重难点专题05二次函数的图象与性质（专项训练）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十六章二次函数_题型专练

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重难点专题05 二次函数的图象与性质
重难点一二次函数开口的大小与方向
1.a > 0 开口向上，a < 0 开口向下；
2.|a|数值越大，抛物线开口越窄，比较多个抛物线开口大小只需对比|a|绝对值。
1．下列函数的图象中，与ݕ与͵ ݔെʹ ʹ的函数图象形状一致的是（
）
A．ݕ与͵ݔʹ
B．ݕ与ݔെʹ ʹ ൅ͳ
C．ݕ与ݔെʹ ʹ
D．ݕ与͵ ݔെ͵
【答案】A
【详解】解：由题意得，与ݕ与͵ ݔെʹ ʹ的函数图象形状一致的二次函数的二次项系数的绝对值要为3，
∴四个选项中，只有A 选项中的函数符合题意，
故选：A．
2．抛物线ݕ与ʹݔʹ与ݕ与ݔʹ相比（
）
A．开口更大
B．开口更小
C．开口相同
D．无法比较
【答案】B
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【详解】解：对于抛物线ݕ与ʹݔʹ，二次项系数ܽ
与ʹ，
对于抛物线ݕ与ݔʹ，二次项系数ܽ
与ͳ，
∵ʹ > ͳ ，
∴ݕ与ʹݔʹ的开口比ݕ与ݔʹ的开口更小，
故选：B．
3．顶点是െʹ0 ，开口方向、形状与抛物线ݕ与
ͳ
ʹ ݔʹ相同的抛物线是（
）
A．ݕ与
ͳ
ʹ ሺݔെʹሻʹ
B．ݕ与
ͳ
ʹ ሺݔ൅ʹሻʹ
C．ݕ与െ
ͳ
ʹ ሺݔെʹሻʹ
D．ݕ与െ
ͳ
ʹ ሺݔ൅ʹሻʹ
【答案】B
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式ݕ与ܽ
ሺݔെ݄ሻʹ ൅݇
中，ܽ
决定抛物线的开口方
向和形状，顶点坐标为݄
݇
，根据已知条件确定ܽ
和顶点坐标即可得到解析式．
【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与ݕ与
ͳ
ʹ ݔʹ相同，
∴所求抛物线的二次项系数ܽ
与
ͳ
ʹ，可排除C、D 选项；
∵所求抛物线的顶点为െʹ0 ，代入顶点式ݕ与ܽ
ሺݔെ݄ሻʹ ൅݇（顶点坐标为݄
݇
），
得݄
与െʹ，݇
与0，ܽ
与
ͳ
ʹ，
∴解析式为ݕ与
ͳ
ʹ ሺݔ൅ʹሻʹ．
4．抛物线ݕ与ܽ
ݔʹ ൅ܿ
的顶点坐标是0ʹ ，且形状及开口方向与抛物线ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔʹ相同，则a，c 的值分别
为（
）
A．െ
ͳ
ʹ，2
B．െ
ͳ
ʹ，െʹ
C．
ͳ
ʹ，2
D．
ͳ
ʹ，െʹ
【答案】A
【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a 决定，形状与
开口方向相同的抛物线二次项系数a 相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c．
【详解】∵抛物线ݕ与ܽ
ݔʹ ൅ܿ
的形状及开口方向与ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔʹ相同，
∴ܽ
与െ
ͳ
ʹ，
∵抛物线的顶点坐标是0ʹ ，
∴将ݔ与0，ݕ与ʹ 代入解析式ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔʹ ൅ܿ
得：
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ʹ 与െ
ͳ
ʹ ڄ 0ʹ ൅ܿ，
∴ܿ与ʹ．
5．抛物线ݕ与
ͳ
͵ ݔʹ，ݕ与െʹݔʹ，ݕ与
͵
ʹ ݔʹ的图象开口最大的是（
）
A．ݕ与
ͳ
͵ ݔʹ
B．ݕ与െʹݔʹ
C．ݕ与
͵
ʹ ݔʹ
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线ݕ与ܽ
ݔʹ的开口大小由二次项系数ܽ
的绝对值决定，ܽ
的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果
【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为
ͳ
͵，െʹ，
͵
ʹ，分别计算它们的绝对值得：
|
ͳ
͵ | 与
ͳ
͵，| െʹ| 与ʹ，|
͵
ʹ | 与
͵
ʹ
∵
ͳ
͵ <
͵
ʹ < ʹ，即|
ͳ
͵ | < |
͵
ʹ | < | െʹ|
又∵对于抛物线ݕ与ܽ
ݔʹ，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大，
∴抛物线ݕ与
ͳ
͵ ݔʹ的开口最大，
6．嘉嘉用软件绘制抛物线ݕ与ʹݔʹ时，将“ʹ”按成了“െʹ”，和原图象相比，发生改变的是（
）
A．开口大小
B．开口方向
C．对称轴
D．顶点坐标
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二次函数ݕ与ܽ
ݔʹ中，系数ܽ
决定抛物线的开口方向和大小；ܽ的符号改变时，开口方向改变，但ܽ
不变则
开口大小不变；对称轴和顶点坐标均不变.
