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专题01 集合综合归类
目录
题型一：相等集合......................................................................................................................................................1
题型二：相等集合求参..............................................................................................................................................2
题型三：集合中的元素..............................................................................................................................................2
题型四：集合元素个数求参......................................................................................................................................3
题型五：子集与真子集关系......................................................................................................................................4
题型六：子集型求参..................................................................................................................................................5
题型七：交集..............................................................................................................................................................6
题型八：交集运算求参..............................................................................................................................................7
题型九：并集..............................................................................................................................................................7
题型十：并集运算求参..............................................................................................................................................8
题型十一：补集与全集..............................................................................................................................................9
题型十二：补集与全集运算求参............................................................................................................................11
题型十三：韦恩图应用............................................................................................................................................11
题型十四：交并补混合型运算................................................................................................................................13
题型十五：交并补综合运算求参............................................................................................................................14
题型十六：集合新定义型........................................................................................................................................15
结束...........................................................................................................................................................................16
题型一：相等集合
1．（2023·浙江·三模）设函数
的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，
，则( )
A．
B．
C．A=B
D．
2．（21-22 高三上·浙江金华模拟）已知集合
，
则满足
且
的集合N 的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（23-24 高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合
，
，
集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为
；不属于，记为
．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1
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，则M，N，P 的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知
，
，若集合
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
题型二：相等集合求参
1．（22-23 高三 ·江苏苏州·阶段练习）设
､
､是两个两两不相等的正整数.若
，
，
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．1000
B．1297
C．1849
D．2020
2．（2022·上海杨浦·预测）已知函数
，记集合
，集合
，若
，且都不是空集，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（23-24 高三·江苏常州·模拟）已知函数
，若非空集合
，满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三·北京·阶段练习）已知函数
，集合
，集合
，若
，且都不是空集，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：集合中的元素
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无
关）
2
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1．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）已知
是等差数列，
，存在正整数
，使得
，
.若集合
中只含有4 个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（23-24 高三·上海嘉定·）已知集合P，Q 中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q 中的
元素都为正数；②对于任意
，都有
；③对于任意
，都有
；则下列
说法正确的是（ ）
A．若P 有2 个元素，则Q 有3 个元素
B．若P 有2 个元素，则
有4 个元素
C．若P 有2 个元素，则
有1 个元素
D．存在满足条件且有3 个元素的集合P
3．（2022·全国·模拟预测）若函数
满足对
都有
，且
为R 上
的奇函数，当
时，
，则集合
中的元素个数为
（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
4．（22-23 高三·北京·模拟）对于集合
，给出如下三个结论：①如果
，那么
；②如果
，那么
；③如果
，
，那么
.其中正确结论的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（22-23 高三·山东青岛·阶段练习）对于正实数
，记
为满足下述条件的函数
构成的集合：
且
，有
.下列结论中正确的是
A．若
，则
B．若
且
，则
C．若
，则
D．若
且
，则
题型四：集合元素个数求参
集合中元素个数判断：
1.若集合是点集，则多是图像交点。
2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。
