文档文本内容
重难点专训04 导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二
次同构问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题型一：直接变形同构........................................................................................................................................3
题型二：加法同构................................................................................................................................................6
题型三：乘法同构................................................................................................................................................9
题型四：双元同构..............................................................................................................................................12
题型五：朗博同构..............................................................................................................................................14
题型六：利用同构比较大小..............................................................................................................................18
题型七：利用同构证明不等式..........................................................................................................................20
题型八：利用同构解决恒成立问题..................................................................................................................24
题型九：利用同构解决零点之间的关系..........................................................................................................26
重难专题分层过关练..........................................................................................................................31
巩固过关...............................................................................................................................................................31
创新提升...............................................................................................................................................................38
1、同构法：
把一个等式或不等式通
形，使左右两
构、形式完全相同，构造函数，利用函数的
性
行
过变
边结
单调
进
处
理，找到
个函数模型的方法就是同构法
这
.同构法主要解决含有指数、
数混合的等式或不等式
对
问题.
2、指对同构的常用形式
(1)积型：
，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：
，构造函数
；
②同右构造形式：
，构造函数
；
③取对构造形式：
，构造函数
(2)商型：
，
一般有三种同构方式：
①同左构造形式：
，
构造函数
；
②同右构造形式：
，
构造函数
；
③取对构造形式：
，构造函数
.
(3)和、差型：
，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：
，构造函数
；
②同右构造形式：
，构造函数
.
3、六大超越函数及其图象
4、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘
同构，如
；
（2）加法同构，即加
同构，如
，
（3）两种构法的区别：
①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数
与
易实现，但构造的函数
与
均不是单调函
数；
②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范
围；
题型一：直接变形同构
典例1-1．（多选）已知实数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】由题意可得
，
则由
，得
.
对于A：设
，
，
则在区间
上，
，
为增函数，
所以由题意可得
，所以
，故A 正确；
对于B：由
，得
,故B 错误；
对于C：由A 可知
在区间
上为增函数，
且
，则
，即
,
则
,
由
,得
,
令
,则
,
所以
在
上单调递增,
所以
,
所以
,故C 错误；
对于D：又
,
令
,
则
,
所以
在
上单调递增,所以
，
所以
,
又
，且
,
令
，
根据对勾函数的性质可得
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
所以
，
综上可得
，故D 正确；
故选:AD.
【点睛】关键点睛：
本题关键点在于构造函数
，利用导数求其单调性，从而可得
.
典例1-2．已知实数
满足
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：由题知
，
所以
，
所以
令
，则
，
因为，
恒成立，
所以，
在
上单调递减，
所以，
，即
因为
，
所以
，即
故选：C
变式1-1．
，不等式
恒成立，则正实数
的最大值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】将不等式
变形可得
，
即
，
构造函数
，可得
，
令
，则
，
所以当
时，
，即
在
上单调递减，
当当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
，即
，所以函数
在
上单调递增，
利用单调性并根据
可得
，则有
，
又
，即可得
，即
对
恒成立，因此
即可，
令
，
，则
，
显然当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，因此正实数
的最大值是
.
故选：A.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
变式1-2．已知函数
，
，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
的定义域为
，所以
，
.
.
，
，则
，
又因为
，所以
，
令
，则
，
，当
时，
，
递增，
所以
，则
，
，
，
所以
在区间
递减；在区间
递增，
所以
的最小值为
，即B 选项正确.
故选：B
【点睛】含参数的多变量的题目，结合方法是建立变量、参数之间的关系式，主要方法是观察法，根据已
知条件的结构来进行求解.
题型二：加法同构
典例2-1．已知函数
，若对于任意的
使得不等式
成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，由
可得
，即函数
的定义域为
，
可得
，
即
，
构造函数
，其中
，则
，故函数
在
上单调递增，
所以
，可得
，则
，
即
，其中
，令
，其中
，
则
，当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，
，解得
.
综上，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为
，结合不等式的结
果构造函数
，转化为函数
的单调性以及参变量分离法求解.
