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淘宝：学思创想
专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”
字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8 字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC 相交于点O，连接AB、CD；结论：①
；②
。
8 字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP 平分∠BAD，线段CP 平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），
与
的交点为
，且
，
，
保持不变．为了舒适，需调整
的大小，使
，则图中
应 （填
“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
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【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D、∠E、∠DCE 之间的关系，进行计算即
可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，
如图，连接CF 并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+ DCF+30°+ ECF=50°+ DCE=50°+70°=120°
∠
∠
∠
，
要使∠EFD=110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由
∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=
∠D+100°，
因此应将∠D 减少10 度；故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的
关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含
了数形结合的思想方法．
例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K 的度数．
【答案】540°
【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝
∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．
【详解】解：如图所示：
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由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝
∠GML，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）
×180°＝3×180°＝540°．
【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将
所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段
相交于点O，连接
，则我
们把形如这样的图形称为“8 字型”．
(1)求证：
；
(2)如图2，若
和
的平分线
和
相交于点P，且与
分别相交于点
．
①若
，求
的度数；
②若角平分线中角的关系改为“
”，试探究
与
之间的数量
关系．
【答案】(1)见解析(2)①
；②
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据角平分线的定义得到
，
，再根据“8 字形”得到
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，两等式相减得到
，即
，即可求解．②根据
，可得
，
，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得
，即可求解．
【详解】（1）证明：在
中，
，
在
中，
，
∵
，∴
；
（2）解：①∵
和
的平分线
和
相交于点P，∴
，
∵
①，
②，
由
，得：
，即
，
∵
，∴
；
②∵
，∴
，
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，∴
），故答案为：
．
【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8 字形”求解．
例4．（2023 春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段
，
交于点
，连接
，
，判断
与
的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，
平分
，
为
上任意一点，在
，
上截取
，连接
，
．求证：
；
(3)如图3，在
中，
，
为角平分线
上异于端点的一动点，求证：
．
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【答案】(1)
；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，
，
，两式相加即可得出
结论；（2）根据
证
即可得出结论；
（3）在
上取一点
，使
，连接
交
于点
，证
，即
，同理证
，然后同理（1）得
，变形不等式即可得出结论．
【详解】（1）解：
，理由如下：
，
，
，即
；
（2）证明：
平分
，
，
在
和
中，
，
，
；
（3）证明：在
上取一点
，使
，连接
交
于点
，
是
的角平分线，
，
在
和
中，
，
，
，同理可证
，
，
，
，即
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是
解题的关键．
例5．（2023 春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能
够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为
基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问
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题．我们将图1①所示的图形称为“8 字形”．在这个“8 字形”中，存在结论
．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论
．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，
、
分别平分
、
，说明：
．
(2)将图2 看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线
平分
的外角
，
平分
的外角
，若
，
，
求
的度数．②在图4 中，
平分
的外角
，
平分
的外角
，猜想
与
、
的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5 中，
平分
，
平分
的外
角
，猜想
与
、
的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
【答案】(1)见解析(2)①
；②
；③
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【分析】（1）根据角平分线的定义可得
，再根据题干的结论列出
，相加得到
，继
而得到
，即可证明结论；
（2）①如图所示，分作
的角平分线交于H，根据（1）的结论得到
，
再由角平分线的定义和平角的定义证明
，
，再根据题干的结论可推出
；②如图所示，分作
的角平分线交于H，由（1）的结论可知
，，同理可得
，
，则由四边形内角和定理可得
；③由题干的结论可得
，由角平分线的定义得到
，再求出
，由题干的结论可知
，由此可得
．
【详解】（1）解：∵
分别平分
，
∴
，∴
，
由题干的结论得：
，∠
，
∴
，∴
，
∴
，即
；
（2）解：①如图所示，分作
的角平分线交于H，
由（1）的结论可知
，
∵
分别平分
，∴
，
∵
∴
，
∴