【详解】解：∵原函数ݕ与ʹݔʹ，ܽ
与ʹ > 0，开口向上；新函数ݕ与െʹݔʹ，ܽ
与െʹ < 0，开口向下，
∴开口方向改变；
∵ʹ 与െʹ 与ʹ，
∴开口大小不变；
∵对称轴均为ݔ与0，
∴对称轴不变；
∵顶点坐标均为00 ，
∴顶点坐标不变．
故选：B．
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7．函数ݕ与ܽ
ݔ൅晦与ݕ与ܽ
ݔʹ ൅晦്ܽ
0 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点
逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：A、此选项由函数ݕ与ܽ
ݔ൅晦图象可得ܽ
> 0，晦> 0，由ݕ与ܽ
ݔʹ ൅晦്ܽ
0 图象可得ܽ
> 0，
晦> 0，符合题意；
B、此选项由函数ݕ与ܽ
ݔ൅晦图象可得ܽ
> 0，晦< 0，由ݕ与ܽ
ݔʹ ൅晦്ܽ
0 图象可得ܽ
> 0，晦> 0，不符
合题意；
C、此选项由函数ݕ与ܽ
ݔ൅晦图象可得ܽ
> 0，晦< 0，由ݕ与ܽ
ݔʹ ൅晦്ܽ
0 图象可得ܽ
< 0，晦> 0，不符
合题意；
D、此选项由函数ݕ与ܽ
ݔ൅晦图象可得ܽ
> 0，晦> 0，由ݕ与ܽ
ݔʹ ൅晦്ܽ
0 图象可得ܽ
< 0，晦> 0，不符
合题意；
故选：A．
8．如图，①②分别对应ݕ与ܽ
ݔʹ与ݕ与晦ݔʹ的函数图象，则ܽ
，晦的大小关系______．
【答案】ܽ
> 晦
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
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【详解】解：如图：
因为直线ݔ与ͳ 与两条抛物线的交点从上到下依次为ͳܽ
，ͳ晦，
所以ܽ
> 晦．
9．已知抛物线ݕ与ሺ㜳െͷሻݔʹ的开口向下，则实数m 的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】1（填小于5 的实数均可）
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据抛物线开口向下可知㜳െͷ < 0，再选择适合的值即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴㜳െͷ < 0，
解得㜳< ͷ．
∴㜳的值可以是0（答案不唯一）．
10．抛物线ݕ与ܽ
ݔʹ与抛物线ݕ与͵ݔʹ相比开口小，那么ܽ
与________（请写出一个符合条件的a 值）．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线ݕ与ܽ
ݔʹ്ܽ
0 ，其开口大小由二次项系数的绝对值
的大小决定，ܽ
越大，抛物线的开口越小，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线ݕ与ܽ
ݔʹ与ݕ与͵ݔʹ相比开口小，
∴ܽ
> ͵，
∴可取ܽ
与䁪，
故答案为：4（答案不唯一）．
重难点二求顶点坐标与对称轴
1.一般式套公式x 与−
