文档文本内容
第 05 讲 正弦定理和余弦定理的应用
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：测量距离问题..............................................................................3
高频考点二：测量高度问题..............................................................................6
高频考点三：测量角度问题..............................................................................9
高频考点四：求平面几何问题.........................................................................12
高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题..............................................14
第四部分：新定义题.............................................................................................15
第一部分：基础知识
1、基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应
根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2、仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰
角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
3、方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角 的范围是
.
4、方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西) ，例：(1)北偏东 ：(2)南偏西 ：
5、坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角( 为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即
.
第二部分：高考真题回顾
1．（2021·全国·乙卷理）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的
高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为
“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则海岛
的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：测量距离问题
典型例题
例题1．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10
月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域
地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B
在河的北岸，测得 ， ， ， ，则A，B两个基站的距离为
（ ）
A． km B． km C．15km D． km
例题2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东 方向上，距离为
n mile；在 处看灯塔 在货轮的北偏西 方向上，距离 ．货轮由 处向正北航行到 处
时，再看灯塔 在南偏东 方向上， 处与 处之间的距离是 n mile，灯塔 与 处之间的距
离是 n mile．
例题3．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路
径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有
甲、乙两位游客从A处下山，甲沿 匀速步行，速度为 ，在甲出发 后，乙从A乘缆车到
B，在B处停留 后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为 ，山路 长为
，经测量得 ， ．
(1)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过 ，乙步行的速度应控制在什么范围内？练透核心考点
1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）某次军事演习中，炮台 向北偏东 方向发射炮弹，炮台 向北
偏西 方向发射炮弹，两炮台均命中 外的同一目标，则 两炮台在东西方向上的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定观测点
A，B，并测得A，B间的距离为 m， ， ， ， ，则C，D
两点间的距离为多少？
3．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图 是在沿海海面上相距 海里的两个哨所， 位于 的正
南方向. 哨所在凌晨1点发现其南偏东 方向处有一艘走私船，同时， 哨所也发现走私船在其东北方
向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于 点南偏西 的 点，且 与 相距 海里，试
求：
(1)刚发现走私船时，走私船与哨所 的距离；
(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
(3)若缉私艇得知走私船以 海里/时的速度从 向北偏东 方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追
截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？4．（23-24高一下·四川资阳·阶段练习）如图，某公园有三条观光大道 围成直角三角形，其中
直角边 ，斜边 ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 大道上嬉戏，
(1)若甲、乙都以每分钟 的速度同时从点 出发在各自的大道上奔走，甲出发3分钟后到达 ，乙出
发1分钟后到达 ，求此时甲、乙两人之间的距离；
(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点 ．设 ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，
且 ，请将甲、乙之间的距离 表示为 的函数，并求甲、乙之间的最小距离．
5．（23-24高一下·上海·阶段练习）海上某货轮在 处看灯塔 在货轮的北偏东 ，距离为 海里；
在 处看灯塔 在货轮的北偏西 ，距离为 海里；货轮向正北由 处行驶到 处时，若灯塔 在南
偏东 的方向上，则灯塔 与 处之间的距离为多少海里？高频考点二：测量高度问题
典型例题
例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因
唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东
方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀
楼顶部M的仰角分别为 和 ，在A处测得楼顶部M的仰角为 ，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A．64m B．74m C．52m D．91m
例题2．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时
测得公路北侧一山底 在西偏北 的方向上；行驶 后到达 处，测得此山底 在西偏北 的方向
上，山顶 的仰角为 ，则此山的高度 .
例题3．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年
拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．其中央主体建筑集球，圆
柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂
的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为 ，在它们之间的地面上的点M
（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是 和 ，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为
，则小明估算索菲亚教堂的高度为 米．例题4．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）郑州市中原福塔的塔座为鼎，寓意为鼎立中原，从上空俯瞰
如一朵盛开的梅花，寓意花开五福，福泽中原，它是美学与建筑的完美融合.绿地中心千玺广场“大玉米”
号称中原第一高楼，璀璨繁华的外表下包含浓郁的易学设计理念，流露出馥郁的古香.这两座塔都彰显了中
华文化丰富的内涵与深厚的底蕴.小米同学积极开展数学研究性学习，用以下方法测量两座塔的高度.
(1)为测量中原福塔高度，小米选择视野开阔的航海东路上一条水平基线 ，使 共线，在
三点用测角仪测得 的仰角分别为 ，其中测角仪的高度为 米，为了测量距
离，小米骑共享单车，速度为 ，从 到 耗时 ，从 到 耗时为原来的 倍，求塔高 .（参考
数据：取 ， ）
(2)为测量千玺广场“大玉米”高度，小米选择一条水平基线 ，使 三点共线，在 两点用测角
仪测得 的仰角分别为 ， ，在 处测得 的仰角为 ，测角仪高度忽略不计.小米使用智能手机运动测
距功能，从河南艺术中心音乐厅入口台阶 处运动到水景露天剧场的 处，测得距离 .
①试用 ， ， ， 表示塔高 ；
②若 ， ， ， 米，求千玺广场“大玉米”的实际高度.