，同理可得
，由题干的结论可得
，
∴
；
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②如图所示，分作
的角平分线交于H，
由（1）的结论可知
，，同理可得
，
，
∴
；
③由题干的结论可得
，
∵
平分
，
平分
的外角
，
∴
，
∵
，∴
，
由题干的结论可知
，∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”
字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
模型2、“A”字模型
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结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+ 2=
∠
∠A+180° 。
例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若
，那么
的度数为
．
【答案】
【分析】根据平角的定义求出
，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图
，
，
，
，
，故答案为：
．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，
中，
，直线
交
于点D，交
于点
E，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
235
245
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【分析】根据三角形内角和定理求出
，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：
，
，
，故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于
是解题的关键．
例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图，
，若
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质求出∠D，再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵
，∴∠ABC＝∠D＝45°，
∵∠A＝60°，∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°. 故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．
例4．（2023 秋·广西·八年级专题练习）如图所示，
的两边上各有一点
，连接
，求证
．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：
和
是
的外角，
．
又
，
．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在
中，
，现将一块直角三角板放在
ADE
AED
65
A
180
65
115
ADE
AED
360
115
245
BDE
CED
180
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上，使三角板的两条直角边分别经过点
，直角顶点D 落在
的内部，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明
∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC 中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC 中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴
40°-90°=50° 故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
例6．（2023 秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，
为直角三角形，
，若沿图中
虚线剪去
，则
__________；
（2）如图2，在
中，
，剪去
后成为四边形，则
__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳
与
的关系是______________；
（4）若没有剪去
，而是将
折成如图3 的形状，试探究
与
的关系，并说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和为
，三角形的外角和定理，则
，
，
，即可；
（2）根据三角形的内角和为
，三角形的外角和定理，则
，
，
，即可；
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（3）根据（1）和（2）可知，
，根据
，即可；
（4）根据折叠的性质，则
，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则
，
，
，再根据等量代换，即可．
【详解】（1）
为直角三角形，
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，故答案为：
．
（2）∵
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，故答案为：
．
（3）由（1）和（2）得，
，
∵
，∴
，∴
．
（4）
，理由见下：由题意得，
，∴
，
，
∴
，
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角
和定理．
例7．（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
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(1)如图（2），“五角星”形，求
？
分析： 图中
是“A”型图，于是
，所以
= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求
；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得
= ；
【答案】(1)180°(2)180°(3)360°
【分析】（1）根据三角形外角的性质把5 个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7 个角转化到一个三角形中可得答案．
（3）根据三角形外角的性质把8 个角转化到一个四边形中可得答案．
【详解】（1）解：如图，
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由三角形外角的性质可得，
，∵
，∴
，
∵
，∴
，故答案为：180°；
（2）如图，由（1）得，
∵
，∴
．
（3）如图，由三角形外角的性质可得，
，
，
，
故答案为：360°．
【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
模型3、三角板模型
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【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图：
和
是两块直角三角尺，两直角三角尺的
斜边AB、DE 在同一直线上，其中
，
，
，则
的度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵由题意得
，
，
∴
，故选：B
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，即三角形的一
个外角等于与它不相邻的两个内角和．
例2．（2023 春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中
，
，
，若
相交于点E，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】在
中，利用三角形内角和定理，可求出
的度数，再结合对顶角相等，即可得出
的度数．
【详解】解：在
中，
，
，
∴
，∴
