提高了企业的技术竞争力,也提高了收入.
下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位:亿元),2017年记为1,后面的年份依次类推.
x/年 1 2 3 4 5 6
y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30
(1)给出以下两个函数模型:①y= ;②y= .试问:用哪个模型更适合模拟该企业的收入?
(2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据: ）
【答案】(1)用模型②y= 更适合模拟该企业的收入
(2)大约在2025年该企业的收入超过100亿元.
【分析】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数 与 的图象,并在此坐标系内描出表格提供的
数据对应的点,观察即可；（2）解出 ， ,则 ，即可求解.
【详解】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数 与 的图象,
并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点如图所示.
观察图象知,这些点基本上都落在函数 的图象上或附近,
所以用模型② 更适合模拟该企业的收入.
（2）当 时, ,
因此 = ≈ ,
而 ,则 ,
所以大约在2025年该企业的收入超过100亿元.
练透核心考点
1．（2023上·江苏·高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态
系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 为相邻两
代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型 （ 为常数）来描述该物种累计
繁殖数量 与入侵时间 （单位：天）之间的对应关系，且 ，在物种入侵初期，基于现有数据得
出 ．据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的 倍所需要的时间为（ ）天．
（结果保留一位小数．参考数据： ）
A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19
【答案】A
【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得 ，进而利用对数的运算法则列式即可得解.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，解得 ，设初始时间为 ，初始累计繁殖数量为 ，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的 倍的时间为 ，
则
（天 ．
故选：A.
2．（2023上·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度
变化：如果物体初始温度为 ，则经过一定时间 （单位：分钟）后的温度 满足 ，
其中 是环境温度， 为常数，现有一杯 的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在
.经测量室温为 ，茶水降至 大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约
需要等待 分钟.
（参考数据： .）
【答案】6
【分析】根据已知条件求出参数 的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出
结果.
【详解】根据题意可知, 环境温度 ，初始温度 ，
经过一定时间 （单位：分钟）后的温度 满足
因为茶水降至 大约用时一分钟，即 ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以要使得该茶降至 ，即 ，则有 ，得 ，
故 .
所以大约需要等待6分钟.
故答案为：6.
3．（2023上·上海·高一上海南汇中学校考阶段练习）用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，血药浓
度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合 ，其函数图象
如图所示，其中 为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到
上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合 ，其中c为停药时的人体血药浓度．
(1)求出函数 的解析式；
(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注
射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）
【答案】(1)
(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．
【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可；
（2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）由图象可知，图象经过 ， 两点，将两点代入 ，
则 ，解得 ，
所以 ；
（2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，
所以浓度为15时为最迟停止注射时间，
故 ，解得 ，
浓度从15降到4为最长间隔时间，
故 ，即 ，
两边同时取以2为底的对数，则 ，
即
，
所以 ，所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，
最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．
4．（2023上·广东汕头·高一统考期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的
茶水温度是 ℃，环境温度是 ℃，那么t分钟后茶水的温度 （单位：℃）可由公式
求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后
茶水的温度是50℃．
(1)求k的值；
(2)经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳
口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：
， ）
【答案】(1)
(2)2.7分钟
【分析】（1）由所给函数模型结合已知条件列方程得 ，由指对互换即可求解.
（2）由所给函数模型结合已知条件列方程得 ，由指对互换以及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）依题意， ， ．
则
化简得， ，
，
即： ．（写 也正确）
（2）由（1）得
令 ，
即 ．得 ，
；
得 ．
所以刚泡好的茶水大约需要放置2.7分钟才能达到最佳饮用口感．高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题
典型例题
例题1．（2023上·福建莆田·高一统考期末）已知某种放射性元素在一升液体中的放射量 （单位：
）与时间 （单位：年）近似满足关系式 且 .已知当 时， ；当 时，
，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量 为10时， 大约为（ ）（参考数据：
）
A．50 B．52 C．54 D．56
【答案】B
【分析】根据已知列方程组先求出 的值，然后利用对数运算可得.
【详解】由题知， ，解得 ，
所以 ，
由 ，得 .
故选：B
例题2．（2023上·江苏盐城·高一校考期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据
前期调研，获得该产品的销售量 万件与投入的促销费用 万元 满足关系式 （ 为常
数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家
将每件产品的销售价格定为 元，设该产品的利润为 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销
费用）
(1)求出 的值，并将 表示为 的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】(1)4；
(2)7万元，125万元
【分析】（1）根据 时， ，即可求得k的值；根据利润=销售收入-投入成本-促销费用即可求得
表示为 的函数关系式；
（2）结合（1）的结果，化简变形，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知 时， ，故 ，则 ，
故 ，
即 ；
（2） ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故促销费用为7万元时，该产品的利润最大，此时最大利润为125万元.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼
考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数
的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当
天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：① ；②
；③ .
(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
【答案】(1)
(2) ，
(3)55
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，
（2）将 ， 代入求解系数即可.
（3）将 代入解析式即可.
【详解】（1）根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选 ；
（2）将 ， 代入解析式得到 ，即 ，
解得 ， ，即 .
当 时， ，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为 ；
（3）由 ， ，
得 ，得 ，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
练透核心考点
1．（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的
香农公式： ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽
W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比，按照香农公式，
若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）．
A．20% B．23% C．28% D．50%
【答案】B
【分析】由已知公式，将信噪比 看作整体，分别取 求出相应的 值，再利用对数运算性质与
换底公式变形求解增加率即可.
【详解】由题意，将信噪比 从1000提升至5000，
则最大信息传递速率 从 增加至 ，
所以 .
故选：B.2．（2023上·广东·高一校联考期末）某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销
售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下：
元 1 2 3 4
万
3 2 1.5 1.2
件
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择： ．
(1)选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)已知每生产一件该产品，需要的成本 （单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为 ，
不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价
应该高于多少元？
【答案】(1) 最合适，
(2) 元．
【分析】（1）根据题意，结合给定的函数模型，代入验证，即可求解；
（2）由成本 与销量Q的关系为 ，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）解：若选择模型 ，将 代入可得 ，即 ，
经验证， 均不满足，故模型 不合适．
若选择模型 ，因为 过点 ，所以模型 不合适．
若选择模型 ，将 代入可得 ，即 ，
经验证， ， 均满足，故模型 最合适，且 ．
（2）解：由成本 与销量Q的关系为 ．
要使生产的产品可以获得利润，则 ．
因为 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
故该产品的销售单价应该高于 元．
3．（2023上·河南·高一校联考期中）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第
天每件的销售价格 （单位：元）满足 ，第 天的日销售量 （单
位：千件）满足 ，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件.
(1)求 的解析式；
(2)若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第 天的日销售利润 （单位：千
元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小.
【答案】(1) （ ， ）
(2) ，开幕式后的第30天的日销售利润最小
【分析】（1）由题可知 ，求出 即可得解；
（2）先求出每件该产品的销售利润，再根据日销售利润 即可求出 的解析式，再根
据基本不等式和函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由题可知 ，解得 ，
所以 （ ， ）；
（2）由题可得每件该产品的销售利润为 ，
所以第 天的日销售利润 ，
即 ，
当 时， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
当 时， ，
因为函数 在 上都是减函数，
所以函数 在 上为减函数，
所以此时 ，
综上所述，当 时， 取得最小值714，
即开幕式后的第30天的日销售利润最小.
