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专题02 函数概念与基本初等函数
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点1 函数概
念与单调性
2024 全国卷
2023 2021 全国卷 2020 全国卷
函数的周期性单调性与奇偶性的
综合应用是高考的重难点方向，
特别是新高考新题型以后，它们
与抽象函数的结合将是未来一个
重要方向
考点2 函数周
期性与奇偶性
应用
2023
T4
Ⅱ
乙卷T5 甲卷T14
2022 全国乙卷T16
2021 乙卷T9
T13
Ⅰ
考点3 函数图
像应用
2022 全国乙卷T8
2022 全国甲卷T5
图像的识别及应用逐渐淡化
考点4 函数性
质综合应用
2023
T11
Ⅰ
2022 乙T12
T12
T8
Ⅰ
Ⅱ
2021 甲T12
T8 T14
Ⅱ
函数的综合因应用作为压轴题，
一般会是同构，构造函数比较大
小，函数的综合性质应用化工等
考点01 函数概念与单调性
1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
1
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【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
3．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断
选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出
不符合题意，
符合题意．
【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合
题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
2
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对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，
为
上的减函数，不合题意，舍.
对于B，
为
上的减函数，不合题意，舍.
对于C，
在
为减函数，不合题意，舍.
对于D，
为
上的增函数，符合题意，
故选：D.
5．（2020·海南·高考真题）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出
的定义域，然后求出
的单调递增区间即可.
【详解】由
得
或
所以
的定义域为
因为
在
上单调递增
所以
在
上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
6．（2020·全国·统考高考真题）设函数
,则
（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
3
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【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为
，利用定义可得出函数
为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数
定义域为
，其关于原点对称，而
，
所以函数
为奇函数．
又因为函数
在
上单调递增，在
上单调递增，
而
在
上单调递减，在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
考点02 函数周期性与奇偶性应用
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故
A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，函数定义域为
，不关于原点对称， 则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，因为
，
，
则
，则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
4
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A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
值，再检验即可.
【详解】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
故选：B.
3．（2020·全国·统考高考真题）设函数
，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在
单调递增
B．是奇函数，且在
单调递减
C．是偶函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出
为奇函数，排除AC；当
时，利用函数单调性的性质
可判断出
单调递增，排除B；当
时，利用复合函数单调性可判断出
单调递减，从而
得到结果.
【详解】由
得
定义域为
，关于坐标原点对称，
又
，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
上单调递增，排除B；
5
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当
时，
，
在
上单调递减，
在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：
在
上单调递减，D 正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根
据
与
的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的
性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
4．（2019·全国·高考真题）设
是定义域为
的偶函数，且在
单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把
，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
是R 的偶函数，
．
，
又
在(0，+∞)单调递减，
∴
，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
6
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A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到
，从而得到
，
，然后根据条件得到
的值，再由题意得到
从而得到
的值
即可求解.
【详解】因为
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
所以
，
.
因为
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
联立得，
，
所以
的图像关于点
中心对称，因为函数
的定义域为R，
所以
因为
，所以
.
7
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所以
.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
的定义域为R，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数
的一个周期为，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为
，令
可得，
，所以
，令
可
得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
，故
，即
，所以函数
的一个周期为．因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由
，联想到余弦函数和差化积公式
，可设
，则由方法一中
知
，
解得
，取
，
所以
，则
，所以
8
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符合条件，因此
的周期
，
，且
，所以
，
由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
8．（2021·全国·统考高考真题）设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得
，
对于A，
不是奇函数；
对于B，
是奇函数；
对于C，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，
，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
9．（2021·全国·高考真题）设
是定义域为R 的奇函数，且
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得：
，
而
，
故
.故选：C.
二、填空题
10．（2023·全国·统考高考真题）若
为偶函数，则
________．
9
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【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
11．（2021·全国·统考高考真题）已知函数
是偶函数，则
______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数
的值.