．故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是
”及“对顶角相等”是解题
的关键．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C 在
的延长线上，点
C、F 分别为直角顶点，且
，
，若
，则
的度数是（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】A
【分析】由
，利用“两直线平行，内错角相等”可求出
，再利用三角形的外角性质，
即可求出
的度数．
【详解】解：∵
，∴
．
∵
是
的外角，∴
．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含
角的直角三角板的直角顶点在另
一个三角板的斜边上，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意得：
，
，
，
，
．故选：D．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
例4．（2023 春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，
，一副直角三角板
和
如图摆放，
，
，若
，则下列结论：①
；②
；③
；
④
平分
，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】如图，由题意得：
，根据平行线的性质求出
，进而可求出
，即可判断③④；根据三角形的内角和定理、
平行线的性质和角的和差求出
，即可判断①；求出
，进而可判断②．
【详解】解：如图，由题意得：
，∵
，∴
，
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∵
， ∴
，
∴
，
，故结论③错误；
∵
，∴
，∴
平分
，故结论④正确；
∵
，∴
，∴
，故结论①正确；
∵
，∴
，∴
，故结论②正确；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握
三角形的相关知识和平行线的判定和性质是解题的关键．
例5．（2023 春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1 摆放，
，
，
，点
在
上，点
在
上，且
平分
，现将三角板
绕点
以每秒
的速度顺
时针旋转（当点
落在射线
上时停止旋转），设旋转时间为秒．
(1)当
______秒时，
；当
______秒时，
；
(2)在旋转过程中，
与
的交点记为
，如图2，若
有两个内角相等，求的值；
(3)当边
与边
、
分别交于点
、
时，如图3，连接
，设
，
，
，试问
是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)当为6 或15 或24 时，
有两个内角相等
(3)是定值，
，理由见解析
【分析】（1）由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间；
（2）画出图形，分类讨论，①
；②
；③
，求出旋转角，再求出
值；（3）找出与
，
，
，有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论．
【详解】（1）如图，当
时，
淘宝：学思创想
平分
，
，
，
又
为
的一个外角，
，
；
如图，当
时，
，
，
，
，
．故答案为：3；
21．
（2）①如图，当
时，
，
，
；
②如图，当
时，
，
，
，
；
③如图，当
时，
，
，
综上所述：当为6 或15 或24 时，
有两个内角相等．
（3）
是为定值105，理由如下：
是
的一个外角，
是
的一个外角，
，
，
又
，
，
，
，
．
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【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求
等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系
是关键．
课后专项训练
1．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，
的度数为（ ）
A．540°
B．500°
C．460°
D．420°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得
，根据平角的定义和四边形内角和可得
，同理可得
，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵
，∴
，
∵
，
，∴
∵
∴
，
淘宝：学思创想
同理可得：
，∴
，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于
是解题的关键．
2．（2023 春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形
中，
，若沿图中虚线剪去
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】运用内外角之间的关系可得
．
【详解】解：∵三角形的内角和等于
，∴可得
和
的邻补角之和等于
，
∴
，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于
,解题的关键是理解题意，掌握
这些知识点．
3．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF 放置在锐角△ABC 上，使得该三角
板的两条直角边DE、DF 恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD 的值为( )
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，进而可求出∠ABD＋
∠ACD 的度数．
【详解】解：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB＝120°，
在△DBC 中，∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°
90°
﹣
＝90°，
淘宝：学思创想
∴∠ABD+∠ACD＝120°
90°
﹣
＝30°．故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．
4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在
中，
，若沿图中虚线剪去
，则
的度数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用四边形内角和为
和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵在
中，
，∴
，
∵
，∴
故选：A．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为
和直角
三角形的性质求解．
5．（2022 秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中
，
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出
，
，
由
，求出
，再由外角和是
即可求出答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（2023 秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段
组成的平面图形中，
，则
的度数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图标记
，然后利用三角形的外角性质得
，
，再
利用
互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记
，
，
，
，又
，
，
，
，故选C．
淘宝：学思创想
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角
的意义是解答此题的关键．
7．（2022 秋·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由外角定理知，