（参考数据：取 ， ， ）练透核心考点
1．（23-24高一下·广西·开学考试）桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银
塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底
的同一水平面上的 两点处进行测量，如图2.已知在 处测得塔顶 的仰角为60°，在 处测得塔顶
的仰角为45°， 米， ，则该塔的高度 （ ）
A． 米 B． 米 C．50米 D． 米
2．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳
楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 ，他首先
在 处，测得楼顶 的仰角为 ，然后沿 方向行走22.5米至 处，又测得楼顶 的仰角为 ，则楼
高 为 米．
3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆
市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜
利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点 处测得其顶点 的仰角为 ､点 处测得其顶点 的仰
角为 ，若 米，且 ，则解放碑的高度 米．4．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低
于气球外的空气密度以产生浮力飞行.热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达
到控制气球升降的目的.其工作的基本原理是热胀冷缩.当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起.除娱乐
作用外还可用于测量.如图，在离地面高 的热气球上，观测到山顶 处的仰角为 ，山脚 处的俯角
为 ，已知 ，求山的高度 .
高频考点三：测量角度问题
典型例题
例题1．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平
面上.某人在点 处测得楼顶的仰角为 ，他在公路上自西向东行走，行走60米到点 处，测得仰角为
，沿该方向再行走60米到点 处，测得仰角为 .则 （ ）
A． B．3 C． D．
例题2．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）位于灯塔 处正西方向相距 海里的 处有一艘甲船燃油
耗尽，需要海上加油．位于灯塔 处北偏东30°方向有一艘乙船（在 处），乙船与甲船（在 处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（ ）
A．西偏南15° B．西偏南30°
C．南偏西45° D．南偏西65°
例题3．（22-23高三上·安徽·阶段练习）某人从山的一侧 点看山顶的仰角为 ，然后沿从 到山顶的直
线小道行走 到达山顶，然后从山顶沿下山的直线小道行走 到达另一侧的山脚 处 在同
一水平面内，山顶宽度忽略不计），则其从 点看山顶的仰角的正弦值为 ， 的最大值为
．
例题4．（22-23高一下·浙江·期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距 海里的两个观测
点，现位于A点北偏东 ，B点南偏东 的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方
向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.
(1)求B，C两点间的距离；
(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数
据： ，角度精确到0.01）
练透核心考点
1．（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）已知甲船在海岛 的正南A处， 海里，甲船以每小时4海
里的速度向正北航行，同时乙船自海岛 出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小
时后，甲船在乙船的（ ）
A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向
C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向
2．（22-23高一下·云南曲靖·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形
态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查
阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、
120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
△
A． B． C． D．
3．（21-22高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从 市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时 的
速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在 市南偏东方向距 市 的 处有一艘小艇，小艇与海岸距
离为 ，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与 的夹角.
4．（20-21高二上·广东东莞·期末）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平
原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已
知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测
得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.(1)求出山高BE（结果保留整数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼
睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端
A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？
参考数据: .
高频考点四：求平面几何问题
典型例题
例题1．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，平面四边形A､B､C､D，己知 ，
， ， ，则A､B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形 中， ， ，
．
(1)若该四边形 存在外接圆，且 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
例题3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四边形 内接于 ，若 ， ，．
(1)求线段 的长．
(2)若 ，求 的取值范围．
练透核心考点
1．（2023高三上·全国·专题练习）如图，在平面四边形 中， ．记
的面积为 ， 的面积为 ． ，则S的最大值为 ．
2．（23-24高三上·广东汕头·期中）在凸四边形 中，对角线 交于点 ，且
.
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求边 的长.
3．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形 中， 的
面积为 ．(1)求 ；
(2)证明： ．
高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题
典型例题
例题1．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ．
(1)若方程 在 上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；
(2)在 中，若 ，内角A的角平分线 ， ，求AC的长度．
例题2．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习） 的内角 所对的边分别为 ，且
(1)若 ，求 在 上的投影向量；（用向量 表示）
(2)若 ， ， 为 的平分线， 为中线，求 的值.练透核心考点
1．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的最小正周期及单调递增区间；
(2)在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边长，若 ， ， 的面积为 ，求
的值.
2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知
，且 的图象上相邻两条对称轴
之间的距离为 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若 的内角 的对边分别为 ，且 ，求 面积的最大值.
第四部分：新定义题
1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）定义非零向量 的（相伴函数）为
，向量 称为函数 的“相伴向量”（ 其中为坐标原点）
(1)求 的相伴向量；
(2)求（1）中函数 的“相伴向量”模的取值范围；
(3)已知点 ，其中 为锐角 中角 的对边．若角 为 ，且向量 的“相伴函数”
在 处取得最大值．求 的取值范围．
2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）定义函数 的“源向量”为 ，非零
向量 的“伴随函数”为 ，其中 为坐标原点．
(1)若向量 的“伴随函数”为 ，求 在 的值域；
(2)若函数 的“源向量”为 ，且以 为圆心， 为半径的圆内切于正 （顶
点 恰好在 轴的正半轴上），求证： 为定值；
(3)在 中，角 的对边分别为 ，若函数 的“源向量”为 ，且已知
，求 的取值范围．