典例2-2．若关于x 的不等式
在
上恒成立，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
当
时，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
故
恒成立，不等式成立，
当
时，令
，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
由零点存在性定理得，存在
，使得
，即
，
此时
，
故不合题意，舍去，
综上，
，实数a 的取值范围为
.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式
一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个
函数图像确定条件.
变式2-1．已知
，不等式
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】
.
令
，则易知
在
上单调递增，
，
令
，问题转化为求
在
的最小值.
因为
，当
时，
（当且仅当
时取“
”）.
所以
在
上单调递增，
.
所以
的最大值为.
故选：A
【点睛】方法点睛：先把原不等式转化为
，设辅助函数
，则问题转化
为
，在考虑函数
在
上单调递增，所以可得：
，至此，
达到分离参数的目的.
变式2-2．已知函数
，若
对任意的
恒成立，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
令
，则
，所以
在
上单调递增，
又
对任意的
恒成立，，
所以
对任意的
恒成立，
所以
对任意的
恒成立，
令
，
，
则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，则
，即
的取值范围为
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是将不等式同构成
对任意的
恒成立，
结合函数的单调性转化为
对任意的
恒成立.
题型三：乘法同构
典例3-1．若
，都有
，则a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题设
，
，即
，
令
且
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
，此时
，则
，不合题设，
故
，所以
，
而
在
上单调递增，则
，
问题化为
，
在
上恒成立，
令
且
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
所以
，故
.
故选：D
典例3-2．对于
，
恒成立，则正数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
恒成立可得
，即
恒成立，
由
，可得
恒成立，
令
，则
，
由
知
，函数
单调递增，
所以
恒成立，
则
恒成立，即
恒成立，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
，
所以只需
，即
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于转化为
后，能够两边同乘以
，同构出函数
，
再由单调性化简为
恒成立.
变式3-1．若对任意
，满足
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若
，则对任意
，
，
，
，
所以对任意
，不等式
恒成立，
若
，则
，
不等式
可化为
，
故
，即
，
由已知
在
恒成立，
令
，
，则
，
恒成立，
因为
时，
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
，
所以
恒成立，其中
，
，
即
恒成立．
令
，
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
．
综上可得
，
故选：B．
变式3-2．若
时，关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
在
上恒成立，
可得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
设
，则
在
上恒成立，
又
，
所以当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且当
时，
，当
时，
，
当
时，由于
，则
，
此时
，
，满足
在
上恒成立；
当
时，由于
，则
，
要使
在
上恒成立，
则需
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，
，则
，
易知当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，则
，又
，所以
综上，实数
的取值范围为
．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将不等式同构成
，再构造函数，结合函数的单调性说明.
题型四：双元同构
典例4-1．若对
都有
成立，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．e
D．2e
【答案】B
【详解】由
，得
，
则
，即
，
有
，令
，
所以
，令
，
所以函数
的增区间为
，减区间为
，
所以当
时，
，
所以
，故a 的取大值为2.
故选：B.
典例4-2．已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】正数
、
满足
，
所以
，即
，因为
，所以
，
利用对数恒等式有
，
令
，
，因为
恒成立.
所以函数
在
上单调递增，
所以
，即
，则
，
构造函数
，则
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
故当
时，
有最小值即
，
所以
的最小值为
.
故选：D.
变式4-1．对于任意
，
，当
时，恒有
成立；则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于任意
，
，当
时，恒有
成立，
即
成立，
令
，∴
，
∴
在
上单调递减，
∴
在
恒成立，∴
在
恒成立，
∵当
，
，∴实数
的取值范围为
，故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，导数和函数的单调性的关系，函数恒成立问题，将题意转化为
在
单调递减是解题的关键，属于中档题.
变式4-2．（多选）是自然对数的底数，
，
，已知
，则下列结论一定正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【详解】构造函数
.则
，
当
时，
；
时，
.
即
在
上单调递减，在
上单调递增.
又由题
.