，将已知角代入求解即可．
【详解】解：如图，
，
，∵
，∴
，故选：
A．
【点睛】本题考查三角形外角定理，观察图形，由角的位置关系导出角之间数量关系是解题的关键．
8．（2023 秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板
与一个直尺按如图所示的方式摆放，若
，
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，得到
，结合
得到
得度数．
【详解】∵
，
，∴
，
∵
，∴
，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，补角，熟练掌握性质是解题的关键．
淘宝：学思创想
9（2022 春·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC 为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+ 2=
∠
°．
（2）如图2，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+ 2=
∠
°．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+ 2
∠与∠A 的关系是 ．
【答案】 270°/270 度 220°/220 度 180°+∠A
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果．
【详解】解：（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
1+ 2=360°-
∴∠
∠
（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+ 2
∠等于270°，故答案为：270°；
（2）∠1+ 2=360°-
∠
（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A =180°+40°=220°，故答案是：220°；
（3）∠1+ 2
∠与∠A 的关系是：∠1+ 2=180°+
∠
∠A；
证明：∠1+ 2=360°-
∠
（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案为：180°+∠A．
【点睛】主要考查了三角形的内角和定理，四边形内角和定理．熟练掌握三角形的内角和定理、四边形内
角和定理是解题的关键．
10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若
，则
．
【答案】
/250 度
【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出
，
，
淘宝：学思创想
，
，再根据
，进行求解即可得出
最后结果．
【详解】解：如图，进行标注，
是
的一个外角，
，
是
的一个外角，
，即
，
是
的一个外角，
，
，
是
的一个外角，
，
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键．
11．（2022 秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知
，
．
【答案】
/240 度
【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】连接
，
，
∴
又
，∴
．故答案为：
．
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【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质
以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
12．（2023 春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板
与三角板
摆放在一起；如图
，其
中
，
，
．固定三角板
，将三角板
绕点
按顺时针方
向旋转，记旋转角
．
(1)在旋转过程中，当
为 度时，
；当
为 度时，
．
(2)当
时，连接
，利用图探究
值的大小变化情况，并说明理由．
【答案】(1)
，
(2)不变，理由见解析
【分析】（1）如图，记
与
的交点为点
，
与
的交点为点
，由
，可得
，再利用角的和差关系可得答案；如图
，记
与
的交点为
，求解
，由角的和差关系可得答案；
（2）如图3，设
分别交
、
于点
、
，在
中，可得
，
结合
，
，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，记
与
的交点为点
，
与
的交点为点
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，即
，
如图
，记
与
的交点为
，
，
，
，
，即
，
（2）当
，
，保持不变，理由如下：
如图3，设
分别交
、
于点
、
，在
中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质的应用，熟练的利
用旋转的性质与三角形的外角的性质解题是关键．
13．（2023 春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．
他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1 中，
的度数是______．(2)①求图1 中
的度数；②
图2 中，
，求
的度数．
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【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）由三角板可知
，
，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）①由三角板可知
，
，然后利用三角形外角的性质求解即可；
②由三角板可知
，然后根据平行线的性质得出
的度数，再利用三角形外角的性质求解即
可．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，故答案为：
；
（2）解：①∵
，
，∴
；
②∵
，
，∴
，
又∵
，∴
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和是解题的关键．
14．（2022 秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，
把直角三角板放置在锐角
上，三角板
的两边
、
恰好分别经过
、
．
(1)若
，则
______ ，
______ ，
______
(2)若
，则
______ ．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下
与
所满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)140，90，50；(2)35，过程见解析；(3)
，理由见解析．
【分析】（1）在
中，由
和三角形内角和定理求得
，在
中，由
淘宝：学思创想
及三角形内角和定理求得
，即可求得
；
（2）按照（1）的过程即可得到答案；
（3）在
中，
．在
中，
，利用
，即可得到答案．
【详解】（1）在
中，
，
，
在
中，
，
，
；故答案为：140，90，50．
（2）在
中，
，
，
在
中，
，
，
，故答案为：35；
（3）
与
之间的数量关系为：
．
理由如下：在
中，
．在
中，
．
，
．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
15．（2023·福建南平·八年级统考期末）结论：直角三角形中，
的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
如图①，我们用几何语言表示如下：
∵在
中，
，
，∴
.
你可以利用以上这一结论解决以下问题：
如图②，在
中，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
（1）求
的面积；（2）如图③，射线
平分
，点
从点
出发，以每秒1 个单位的速度沿
着射线
的方向运动，过点
分别作
于
，
于
，
于
.设点
的运动时间
为秒，当
时，求的值.
