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专题01 集合与常用逻辑用语
1．（2023 北京）已知集合
，定义函数
则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、求分段函数解析式或求函数的值
【分析】由
，结合分段函数的解析式可得答案.
【详解】由题意可知
，
所以
，
故选：B.
2．（2023 黑龙江）方程
的所有实数根组成的集合（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】求解一元二次方程的根组成的集合
【详解】解方程
，得
或
，
方程
的所有实数根组成的集合为
.
考点一：集合的概念
1
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故选：C
3．（2021 广西）若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．4
D．5
【答案】B
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】由元素与集合的关系即可得出答案.
【详解】因为
，则
.
故选：B.
4．（2023 河北）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形
B．抛物线
上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程
D．充分接近
的所有实数
【答案】D
【知识点】判断元素能否构成集合
【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.
【详解】A，B，C 中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D 中的对象不具备确定性．
故选：D．
5．（2022 江苏）已知集合
，则A 中元素个数为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【知识点】列举法求集合中元素的个数
【分析】由列举法即可判断
【详解】
，共有9 个元素.
故选：B
6．（2022 广西）已知M 是由1，2，3 三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ）
A．{x|x=1}
B．{x|x=2}
C．{1，2}
D．{1，2，3}
【答案】D
【知识点】列举法表示集合
【分析】根据集合的知识确定正确选项.
【详解】由于集合
是由
三个元素构成，
所以
.
故选：D
7．（2020 广西）设M 为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M 等于（ ）
A．{长江，黄河}
B． {长江，黑龙江}
2
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C． {长江，珠江}
D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
【答案】D
【知识点】列举法表示集合
【分析】根据集合的概念及表示即得.
【详解】∵M 为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，
∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.
故选：D.
8．（2023 河北）设集合
，
，
，则
中的元素个数为
．
【答案】4
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】求出所有
的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合
中的元素
，
，
，所以当
时，
，2，3，此时
，6，
7．当
时，
，2，3，此时
，7，8．
根据集合元素的互异性可知，
，6，7，8．即
，共有4 个元素．
故答案为：4．
9．（2023 上海）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是
【答案】7
【知识点】集合元素互异性的应用、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.
【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7 个，故
该集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
10．（2023 高北京）已知数集
含有
（
）个元素，定义集合
．
(1)若
，写出
；
(2)写出一个集合
，使得
；
(3)当
时，是否存在集合
，使得
？若存在，写出一个符合条件的集合
；若不
存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】（1）根据集合的新定义，写出
中元素即可得解；
3
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（2）根据条件分析集合中元素即可得解；
（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.
【详解】（1）因为
，
，
所以
为
中元素，
故
.
（2）取
，此时
，
满足
.
（3）当
时，不存在集合
，使得
.
（反证法）
假设
时，存在集合
，使得
，
不妨设
，且
，
则
，
所以
为
中7 个不同的元素，
所以
，
由
解得
.
此时，
与
矛盾，
所以假设不成立，
故不存在这样的集合
.
1．（2023 重庆）设
，集合
，
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、求对数函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求出集合
、
，利用集合的包含关系可求得实数
的取值范围.
【详解】因为
或
，
，
又因为
，则
.
故选：C.
考点二：集合间的基本关系
4
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2．（2023 广东）已知
， 设集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】先求出全集
，从而判断四个选项的正误，可得答案.
【详解】由题意，
,
得
,
故
，A 错误；
,故B 错误，
，故
属于集合间符号使用不正确， C 错误，
,D 正确，
故选：D
3．（2022 浙江）已知集合
， 若
， 则
（ ）
A．3
B．4
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】依题意可得
，且
，即可得到
和
为方程
的两个实数根，从而
得解；
【详解】解：因为
且
，
所以
，且
，
又
，
所以
和
为方程
的两个实数根，
所以
；
故选：D
1．（2024 福建）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
考点三：集合的基本运算
5
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【知识点】交集的概念及运算
【分析】由交集的运算求解即可；
【详解】由题意可得
，
故选：B.
2．（2022 河北）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】补集的概念及运算
【分析】直接由补集的定义即可求解.
【详解】若全集
，集合
，则
.
故选：D.
3．（2024 江苏）已知集合
，则
的真子集个数为（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、余弦函数图象的应用、由标准方程确
定圆心和半径
【分析】作出几何图形，确定
的元素个数即可得解.
【详解】集合
是坐标平面内，以原点为圆心，2 为半径的圆上的点的集合，
集合
是坐标平面内，函数
图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆
及函数
的部分图象，如图，
观察图象知，圆
及函数
的图象有3 个公共点，
所以
有3 个元素，共有
个真子集.
故选：C
4．（2024 安徽）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【答案】C
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先解一元二次不等式，再结合交集求解.
【详解】因为
，
所以
.
故选：C.
5．（2024 云南）已知集合
，若
有且仅有3 个不同元
素，则
的值可以为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的单调性解不等式
【分析】先求出集合
，然后结合集合的交集运算即可求解．
【详解】因为集合
，
若
有且仅有3 个不同元素，则这3 个元素为3，2，1，
故
，即
．故
可取1，
故选：A．
6．（2024 浙江）设全集
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】补集的概念及运算
【分析】根据补集的定义计算可得.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：B
7．（2024 湖南）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数
【分析】根据集合的交集求解即可.
【详解】因为
，
，
7
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所以
，故
.
故选：A
8．（2024 广东）已知集合
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据交集概念求出答案.
【详解】
.
故选：A
9．（2023 新疆）设全集
，集合
，
，则
.