【详解】因为
，故
，
因为
为偶函数，故
，
时
，整理得到
，
故
，故答案为：1
考点03 函数图像应用
一、单选题
1．（2024·全国·高考甲卷文）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
10
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C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入
可得
，可排除D.
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.故选：A.
11
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3．（2022·全国·统考高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.故选：A.
4．（2020·全国·统考高考真题）设函数
在
的图像大致如下图，则f(x)的最小正周
期为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【详解】由图可得：函数图象过点
，
将它代入函数
可得：
又
是函数
图象与
轴负半轴的第一个交点，
所以
，解得：
所以函数
的最小正周期为
故选：C
考点04 函数性质综合应用
一、单选题
1．（2024·全国·高考Ⅱ卷）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可
得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
13
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综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；故选：D.
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
14
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则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.故选：C.
3．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故A 正确，B 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误，
故选：B.
4．（2024·天津·高考真题）若
，则
的大小关系为（ ）
15
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为
在
上递增，且
，
所以
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，所以
，即
，所以
，故选：
B
5．（2024·上海·高考真题）已知函数
的定义域为R，定义集合
，在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是严格增函数
D．存在
在
处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数
即可判断.
【详解】对于A，若存在
是偶函数, 取
,
则对于任意
, 而
, 矛盾, 故 A 错误；
对于B，可构造函数
满足集合
，
当
时，则
，当
时，
，当
时，
，
则该函数
的最大值是
，则B 正确；
对C，假设存在
，使得
严格递增，则
，与已知
矛盾，则C 错误；
对D，假设存在
，使得
在
处取极小值，则在
的左侧附近存在
，使得
，
这与已知集合
的定义矛盾，故D 错误；
故选：B.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
的定义域为R，且
，
则
（ ）
16
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A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数
的一个周期为，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为
，令
可得，
，所以
，令
可
得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
，故
，即
，所以函数
的一个周期为．因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由
，联想到余弦函数和差化积公式
，可设
，则由方法一中
知
，
解得
，取
，
所以
，则
，所以
符合条件，因此
的周期
，
，且
，所以
，
由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关于直线
对称，
，则
17
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
所以
，
.
因为
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
联立得，
，
所以
的图像关于点
中心对称，因为函数
的定义域为R，
所以
因为
，所以
.
所以
.
8．（2021·全国·统考高考真题）设
，若
为函数
的极大值点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对
进行分
类讨论，画出
图象，即可得到
所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若
，则
为单调函数，无极值点，不符合题意，故
.
有
和
两个不同零点，且在
左右附近是不变号，在
左右附近是变号的.依题意，
为函数
的极大值点，
在
左右附近都是小于零的.
当
时，由
，
，画出
的图象如下图所示：
18
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由图可知
，
，故
.
当
时，由
时，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
.
综上所述，
成立.故选：D
9．（2021·全国·高考真题）设
是定义域为R 的奇函数，且
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得
的值.
【详解】由题意可得：
，
而
，故
.故选：C.
10．（2021·全国·统考高考真题）设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
19
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【分析】通过
是奇函数和
是偶函数条件，可以确定出函数解析式
，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为
是奇函数，所以
①；
因为
是偶函数，所以
②．
令
，由①得：
，由②得：
，
因为
，所以
，
令
，由①得：
，所以
．
思路一：从定义入手．
所以
．
[方法二]：
因为
是奇函数，所以
①；
因为
是偶函数，所以
②．
令
，由①得：
，由②得：
，
因为
，所以
，
令
，由①得：
，所以
．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数
的周期
．
所以
．
故选：D．
11．（2021·全国·统考高考真题）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】推导出函数
是以
为周期的周期函数，由已知条件得出
，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数
为偶函数，则
，可得
，
因为函数
为奇函数，则
，所以，
，
所以，
，即
，
故函数
是以
为周期的周期函数，
因为函数
为奇函数，则
，
故
，其它三个选项未知.
故选：B.
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