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）过点C 作CH AB
⊥
于点H，则∠CAH=90°，即可求出∠ACH=30°，求出AH，根据勾股定理即可
求解；（2）分两种情况讨论①当点P 在△ABC 内部时②当点P 在△ABC 外部时，连结PB、PC，利用面积法
进行求解即可.
【详解】（1）过点C 作CH AB
⊥
于点H，则∠CAH=90°，如图②
∵
ACH=30°
∴
∴
∠
∴
∴
（2）分两种情况讨论
①当点P 在△ABC 内部时，如图③所示，连结PB、PC.
淘宝：学思创想
设PE=PF=PG=x∵
∴
∴
AM
∵
平分∠BAC，∴
，∴
，
∴
∴
②当点P 在△ABC 外部时，如图④所示，连结PB、PC.
设PE=PF=PG=x，∵
∴
，解得
由①知，
，
又
，∴
，∴
∴
∴当PE=PF=PG 时，
或
【点睛】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质，掌握勾股定理及三角形的面积法是关键.
16．（2022·广东云浮·九年级校考期中）把一副三角板按如图甲放置，其中
，
，
，斜边
，
．把三角板
绕点
顺时针旋转
得到
（如
淘宝：学思创想
图乙）．这时
与
相交于点
、与
相交于点
．
(1)写出
度；(2)线段
的长为
；(3)若把
绕着点
顺时针旋转
得
，
这时点
在
的内部、外部、还是边上？说明理由．
【答案】(1)
(2) (3)内部，理由见详解
【分析】（1）根据旋转角度，可算出
，在
中，可算出
，根据
是
的外角，由此即可求解；（2）根据（1）可知
垂直平分
，
，
，可算出
，
的长度，在
中，由勾股定理即可求解；（3）
绕着点
顺时针旋转
得
，
设直线
与
相交于
，在
中求出
的长，在
中算出
的长，进行比较即可求
解．
【详解】（1）解：∵旋转角为
，∴
，
∴
，∴
，
在
中，
．
（2）解：由（1）可知，
，且
，
∴
平分
，
，∴
，
在
中，由勾股定理得，
．
淘宝：学思创想
（3）解：如图所示，点
在
的内部．
理由如下：如图所示，
设直线
与
相交于
，∵
绕着点
顺时针旋转
，∴
，且
，
∴
是等腰直角三角形，且
，
，∴
，
，
∵
，∴
，即
，∴点
在
的内部．
【点睛】本题主要考查特殊角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质，特殊角的
直角三角形的性质是解题的关键．
17．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD 相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE 平分∠ABD 交CD 于F，CE 平分∠ACD 交AB 于G，求∠BEC 的度数；
(2) 若直线BM 平分∠ABD 交CD 于F，CM 平分∠DCH 交直线BF 于M，求∠BMC 的度数．
【答案】（1）47°；（2）43°
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出
，由平分线的定义可得出
、
，再结合三角形内角和定理即可得出
，代入
度数
即可得出结论；（2）由邻补角互补结合角平分线可得出
，根据三角形外角性质结合
淘宝：学思创想
（1）中
即可得出
，再根据三角形内角和定理即可得出
，代入
度数即可得出结论．
【详解】解：（1）
，
，
，
，
，
，
．
平分
交
于
，
平分
交
于
，
，
．
，
，
，
．
（2）
，
平分
交直线
于
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角以及邻补角，解题的关键
是：（1）根据三角形内角和定理找出
；（2）根据三角形内角和定理找出
．
本题属于中档题，难度不大，但重复用到三角形内角和定义稍显繁琐．
18．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板
放置在
上（
点在
内），三角板
的两条直角边
、
恰好分别经过点
和点
．探究
与
是
否存在某种确定的数量关系．
淘宝：学思创想
(1)特殊探究：若
，则
____度，
____度，
____度；
(2)类比探索：请探究
与
的关系；
(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板
的位置，使
点在
外，三角板
的两条直角边
、
仍然分别经过点
和点
，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理
由．
【答案】(1)
；
；
(2)
(3)不成立，
，理由见解析
【分析】（1）已知
，根据三角形内角和定理易求
的度数，已知
，根据三
角形内角和定理易求
的度数，进而得到
的度数；
（2）由（1）中
的度数，
的度数，相减即可得到
与
的关系；
（3）由于在
中，
，在
中，
，相减即可得到结
论．
【详解】（1）解：∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
．故答案为：
；
；
．
（2）
与
的关系为：
，
理由如下：由（1）得：
，
∵
，∴
，
∴
．
∴
．
（3）不成立，存在
，
理由如下：在
中，
，
在
中，∵
，∴
，
∴
，
淘宝：学思创想
∴
，
∴
．∴（2）中的结论不成立．
【点睛】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于
．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出
，
的度数．
19．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在
中，
，直线
分别交
的边
、
和
的延长线于点D、E、F．
(1)若
，则
．(2)
、
、
有什么数量关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
，理由见解析
【分析】（1）在
中利用三角形内角和求出
，再在
中利用三角形内角和即可得出答案；
（2）在
中利用三角形内角和表示出
，再在
中利用三角形内角和即可得出答案.
