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15.1.1 从分数到分式 一、单选题 1．若分式 的值为零，则 的值等于（ ） A．﹣1 B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据分式值为零的条件列出 ，且值需保证 ，即可得到答案． 【详解】要使分式 的值为零，必须 ， ， 解得， ， 故选：D． 【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的 关键． 2．若a2-3a+1＝0，则a2+ 的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先由原等式得a2+1＝3a，利用等式的基本性质两边同除以a，可得 ，再两边同时平方后得出 ，即可计算出结果． 【详解】由a2－3a+1＝0 得a2+1＝3a， ∵a≠0， 给a2+1＝3a 两边同除以a，得 ， 则 ， ∴ ． 故选：C． 【点评】本题考查了求分式的值，根据已知求出 是解题的关键． 3．若 ，则 的值是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据 求出ab 与a-b 的关系，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】∵ ，即ab=-3（a-b）， ∴原式= =-3． 故选：A． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 4．分式 的值为0，则（ ） A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝±2 【答案】B 【分析】根据分式值为零的条件可得x2 4 ﹣＝0，且x 2≠0 ﹣ ，再解即可． 【详解】由题意得：x2 4 ﹣＝0，且x 2≠0 ﹣ ， 解得：x＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式值为零的条件，准确计算是解题的关键． 5．分式 有意义，则 、 满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】分式 有意义，则x 应满足的条件是x-3≠0，即x≠3，y 为任意数． 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零． 6．下列各式中，分式有（ ）个 ， ， ， ， ， A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可． 【详解】∵ 中的分母是3，不含字母， ∴ 不是分式； ∵ 中的分母是n，是整式，且是字母， ∴ 是分式； ∵ 中的分母是a+5，是多项式，含字母a， ∴ 是分式； ∵ 中的分母是15，不含字母， ∴ 不是分式； ∵ 中的分母是 ，是整式，含字母x，y， ∴ 是分式； ∵ 中的分母是 ，是整式，含字母a，b， ∴ 是分式； 共有4 个， 故选A． 【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键． 7．若分式 有意义，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 取任意实数 【答案】C 【分析】根据分式有意义的基本条件计算即可． 【详解】∵分式 有意义， ∴x-2≠0， ∴ ， 故选C． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟记有意义的条件，熟练转化成不等式是解题的关键． 8．使分式 有意义的x 的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x≠0 C．x≠±1 D．x 为任意实数 【答案】C 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围． 【详解】由题意，得x2−1≠0， 解得：x≠±1， 故选：C． 【点评】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 二、填空题 9．分式 的值为0，则 的值为_______________． 【答案】 【分析】根据分式的值为零的条件可得 ，且x+1≠0，再解即可． 【详解】由题意得： ，且x+1≠0， 解得：x=1， 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条 件缺一不可． 10．下列各式： （1﹣x）， ， ， +x， ，其中是分式的有_____个． 【答案】2 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】 （1﹣x）， ， ，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式． +x， ，分母中含有字母，因此是分式． 分式有两个， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查分式的定义，注意 不是字母，是常数，所以 ，不是分式，是整式． 11．已知x﹣ ＝1，则 的值为_____． 【答案】2 【分析】将已知等式去分母整理后，代入原式计算即可得到结果． 【详解】∵x﹣ ＝1 ∴x2 1 ﹣＝x， ∴x2＝x+1， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2， 故答案为：2． 【点评】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．观察下列各等式： ，- ， ，- ， ......，猜想第八个分式__． 【答案】 【分析】通过观察找出规律即可，第n 个分式可表示为 ． 【详解】当n=8 时，求得分式为： 所以答案为： ． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决 问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律 ． 三、解答题 13．已知 , ，求下列各式的值： （1） 和 ； （2） + ． 【答案】（1）5，1；（2） 【分析】（1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解； （2）先化简原式，再将（1）所求的 和 的值代入即可求解． 【详解】（1）∵ , ， ∴ ① ② ①＋②得： ∴ ①－②得： ∴ （2） + 将 和 代入上式可得： 原式 【点评】本题考查完全平方公式的运用、分式的化简求值，学会利用整体代入的思想，解题的关键是熟练掌握 完全平方公式求出 和 的值． 14．例：解不等式（x 2 ﹣）（x+3）＞0 解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正” 得① ，或② ， 解不等式组①得，x＞2， 解不等式组②得，x＜﹣3， 所以原不等式的解集为x＞2 或x＜﹣3． 阅读例题，尝试解决下列问题： （1）平行运用：解不等式x2 9 ﹣＞0； （2）类比运用：若分式 的值为负数，求x 的取值范围． 【答案】（1）x＞3 或x＜﹣3；（2） 【分析】（1）结合题中的方法，先对不等式左边因式分解为两个多项式，再分类讨论即可； （2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可． 【详解】（1）解不等式x2 9 ﹣＞0，即为解 ， 根据“两数相乘，同号得正” 得① ，或② ， 解不等式组①得，x＞3， 解不等式组②得，x＜﹣3， ∴原不等式的解集为x＞3 或x＜﹣3； （2）由题得不等式 ， 根据“两数相除，同号得正，异号得负” 得① ，或② ， 解不等式组①得， ， 不等式组②无解， ∴原不等式的解集为 ． 【点评】本题考查一元二次不等式，以及分式不等式，理解并熟练运用题干中介绍的方法是解题关键． 15．若a，b 为实数，且 ，求3a b ﹣的值． 【答案】2 【分析】根据题意可得 ，解方程组可得a,b,再代入求值. 【详解】∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴3a b=6 4=2 ﹣ ﹣ ． 故3a b ﹣的值是2． 【点评】本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质. 16．已知分式 ，试问： 当m 为何值时，分式有意义？ 当m 为何值时，分式值为0？ 【答案】（1） 且 ；（2） 【分析】(1)根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式计算即可； (2)根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 【详解】 由题意得， ， 解得， 且 ； 由题意得， 且 ， 解得， ， 则当 时，此分式的值为零． 【点评】本题考查了分式有意义和分式为0 的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零 的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键. 17．若分式 有意义，求x 的取值范围. 【答案】 【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果． 【详解】∵ ，∴x+2≠0 且x+4≠0 且x+3≠0，解得：x≠ 2 ﹣、﹣3、﹣4． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义． 18．若分式 的值为零，求x 的值． 莉莉的解法如下： 解： 分式 的值为零． ， ． 请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解法． 【答案】莉莉的解法不正确，正确的解法见解析． 【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．依此列出算式计算即可求解． 【详解】莉莉的解法不正确，正确的解法如下： 分式 的值为零， 且 ，解得 ． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不 为0．这两个条件缺一不可． 19．观察下列等式： 根据上述规律解决下列问题： ① ； ② ； ③ ； ④ ；…… (1)完成第⑤个等式； (2)写出你猜想的第 个等式(用含 的式子表示)并证明其正确性． 【答案】（1） ；（2） ，详见解析 【分析】(1)根据已知的等式即可写出第⑤个等式； （2）发现规律即可得到第 个等式，根据分式的运算法则即可求解． 【详解】（1）第5 个等式为： （2）猜想：第n 个等式为： 证明：∵左边 右边 ∴左边=右边 ∴原式成立． 【点评】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据已知的等式找到规律． 20．已知 ，求 的值. 【答案】 ； 【分析】根据 得到 ，再把 化简为 ，再把 用 替 换，约分即可得到答案； 【详解】根据 通分合并得到： ，即： ， ∴ ； 【点评】本题主要考查了整体转换思想，把复杂的问题转换为简单的思想，通过对条件和结论的转换，最终求 得问题的答案，求得 是解本题的关键.