【答案】
【知识点】交并补混合运算
【分析】确定
，再计算并集得到答案.
【详解】
，
，则
，
，则
.
故答案为：
.
10．（2023 河北）已知集合
，集合
，且
，则
，
．
【答案】
1
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据不等式解法可解得集合
，再利用交集结果以及一元二次不等式与一元二次方程的关系即
可求得
的值.
【详解】由
可得
；
由
可得
∵
，∴
是方程
的根，
则
，可得
∵
，∴
，
则
．
故答案为：
，1
8
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11．（2022 广东）已知集合
，
，
．
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的
单调性解不等式
【分析】（1）解指数不等式，确定集合B，即可得出答案；
（2）由
得出
，列式求解即可.
【详解】（1）
，
所以
，又
，
所以
.
（2）∵
，∴
，
由（1）得
，又
，
∴
，解得
，
∴
的取值范围为
.
12．（2023 北京）给定正整数
，设集合
．对于集合M 的子集
A，若任取A 中两个不同元素
，
，有
，且
，
，…，
中有且只有一个为2，则称A 具有性质P．
(1)当
时，判断
是否具有性质P；（结论无需证明）
(2)当
时，写出一个具有性质P 的集合A；
(3)当
时，求证：若A 中的元素个数为4，则A 不具有性质P．
【答案】(1)A 不具有性质P；
(2)
；
(3)证明见解析.
【知识点】集合的应用、集合新定义
【分析】（1）根据题设新定义即可判断；
（2）根据定义即可写出；
9
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（3）若A 中的元素个数为4，假设A 具有性质P，设
，然后根据条件
推出矛盾，进而即得.
【详解】（1）根据题设定义可知
不具有性质P；
（2）当
时，
，
，且
，
，
中有且只有一个为2，满足
性质P；
（3）当
时，若A 中的元素个数为4，假设A 具有性质P，
即任取A 中两个不同元素
，
，
有
，①
，
，
，
中有且只有一个为2．②
设
；则
．
当
时，由①得
，不满足②，矛盾．
当
时，由①得
，
由②得
与
不同时在A 中；
与
不同时在A 中；
与
不同时
在A 中，所以A 中元素个数至多为3，矛盾．
当
时，由①得
，不满足②，矛盾．
当
或
时，不满足A 中的元素个数为4，矛盾．
所以假设不成立，即A 不具有性质P．
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进
行再迁移.
13．（2023 河北）已知全集
，集合
，
．求：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）根据不等式的运算得出集合
与
，再根据集合的交集运算得出答案；
（2）根据集合的交并补混合运算直接得出答案.
【详解】（1）由
，可得
，
所以
．
10
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由
可得，
且
，解得
，
所以
，
所以
．
（2）因为
或
，
所以
或
.
1．（2024 北京）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】判断两个命题的关系，当
时，
是
充分条件；当
时，
是
不充分条件；当
时，
是
必要条件；当
时，
是
不必要条件.
【详解】当
时，
，∴“
”是“
”充分条件；
当
时，
，此时
满足要求，而
，故
不一定成立，∴“
”是“
”不必要
条件.
故选：A.
2．（2023 高三上·广西）下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A．存在一个直角三角形三边长均为整数B．所有偶函数图象关于y 轴对称
C．任何梯形都不是平行四边形
D．任意两个等边三角形都相似
【答案】A
【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题
【分析】根据存在量词的含义判断即可.
【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词.
故选：A.
3．（2023 安徽）设命题
，
，则
的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
考点四：充分条件与必要条件
11
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【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】
的否定是:
,
故选：A
4．（2023 吉林）“
”是“
”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可.
【详解】因为
可以推出
，即充分性成立；
但
不能推出
，例如
，即必要性不成立；
综上所述：“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：B.
5．（2023 浙江）已知
为实数，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、充要条件的证明
【分析】利用分离参数法求出
的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.
【详解】若
则
当
时，不等式的右边取得最大值1，故
充分性成立；
若
则
时,
当且仅当
时取等，
即
恒成立，因此，由
可以推出
，故必要性成立.
综上所述，
是
的充要条件.
故选：C.
6．（2024 福建）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
12
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【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“
”为全称量词命题，
其否定为：
.
故选：D
7．（2024 浙江）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可.
【详解】全称量词命题：
，它的否定为：
.
所以命题“
”的否定是“
”.
故选：D.
8．（2024 湖南）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.
【详解】命题“
，
”的否定为“
，
”，
故选：C.
二、填空题
9．（2024 湖南）命题“
，
”的否定是 .
【答案】
，
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解即可.
【详解】由全称命题的否定为特称命题可知，
命题“
，
”的否定是
，
.
13
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故答案为：
，
10．（2023 河北）已知命题
：实数
满足
，其中
，命题
：实数
满足
．
(1)若
，则
是
的什么条件？
(2)若
是
的必要条件，求
的取值范围．
【答案】(1)
是
的必要不充分条件
(2)
【知识点】判断命题的必要不充分条件、必要条件的判定及性质
【分析】（1）找到命题
、
所表示的实数
对应的取值集合之间的包含关系，进而得到两个命题之间的
关系.
（2）由命题
是
的必要条件，得到命题
、
所表示的实数
对应的取值集合之间的包含关系，进而求
出参数
的范围.
【详解】（1）由
，得
，记集合
，
，记集合
．
因为B 是A 的真子集，所以
是
的必要不充分条件．（注：必要条件也正确）
故
是
的必要不充分条件．
（2）
，记集合
，
，记集合
，
因为
是
的必要条件，
所以
，即
所以
．
所以a 的取值范围为
.
14
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