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专题02 基本不等式求最值
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题型01 配凑法..............................................................................1
题型02 常数代换法..........................................................................2
题型03 变形后常数代换法....................................................................3
题型04 消元法..............................................................................3
题型05 齐次化求最值........................................................................4
题型06 双换元法............................................................................4
题型07 与其他知识点交汇....................................................................5
题型01 配凑法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）若
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·四川·阶段练习）已知命题
，命题
，则
（ ）
A．命题
与
均为真命题
B．命题
与
均为真命题
C．命题
与
均为真命题
1
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D．命题
与
均为真命题
3．（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
4．（23-24 高三上·江苏镇江·阶段练习）已知
，
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．（24-25 高三上·天津红桥·期中）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．6
D．
题型02 常数代换法
【解题规律·提分快招】
利用常数
代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多
称之为“1”的代换
（1）条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1）
求
（2）
求
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·一模）若
，且
则
的最小值为（ ）
A．20
B．12
C．16
D．25
2．（24-25 高三上·陕西西安·期末）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．5
D．9
3．（24-25 高三上·重庆·期中）已知
为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．7
B．9
C．10
D．12
2
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4．（24-25 高三上·江西鹰潭·期中）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
5．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知正实数x，y 满足
，则
的最大值为（ ）
A．5
B．2
C．9
D．8
题型03 变形后常数代换法
【解题规律·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如
，可以通过同除ab，化为
构造“1”的代换求解
2、形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求
型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利
用“1”的代换来求解。
【典例训练】
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）设
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．9
C．
D．18
2．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．20
B．25
C．30
D．35
3．（2024·河北·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．13
B．
C．14
D．
4．（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
5．（24-25 高三上·江苏徐州·开学考试）已知
且
，则
的最小值为（ ）
3
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A．12
B．
C．16
D．
题型04 消元法
【解题规律·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或
“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．
D．8
2．（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
3．（24-25 高三上·山东枣庄·期中）已知
，
为正实数且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
题型05 齐次化求最值
【解题规律·提分快招】
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有
等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量
型来转化计算求解
【典例训练】
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）若函数
在
处取最小值，则
（ ）
A．
B．2
C．4
D．6
2．（23-24 高三上·河南漯河·期末）设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
3．（24-25 高三上·河南·阶段练习）已知
，则
的最小值为 .
4
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题型06 双换元法
【解题规律·提分快招】
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．（2024·湖北·一模）已知实数
满足
，则
最大值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
二、填空题
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知正实数
满足
且
，则
的最小值为
4．（23-24 高三上·浙江杭州·期中）已知实数
、
满足
，则
的最小值为 ．
题型07 与其他知识点交汇
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高二上·山东菏泽·阶段练习）已知
三点不共线，点
不在平面
内，
，若
四点共面，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（24-25 高三上·青海·期中）已知双曲线
：
的一条渐近线方程为
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
二、多选题
5
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3．（24-25 高三上·江苏常州·开学考试）已知点
是
的中线
上一点（不包含端点）且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值是
三、填空题
4．（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列
的前
项和为
，当
取最
小值时，
.
5．（2024·河南新乡·一模）在
中，角
的对边分别为
，
的面积
，则
的最小值为 ，此时
的周长为 ．
6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
，若
，
且
，则
的最小值为 ．
一、单选题
1．（24-25 高三上·广西南宁·阶段练习）若正实数x，y，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·广东揭阳·阶段练习）函数
（
且
）的图象恒过定点
，
若
且
，
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．
D．
3．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知实数
满足
，
，且
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）设函数
，若
，则
的最小值为
6
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（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·江苏苏州·期中）已知实数
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
7．（24-25 高三上·安徽池州·期中）已知
，
，且
，若
恒成立，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．
9．（24-25 高三上·江西南昌·阶段练习）设实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
10．（24-25 高三上·广东湛江·阶段练习）已知正数
满足
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024 高三·全国·专题练习）设
均为正实数，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
13．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知正数x，y 满足
，则
的最小
7
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值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
14．（2024 高三·全国·专题练习）对任意
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（23-24 高三上·云南楚雄·阶段练习）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
16．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的值域为 ．
17．（24-25 高三上·上海浦东新·期末）已知实数
、
满足
，则
的最小值为 ．
18．（2024 高三·全国·专题练习）已知点
为
的重心，
分别为
，
边上一点，
，
，
三点共线，
为
的中点，若
，则
；
的最小值为 .
19．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）已知矩形
的周长为24，将
沿
向
折叠，AB 折过去后与DC 交于点P．设
，则
（用x 表示），当
的面积最大时，
．
20．（2024 高三·全国·专题练习）函数
在
上的最大值为 ；最小
值为 ．
21．（2024·湖北·一模）已知正实数
满足
，则
的最大值为 .
8
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9