A 选项，取
，则
，因
在
上单调递增，
则
满足题意，但此时
，故A 错误；
B 选项，若
，
，则
，又由题可知
，
且
在
上单调递增，则
，故B 正确；
C 选项，若
，当
时，
，满足题意；
当
时，构造函数
，注意到当
时，
，又
，则
.
又因
，则
.因
，
在
上单调递增，
则
.综上，若
，则
，故C 正确；
D 选项，取
，则
，又
在
上单调递减，
则
满足题意，但此时
，故D 错误.
故选：BC
【点睛】关键点精：本题涉及证明不等式，常需通过观察找到题目中的相同结构，进而构造出需要的函数，
此外此题作为选择题，找到合适的反例可帮助我们快速解决问题.
题型五：朗博同构
典例5-1．已知函数
，
，当
时，函数
的图象始终在函数
图象的上方，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知，对任意的
，
，即
，即
，
因为
，故
，故
，
令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，所以
，
由题意可得
恒成立，
当
时，显然该不等式成立，此时，
；
当
时，则
，令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，
；
当
时，则
，令
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，则
.
综上所述，
，即实数
的取值范围是
.
故选：D.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
典例5-2．函数
在定义域内是增函数，则实数a 的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知：
的定义域为
，
，
且
，
若
在定义域内是增函数，则
在定义域
上恒成立，
可得
，
构建
，则
，
因为
在定义域
上单调递增，
可知
在定义域
上单调递增，可得
，即
，
构建
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，则
，
可得
，所以实数a 的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
1.分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
2.函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
变式5-1．已知对于
，都有
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】不等式
可转化为
因为
，所以
设
，则
，
在
上单调递增，
又
，所以
又
，所以
对
恒成立，即
令
，则
由
得
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，
所以
则
故选：D.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
变式5-2．若不等式
对任意的
恒成立，则实数m 的最大值为 .
【答案】
/
【详解】因为
，则
，整理得
，
令
，可得
，即
，
令
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，且
，
可知
有且仅有两个零点
，
若
，则
或
，
对于
可知，当x 趋近于
时，
趋近于0，故
不合题意；
所以
，即
，整理得
对任意的
恒成立，
令
，则
，
且
，令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
可得
，结合
解得
，
所以实数m 的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：第一步同构将原式整理得
，把
看成整体处理求其取值范围；
第二步根据题意分析可得
，整理得
对任意的
恒成立，结合恒成立问题分
析求解.
题型六：利用同构比较大小
典例6-1．设
，
，
，则
，
，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
故构造函数
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
又因为
，
，
所以
，
．
因为
，又
，
所以
，即
，故
，
故选：A．
典例6-2．已知
，
，
，则
，
，的大小顺序是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，
，
构造函数
，其导函数
，
令
，解得：
，列表得：
+
0
-
极大值
所以
在
上单增.
因为
，所以
，即
故选:D.
变式6-1．已知
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设函数
，
，当
，此时
单调递增，当
，此时
单调递减，由题
，
，
，得
，因为
，所以
，则
，且
，所以
.
故选：A.
【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函
数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.
变式6-2．已知
，
，
，则把
、
、从小到大排列的顺序是
.
【答案】
【详解】设
，则
，
时，
，
单调递减，
所以
，即
，
，
设
，则
，
时，
，
单调递减，
因此
，即
，
，
综上，
，
故答案为：
．
【点睛】方法点睛：在比较复杂的指数、对数或其它一些值的大小时，如果不能直接利用已知指数函数、
对数函数、三角函数等的单调性比较时，可观察已知数值的形式，想象通过一些函数使用它们之间具有相
似的性质，如本题中
，通过函数
联系，
骑过函数
联系．
题型七：利用同构证明不等式
典例7-1．设
，
，证明：
；
【答案】证明见解析
【详解】证明：令
，
则
，
则
恒成立，所以
在
上单调递增，
又
，
所以存在
使得
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
即
.
典例7-2．已知函数
.
(1)若
，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)讨论
在区间
上的单调性；
(3)设
是两个不相等的正数，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，则
，
而
，则
，
所以函数
的图象在
处的切线方程为
，即
.