集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关
基础知识的积累和应用。
3
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1．（23-24 高三上·上海·模拟）设
且
，n 为正整数，集合
．有以下两个命题：
①对任意a，存在n，使得集合S 中至少有2 个元素；②若存在两个n，使得S 中只有1 个元素，则
，
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题
D．①、②都是真命题
2．（22-23 高三·北京·阶段练习）设集合
的最大元素为
，最小元素为
，记
的特征值为
，
若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知
，
，
，…，
是集合
的元素个数均不相同的非
空真子集，且
，则
的最大值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
3．（22-23 高三江西南昌·阶段练习）各项互不相等的有限正项数列
，集合
，集合
,则集合
中的元素至多有个（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三·上海杨浦·阶段练习）已知集合
，对于它的任一非空子集A，可以将A
中的每一个元素k 都乘以
再求和，例如
，则可求得和为
，对S
的所有非空子集，这些和的总和为
A．508
B．512
C．1020
D．1024
5．（2023 高三·全国·阶段练习）已知函数
，
，
，
，
集合
只含有一个元素，则实数的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型五：子集与真子集关系
1．（20-21 高三·江苏扬州·阶段练习）已知集合
，若A，B 是P 的两个非空子集，则所有满足
A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49
B．48
C．47
D．46
2．（22-23 高三·湖北武汉·强基 ）设A 是集合
的子集，只含有3 个元素，且不含相邻的
整数，则这种子集A 的个数为（ ）
A．32
B．56
C．72
D．84
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的
思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n 个元素的集合有2n 个子集．
(2)含n 个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n 个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n 个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
4
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3．（22-23 高三·湖南常德·阶段练习）设集合
,对
的任意非空子集A，定义
为集合A 中的最大元素，当A 取遍
的所有非空子集时，对应的
的和为
，则
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高三·福建福州·）给定全集
，非空集合
满足
，
，且集合
中的最大元
素小于集合
中的最小元素，则称
为
的一个有序子集对，若
，则
的有序
子集对的个数为
A．48
B．49
C．50
D．51
5．（2022 高三上·河北衡水·专题练习）对于任意两个正整数
，定义某种运算
，法则如下：当
都是正奇数时，
；当
不全为正奇数时，
，则在此定义下，集合
的真子集的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：子集型求参
1．（2023·广东深圳·模拟预测）已知
且
，若集合
，
，
且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三·江苏常州·模拟）对于集合A，B，我们把集合
且
叫做集合A 与B 的差集，
记作
．若集合
，集合
，且
，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·广东广州·二模）已知
且
，若集合
，且
﹐则
实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有
，则要讨论集合B 是否是空
集。
5
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4．（20-21 高三上·湖北模拟）已知集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高三·上海普陀·模拟）设
.若对任意
，都存在
，使得
，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：交集
1．（23-24 高三·上海·模拟）已知函数
，
为高斯函数，表示不超过实数
的最大整数，
例如
，
.记
，
，则集合
，
的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三·上海浦东新·模拟）若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满
足：①
，
；②对于X 的任意子集A，B，当
且
时，有
；③对于X 的
任意子集A，B，当
且
时，有
，则称M 是集合X 的一个“M-集合类”.例如：
是集合
得一个“M—集合类”.若
，则所有含
的“M—集合
类”的个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
3．（20-21 高三·四川眉山·阶段练习）设
，
与
是
的子集，若
，则称
为
交集：
6
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一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定
与
是两个不同的“理想配集”）的
个数是（ ）
A．16
B．9
C．8
D．4
4．（22-23 高二上·上海黄浦·阶段练习）已知集合
，则集合
中元素的个数是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8
5．（21-22 高三·上海模拟）设
，则所有
的交集为（
）
A．
B．
C．
D．
6.（2024 年高考1 卷）已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
题型八：交集运算求参
1．（2023·上海普陀·一模）设
、
、
、
、
是均含有
个元素的集合，且
，
，记
，则
中元素个数的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三·江苏·模拟）设集合
，
（
）.
当
有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
或
3．（22-23 高三·湖北荆门模拟）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），
，
，若存在实数φ，使得集合A∩B 中恰好有7 个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B
_A；
②A∩B
B；
③A∩A＝A；
④A∩＝
；
⑤A∩B=B∩A.
7
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4．（2020·山西晋中·一模）函数
，若存在正实数
，其中
且
，使得
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．（2020 高二·浙江·专题练习）已知集合
，
，若
，且
中恰好有两个整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：并集
1．（22-23 高三·辽宁·阶段练习）已知
，
，且
，其中
，若
，
，且
的所有元素之和为56，求
（ ）
A．8
B．6
C．7
D．4
2．（22-23 高三北京·阶段练习）设全集
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三上·北京海淀·模拟）已知非空集合
满足以下两个条件：
（ⅰ）
，
；
（ⅱ）
的元素个数不是
中的元素，
的元素个数不是
中的元素，
则有序集合对
的个数为
A．
B．
C．
D．
4．（2022 山东威海·模拟）若
，
，定义
，
则
A．
B．
C．
D．
并集：
8
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5．（2022·全国·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：并集运算求参
1．（22-23 高三·湖南长沙·模拟）已知
表示不超过
的最大整数，例如
，
，方程
的解集为
，集合
，且
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三·北京海淀模拟）已知集合
，
，为使得
，则实数
a 可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．e
4．（22-23 高三·全国·课后作业）设集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高三上海浦东新·模拟）已知集合
，集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并
注意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
9
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A．
B．
C．
D．
题型十一：补集与全集
1．（2021·浙江杭州·模拟预测）定义集合