b
ʹa，顶点纵坐标代入䁪ac−bʹ
䁪a
；
2.顶点式直接读出对称轴x 与ℎ、顶点ሺℎkሻ；
3.两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标平均数x 与
xͳ൅xʹ
ʹ 。
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1．抛物线ݕ与ݔെͳ ʹ െʹ 的顶点坐标是（
）
A．െͳെʹ
B．ͳെʹ
C．െͳʹ
D．ͳʹ
【答案】B
【分析】此题考查的是顶点式的顶点坐标，顶点式ݕ与ܽ
ሺݔെ݄ሻʹ ൅݇
的顶点坐标为݄
݇
．根据顶点式直接
判断即可．
【详解】解：抛物线ݕ与ݔെͳ ʹ െʹ 的顶点坐标是ͳെʹ ，
故选：B．
2．抛物线ݕ与ʹ ݔെ͵ ʹ ൅ͳ 的对称轴是直线（
）
A．ݔ与͵
B．ݔ与ʹ
C．ݔ与ͳ
D．ݔ与െ͵
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数ݕ与ܽ
ݔെ݄
ʹ ൅݇
的对称轴为直线ݔ与݄
是解题的
关键．
直接利用二次函数顶点式的性质求解即可．
【详解】解∵ݕ与ʹ ݔെ͵ ʹ ൅ͳ，
∴对称轴为直线ݔ与͵．
故选A．
3．二次函数ݕ与ݔ൅͵ ʹ െͳ 的图象的顶点坐标是（
）
A．͵െͳ
B．െ͵ͳ
C．െ͵െͳ
D．͵ͳ
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式ݕ与ܽ
ݔെ݄
ʹ ൅݇
的顶点坐标为݄
݇
，直接由函数
表达式可得，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵ݕ与ݔ൅͵ ʹ െͳ 与ݔെെ͵
ʹ െͳ，
∴顶点坐标为െ͵െͳ ，
故选：C．
4．k 为任意实数，抛物线ݕ与ܽ
ݔെ݇
ʹ െ്݇ܽ
0 的顶点总在（）
A．直线ݕ与ݔ上
B．直线ݕ与െݔ上
C．x 轴上
D．y 轴上
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法和一次函数的性质是解题的关键．
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求出抛物线的顶点为݇
െ݇
，可以得到顶点在ݕ与െݔ直线上．
【详解】解：∵抛物线解析式为ݕ与ܽ
ݔെ݇
ʹ െ്݇ܽ
0 ，
∴顶点坐标为݇
െ݇
，
∵݇
为任意实数，
∴顶点坐标满足ݕ与െݔ，
∴顶点总在直线ݕ与െݔ上．
故选：B
5．抛物线ݕ与ʹ ݔെ͵ ʹ െʹ 的顶点坐标是_____．
【答案】͵െʹ
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，该抛物线解析式已为顶点形式，可直接根据顶点式写出顶点坐
标．
【详解】解：抛物线ݕ与ʹ ݔെ͵ ʹ െʹ 的顶点坐标是͵െʹ ．
故答案为：͵െʹ ．
6．抛物线ݕ与ݔʹ െʹݔ൅䁪的对称轴为直线ݔ与________．
【答案】1
【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴．