（2）由
，
，
则
，
当
时，
，
则函数
在
上单调递减；
当
时，令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）证明：由题意，
，
要证
，即证
，
即证
，
由
，只需证：
.
不妨设
，则有：
；
两边取指数得
，化简得
，
设
，
，则
，
而
，
令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
要使
且
，则
，从而
，
要证
，只需证：
，
由于
在
上单调递增，只需证：
，
又
，只需证：
，
只需证：
，即证
，
设
，则
，
设
，
，则
，
则
在
上单调递增，所以
，
从而
，所以
在
上单调递减，
从而
，则
，
所以
.
变式7-1．已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两根，求a 的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意有
．
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，令
，得
，
单调递增；
令
，得
，
单调递减．
综上所述，当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
单调递减，在
单调递增．
（2）由（1）知，当
时，
在
单调递减，所以方程
最多一根，故
．
因为当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
又因为
，
，且
，
，
故要使方程
有两根，则
，
即
，得
，故a 的取值范围为
．
（3）法一：要证
，即
，
令
，则只需证
，当
时，
，上式显然成立；
现证当
时上式成立：
由（1）知，
，取
，即得
，
取
，即可得
，即得证．
法二：要证
，即
，
令
，则只需证
，令
，
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
由（1）知，
，则
，
故
，即
，得证，
变式7-2．设函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
【答案】(1)
在
和
上单调递减，在
上单调递增.
(2)证明见解析.
【详解】（1）由函数
可得
令
，解得
或
.
当
时，
；当
时，
；
当
时，
.
故
在
和
上单调递减，在
上单调递增.
（2）
=
当
时，
，
要证
，即证
>
.
设
则
当
时，
则
在
上单调递增，
因为
当
时，
，
，
故只需证明
.
令
，
则
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
故
，
则
在
上成立，
故
，即
成立.
题型八：利用同构解决恒成立问题
典例8-1．若
，不等式
恒成立（其中是自然对数的底数），则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知：
，
，
即
，
构造函数
，其中
，则
，
所以函数
在
上为增函数，
又
，所以
，其中
，
令
，则
，
当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减，
所以
，即
，故实数
的最小值为
．
故选：A
典例8-2．已知实数
，
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得
，
设
，则
，
故
，即
，
令
，则
，
当
时，
，
在
单调递增；
当
，
，
在
单调递减.
所以
，所以
，
令
，则
，
当
，
，
在
单调递增；
当
，
，
在
单调递减.
故
，所以
.
由题意可知若
，则
，故
，
，
此时
且
，解得
，故
.
故选：A.
变式8-1．（多选）若不等式
恒成立，则实数a 的取值可能是（ ）
A．
B．
C．2
D．e
【答案】AB
【详解】由
可得
，
进而得
，
记
，
,由于函数
为
上的单调递增函数，
由
可得
，
因此
，即
在
恒成立。
因此
，故AB 均符合，CD 不符合，
故选：AB
变式8-2．已知函数
.关于
的不等式
在
上
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】
【详解】不等式
，
求导得
，令
，
令
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
，
则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
，符合题意；
当
时，
，令
，
求导得
，令
，
求导得
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，
，
函数
在
上单调递增，
，此时
，使得
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
，不符题意，
所以
.
题型九：利用同构解决零点之间的关系
典例9-1．已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求
；
(2)是否存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；理由见解析
【详解】（1）由题意可得
，
．
①若
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
即
无最小值；
②若
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以
在
处取得最小值
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得最小值
，
又
与
有相同的最小值，
所以
，
，
设
，
，则
，
令
，则
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以
在
处取得最小值
，则当
时，
恒成立，
单调递增．
又
，所以
．
（2）由（1）得
，
，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
所以
和
的图象在
上有唯一交点，且交点的纵坐标大于1，
由函数的单调性及图象可得存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，
当直线
与曲线
和
共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为
，且
，
则
，
因为
，
，
所以
，
由
图象可知
无解，
所以
，
，所以
，
，
则
，
，
上述两式相减得
，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论.
