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专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.................................2
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型......3
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型.....................................4
三、专项训练...........................................................................................................5
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求
的定义域
第二步：求
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于
进行求导得到
，对
初步处理（如通分），提出
的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为
的有效部分（如：
，则记
为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定
的正负.
第四步：确定导函数有效部分
的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分
的图象辅助解题：
①令
，确定其零点
，并在
轴上标出
②观察
的单调性，
③根据①②画出草图
2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1
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借助导函数有效部分
的图象辅助解题：
①对
因式分解，令
，确定其零点
，
并在
轴上标出这两个零点
②观察
的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对
，求
②分类讨论
③对于
，利用求根公式求
的两根
，
④判断两根
，
是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出
草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0 开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
，讨论
的单调性.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，讨论
的单调性.
3．（2023 上·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数
，
(1)当
时，求
的最值；
(2)求
的单调区间．
2
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4．（2022 上·湖南邵阳·高二统考期末）设函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
，求
；
(2)求函数
的单调区间．
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
，
，讨论
的单调区间.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，讨论
的单调性．
3．（2023·全国·高三专题练习）讨论
的单调性．
4．（2023·全国·模拟预测）已知
.
(1)讨论函数
的单调性.
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
3
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题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（2023 上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
2．（2023 下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知函数
，其中
.
(1)令
，讨论
的单调性；
3．（2023 上·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
3．（2023 上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
4
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三、专项训练
1．（2024 上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数
，
其中a 是正数．
(1)讨论
的单调性；
2．（2023 上·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知
，
，其中是自然对数的底数.
(1)若
在
处取得极值，求
的值；
(2)讨论
的单调区间；
3．（2023 上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数
，其中
是自然对数的底数.
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性，并写出相应的单调区间.
4．（2023 上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知函数
，其中
．
(1)若
是函数
的极值点，求a 的值；
(2)若
，讨论函数
的单调性．
5
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5．（2023 上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
6．（2023 上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数
，其中
.
(1)讨论函数
的单调区间；
7．（2023 上·河南·高三西平县高级中学校联考阶段练习）设函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
8．（2023 上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数
，
为
的导函数．
(1)当
时，讨论函数
的单调性
6
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9．（2023 上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知函数
(1)求函数
的单调区间；
10．（2023 下·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数
．
(1)求函数的单调区间；
7