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，
，则由
围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积
一定相等
D．满足
且
的点
构成区域的面积为
2．（23-24 高三·湖北·阶段练习）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·湖北·模拟）已知M，N 均为
的子集，若存在
使得
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22-23 高三·北京·模拟）设全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U 中不属于集合
A 的所有元素组成的集合称
为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
图形语言
10
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5．（22-23 高三·福建福州·模拟）已知不等式
解集为
，若不等式
解集为B，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2024 年全国甲卷理）集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
题型十二：补集与全集运算求参
1．（23-24 高三·安徽·阶段练习）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三上·河北唐山·阶段练习）设集合
或
，
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（20-21 高三·江苏南京·模拟）已知集合
，
．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
4．（22-23 高三·全国·课后作业）设集合
，全集
,若
,则有（ ）
A．
B．
C．
D．
全集与补集运算的性质：
11
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5．（22-23 高三·河北邢台·阶段练习）已知全集
，集合
，
若
的元素的个数为4，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
题型十三：韦恩图应用
1．（20-21 高三·上海浦东新·阶段练习）定义
，设
、
、
是某集合的三个子集，
且满足
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合
，
，则图中阴影部分表示的集
合是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·河北·模拟预测）已知集合
，
，图中阴影部分为集合M，则M
中的元素个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知全集
，集合
，
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·四川南充·一模）已知全集
，集合
，
，则能表示
韦恩图：
（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
12
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A，B，U 关系的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十四：交并补混合型运算
1．（22-23 高三上·河北衡水模拟）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高三上·河北保定模拟）设集合A、B、C 均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
3．（2023·湖北·模拟预测）从集合
的非空子集中随机取出两个不同的集合A，
，则在
的条件下，
恰有个元素的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
集合的并、交、补运算：
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
，或
，且
若全集为U，则集合A 的补集
记为
，且
Venn 图表
示(阴影部
分)
意义
由所有属于集合
或属于集合
的元素组成的集合
由所有属于集合
且属于集
合
的元素组成的集合
由全集
中不属于集合
的
所有元素组成的集合
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4．（2017·四川成都·一模）设集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三·福建厦门·阶段练习）已知全集
，集合
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（22-23 高一上·浙江杭州·模拟）已知集合A 中含有6 个元素，全集
中共有12 个元素，
中有m 个元素，已知
，则集合B 中元素个数可能为（ ）
A．2
B．6
C．8
D．12
题型十五：交并补综合运算求参
1．（23-24 高三·北京东城·模拟）全集
，
，定义函数
，
．设全集为
，
，
，则下列说法中正确的是（ ）．
①若
，都有
，则
；
②若
，都有
，则
；
③若
，则
，都有
；
④若
，则
．
A．①②
B．①③
C．①②④
D．③④
2．（22-23 高三·陕西西安·阶段练习）已知集合
，
，且
，
，则
（ ）
常用的数集及其记法
（1）全体非负整数 组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作
或
；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R．
14
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A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高三·湖北襄阳·阶段练习）设全集
，集合
，若
，则
的值为（ ）
A．4
B．2
C．2 或4
D．1 或2
4．（2022·云南·模拟预测）设集合
，
，
，若点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十六：集合新定义型
1．（22-23 高三·上海宝山·阶段练习）若集合
且
，则称
构成
的一个二次划分.任
意给定一个正整数
，可以给出整数集
的一个
次划分
，其中
表示
除以
余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合
，称作模
的剩余类
集.模
的剩余类集可定义加减乘三种运算，如
，（其中
为
除以
的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过
定义倒数就可以了，但不是所有
中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构
成素域.那么下面说法错误的是（ ）
A．
能构成素域当且仅当
是素数B．
C．
是最小的素域（元素个数最少）
D．
2．（2021 高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B＝
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解
决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看
本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变
才是制胜法宝.
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
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若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可
能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
3．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S
N*，T
N*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，y
S，若x≠y，都有xy
T
②对于任意x，y
T，若x<y，则
S；
下列命题正确的是（ ）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
4．（23-24 高三·北京·模拟）对于平面上点
和曲线
，任取
上一点
，若线段
的长度存在最小值，
则称该值为点
到曲线
的距离，记作
．下列结论中正确的个数为（ ）
①若曲线
是一个点，则点集
所表示的图形的面积为
；
②若曲线
是一个半径为
的圆，则点集
所表示的图形的面积为
；
③若曲线
是一个长度为
的线段，则点集
所表示的图形的面积为
；
④若曲线
是边长为的等边三角形，则点集
所表示的图形的面积为
．
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（21-22 高三·上海普陀·模拟）已知集合
，
、
、
满足：①
；②每个集合都恰有5 个元素.集合
中最大元素与最小元素之和称为
的特征
数，记为
，则
的值不可能为（ ）
A．37
B．39
C．48
D．57
6．（22-23 高三上·上海徐汇·模拟）对正整数
，记
．若
的子集
中任意两个元素之和不是整数的平方，则称
为“破晓集”．那么使
能分成两个不相交的破晓集的并集
时，
的最大值是（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
结束
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