变式9-1．已知函数
和
有相同的最小值.
(1)求
；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
，令
得
，
，令
得
.
当
时，
在
单调递减，在
单调递增，所以
在
单调递减，在
单调递增，所以
，
由
，得
.
当
时，
在
单调递增，在
单调递减，无最小值，不合题意.
综上所述，
.
（2）由（1）知，
在
单调递减，在
单调递增，
在
单调递减，在
单调递
增，
，则直线
与
、
最多有4 个交点.
当
时，令
，则
在
上单调递增，当
时，
，
，则
在
上有唯一的零点
，即存在
，使得
，
取
满足题意，使得直线
与
、
恰有三个交点，
分别记为
，
，
，不妨设
，由
得
，即
.
要证
，即证
，
而
，即
.
由
得
，即
，
又
，
，
，而
在
单调，所以
.
又由
得
，即
，
又
，
，而
在
单调，所以
.
由
，
得
，原命题得证.
【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难
点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由
确定一个交点，其次通过
和
找到交点横坐标之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.
变式9-2．已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若函数
有两个零点
，
，且
，求证：
.
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)证明见解析
【详解】（1）
的定义域为
，当
时，
，
设
，则
，
由
可得
，当
时，
，当
时，
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
的极大值为
，无极小值；
（2）由
可得
，即
.
设
，则
.
由
可得
，当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减.
∴
有极大值
，当
时，
，当
时，
.
要使
有两个零点
，
，需有
，即
.
∵
，由比例的性质可得
，
即
，故
，
设
，由
可得
，
设函数
，则
，
设
，则
，
∴
在
上单调递增，故
，故
，
∴
在
上单调递增，故
，
∴
，故
，故
，即
.
【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出
，建立关系
，
再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.
巩固过关
1．已知
．且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，即
在
上单调递减，
∴
，即
，
设
，则
，
即
在
上单调递增，
又∵
，∴
.
故选：
.
2．（多选）若关于x 的不等式
在
上恒成立，则实数a 的值可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】AB
【详解】依题意，
在
上恒成立，当
时，
，
令
，则
，
，
故当
时，
，当
时，
，
故
，故
，则不等式成立；
当
时，令
，因为
，
，故
在
内必有零点，设为
，则
，
则
，故
，不合题意，舍去；
综上所述，
.
故选：AB.
【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；
适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.
3．已知函数
和
，若存在实数
，使得
，则
的最小值为
（ ）
A．-e
B．-1
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，而
，
故
，又
在定义域上单调递增，则
，
于是
．
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
．
故选：C.
4．若关于x 的不等式
在
上恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题设，显然
，由
，
即
，即
，
设
，
，则
，
而
，则函数
在
上单调递减，所以
，
即
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
，
又
，所以a 的取值范围是
.
故选：B.
5．已知函数
（
），若函数
在区间
内存在零点，求实数a 的取
值范围
【答案】
【详解】由题意可得
在区间
内有
解，
令
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
即
当
等号成立，
所以
，即
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，且当
时
，当
时
，
所以
.
故答案为：
.
6．若实数λ∈R，不等式
>ln x 在（1，+∞）上恒成立，则λ 的取值范围是 .
【答案】
.
【详解】原不等式等价于
，
设
，则
，
又
，所以
在
上单调递增，
则
，即
，
令
，所以
，
当
，
，函数
在
上单调递增，
当
，
，函数
在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
7．三个数
，
，
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，
，
时，
，
在
上单调递减，
又
，
，且
,
．
故选：A
8．已知实数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【详解】 由题意可得
，
设
，则
，
故
，即
，
令
，则
，
当
时，
，
在
单调递增；
当
，
，
在
单调递减.
所以
，
，
令
，则
，
当
，
，
在
单调递减；
当
，
，
在
单调递增.
故
，
.
由题意可知若
，则
，故
，
，
此时
且
，解得
，故
.
故选：A.
【点睛】 方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数
；
(3)利用导数研究
的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题.