【详解】（1）∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
．故答案为：
；
（2）
，
理由：∵
，∴
，∵
∴
，
∵
，∴
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形三个内角的和等于
．
20．（2023·山东青岛·八年级校联考期末）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P 的度数为
；
探索三：如图3，CP、AG 分别平分∠BCE、∠FAD，AG 反向延长线交CP 于点P，则∠P、∠B、∠D 之间
的数量关系为
．
【模型应用】应用一：如图4，在四边形MNCB 中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角
∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线BP，CP 相交于点P．则∠A＝
（用含有α 和β 的代数式表示），
淘宝：学思创想
∠P＝
．（用含有α 和β 的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB 中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC 与外角
∠NCD 的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝
．（用含有α 和β 的代数式表示）
【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝
∠CAB，∠CDP＝
∠CDB，试问∠P 与
∠C、∠B 之间的数量关系为
．（用x、y 表示∠P）
拓展二：如图7，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE，猜想∠P 与∠B、∠D 的关系，直接写
出结论
．
【答案】∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝
；α+β
180°
﹣
，∠P＝
；
；∠P
＝
；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝
∠B+∠D，再代入计算可求解；探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β
180°
﹣
，再运用角平分
线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T 是CB 的延长线上一点，R 是BC 延长线上一点，利用应
用一的结论即可求得答案；
淘宝：学思创想
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝
∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】解：探索一：如图1，
∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，∵AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案为25°；
探索三：由①∠D+2 1
∠＝∠B+2 3
∠，由②2∠B+2 3
∠＝2∠P+2 1
∠，
①+②得：∠D+2∠B+2 1+2 3
∠
∠＝∠B+2 3+2
∠
∠P+2 1
∠
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝
．故答案为：∠P＝
．
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β
180°
﹣
；
∵BP、CP 分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝
∠ABC，∠PCD＝
∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝
（∠ACD﹣∠ABC）＝
∠A＝
，
故答案为：α+β
180°
﹣
，
；
应用二：如图5，
淘宝：学思创想
延长MB、NC，交于点A，设T 是CB 的延长线上一点，R 是BC 延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP 平分∠MBC，CP 平分∠NCR，∴BP 平分∠ABT，CP 平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝
∠A＝
，故答案为：
；
拓展一：如图6，
由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝
∠CAB，∠CDP＝
∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝
∠CAB，∠PDB＝
∠CDB，
∴∠P+
∠CAB＝∠B+
∠CDB，∠P+
∠CDB＝∠C+
∠CAB，
2
∴∠P＝∠C+∠B+
（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+
（x﹣y）＝
，
∴∠P＝
，故答案为：∠P＝
；
拓展二：如图7，
∵AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE，∴∠PAD＝
∠BAD，∠PCD＝90°+
∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
淘宝：学思创想
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点睛】本题是探究性题目，考查了三角形的相关计算、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角
的性质等，此类题目遵循题目顺序，结合相关性质和定理，逐步证明求解即可．
淘宝：学思创想