9．若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，
，则
，
令
，则
，
则
，令
，解得
，
故当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
故
，
故
在
上单调递增，故只需
，即
，
令
，则
，
故当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
，
在
单调递减，
故
，则
，即
，
故选：C.
10．（多选）e 是自然对数的底数，
，已知
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【详解】原式变形为
，
构造函数
，则
，
∵
，
当
时，
，则
，即
；
当
时，
，则
，即
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
对于A：取
，则
∵
在
上单调递增，故
，
即
满足题意，但
，A 错误；
对于B：若
，则有：
当
，即
时，则
，即
；
当
，即
时，由
在
时单调递增，且
，
故
，则
；
综上所述：
， B 正确；
对于C：若
，则有：
当
，即
时，
显然成立；
当
，即
时，令
，
∵
，当且仅当
，即
时等号成立，
∴当
时，所以
，即
，
由
可得
，即
又∵由
在
时单调递增，且
，
∴
，即
；
综上所述：
，C 正确；
对于D：取
，
，则
，
∵
在
上单调递减，故
，
∴故
，
满足题意，但
，D 错误.
故选：BC.
11．已知关于x 的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】
【详解】由题意，易知
，
而
，
令
，则
，
故
在
上单调递增，
由
，则
在
上恒成立，
记
，则
在
上恒成立，即
，
因为
，所以当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
所以
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
12．已知函数
，
(1)试讨论
在
上的单调性
(2)若
，
求证：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
，因为
，
所以：当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，由
得
若
，即
，当
时，
，则
，
所以
在
上单调递减；
若
，即
，当
，
，
单调递增；
，
，
单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
，
在
上单调递减；
当
，
在
单调递增；在
单调递减；
（2）当
时，
，
要证
，即证
，
又
，且
即证
，
设
，
，
再设
，
，且
，
，使
，即使
，
当
，
，当
，
，且
，
则
，即
，
，
，即
.
创新提升
1．
，
，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，不等式
，可化为
，
又
，所以可化为
.
当
时，不等式
恒成立，
，
当
时，
设
，对
求导，可得
，
这表明
在
上单调递增.
由
，即
，
因为
在
上单调递增，
所以
，由已知
对
恒成立.
设
，对
求导，可得
.
令
，即
，则
，解得
.
当
时，
，
，所以
，
单调递增；
当
时，
，
，所以
，
单调递减.
所以
在
处取得最大值，
.
因为
对
恒成立，所以
，解得
.
故选：A.
2．
，
，
恒成立，则
最小值为 ．
【答案】
【详解】由
，
可得
，
因为
，则
，可得
，故
，故
，
构造函数
，其中
，
则
对任意的
恒成立，
所以函数
在
上为增函数，
由
可得
，故
，
令
，其中
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，则
，故对任意的
时，
恒成立，
此时函数
在
上为减函数，此时
，合乎题意.
综上所述，整数
的最小值为.
故答案为：.
3．已知
对
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，则
.
∵
时，
，
，∴
，故
在
上单调递增.
∵
对
恒成立，∴当
时，
，则有
，
当
时，
可等价变形为
.
∵
在
上单调递增，且
，
（
），
∴由
可得
，即
对
恒成立.
设
，则
.
当
时，
，
，
，故
.
∴
在
上单调递减，
∴当
时，
.
∵
对
恒成立，
∴
，即实数
的取值范围是
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式
等价变形为
，通过构造
函数，最终问题转化为转化为
恒成立问题.
4．已知函数
为自然对数的底数，
的零点分别为
，
，则
的取值范围为 .
【答案】
【详解】由已知
，
即
，
又
，
即
，
令
，
则
，
又函数
是R 上的增函数，
所以
，即
，
因此
，
所以
，
令
，
则
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
时，
，
又因为当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以
的值域为
即
的取值范围为
故答案为：
5．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，
，
则
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）不等式
等价于
，
即
，
设
（
），则
，所以
在
上单调递增，
由
，得
，
则
，即
在
上恒成立，
设
，则
，
令
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即实数
的取值范围为
；