【详解】解：ݕ与ݔʹ െʹݔ൅䁪与ݔെͳ ʹ ൅͵，
׵ 抛物线ݕ与ݔʹ െʹݔ൅䁪的对称轴为直线ݔ与ͳ．
重难点三比较函数值的大小
1.先确定对称轴，a > 0 对称轴左侧递减、右侧递增，a < 0 相反；
2.给定自变量区间时，先判断对称轴是否落在区间内，再分段描述增减；
3.比较函数值不用计算，结合增减性直接判断大小。
1．若点ܣʹݕͳ 和点ܤ͵ݕʹ 都在抛物线ݕ与െݔʹ上，则ݕͳ和ݕʹ的大小关系是（
）
A．ݕͳ > ݕʹ
B．ݕͳ 与ݕʹ
C．ݕͳ < ݕʹ
D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵抛物线ݕ与െݔʹ的二次项系数为െͳ < 0，
∴抛物线开口向下，对称轴为ݕ轴，
∴当ݔ> 0 时，ݕ随ݔ的增大而减小，
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∵0 < ʹ < ͵，
∴ݕͳ > ݕʹ．
2．二次函数ݕ与ʹݔʹ的图象上有三个点ܣͳݕͳ ，ܤʹݕʹ ，ܥ͵ݕ͵ ，则ݕͳ、ݕʹ、ݕ͵的大小关系为（
）
A．ݕͳ > ݕʹ > ݕ͵
B．ݕͳ > ݕ͵ > ݕʹ
C．ݕʹ > ݕͳ > ݕ͵
D．ݕ͵ > ݕʹ > ݕͳ
【答案】D
【详解】解：∵二次函数ݕ与ʹݔʹ中，ܽ
与ʹ > 0，
∴抛物线开口向上，对称轴为ݕ轴，
∴当ݔ> 0 时，ݕ随ݔ的增大而增大，
∵点ܣ、ܤ、ܥ的横坐标满足ͳ < ʹ < ͵，都在对称轴右侧，
∴ݕ͵ > ݕʹ > ݕͳ．
3．已知点ܣݔͳ，ݕͳ ，ܤݔʹ，ݕʹ ，ܥݔ͵，ݕ͵ 都在抛物线ݕ与െሺݔെͳሻʹ ൅䁪上，当െͳ < ݔͳ < 0，ͳ < ݔʹ < ʹ，
ݔ͵ > ͵ 时，ݕͳ，ݕʹ，ݕ͵三者之间的大小关系是（
）
A．ݕͳ < ݕʹ < ݕ͵
B．ݕͳ < ݕ͵ < ݕʹ
C．ݕ͵ < ݕͳ < ݕʹ
D．ݕ͵ < ݕʹ < ݕͳ
【答案】C
【详解】解：׶抛物线ݕ与െሺݔെͳሻʹ ൅䁪，
׵抛物线开口向下，对称轴ݔ与ͳ，顶点坐标为ͳ䁪，
当ݕ与0 时，െሺݔെͳሻʹ ൅䁪与0，
解得ݔ与െͳ 或ݔ与͵，
׵抛物线与ݔ轴的两个交点坐标为：െͳ0 ，͵0 ，
׵当െͳ < ݔͳ < 0，ͳ < ݔʹ < ʹ，ݔ͵ > ͵ 时，ݕ͵ < 0 < ݕͳ < ݕʹ，
׵ ݕ͵ < ݕͳ < ݕʹ．
4．已知ܣݔͳݕͳ 、ܤݔʹݕʹ 是抛物线ݕ与ݔʹ ൅ܿ
上的两点．若ݔͳ ൅ݔʹ > 0 且ݔͳ > ݔʹ，则ݕͳ________ݕʹ．（填
“>”、“<”或“与”）
【答案】>
【分析】根据点在抛物线上得到ݕͳ与ݕʹ的表达式，对ݕͳ和ݕʹ作差，结合已知条件ݔͳ ൅ݔʹ > 0 和ݔͳ > ݔʹ判断
差的符号，即可比较ݕͳ和ݕʹ的大小．
【详解】解：∵ܣሺݔͳݕͳሻ，ܤሺݔʹݕʹሻ是抛物线ݕ与ݔʹ ൅ܿ
上的两点，
∴ݕͳ 与ݔͳ
ʹ ൅ܿ，ݕʹ 与ݔʹ
ʹ ൅ܿ，
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∴ݕͳ െݕʹ 与ݔͳ
ʹ ൅ܿ
െሺݔʹ
ʹ ൅ܿሻ与ݔͳ
ʹ െݔʹ
ʹ 与ሺݔͳ െݔʹሻሺݔͳ ൅ݔʹሻ，
∵ݔͳ > ݔʹ，
∴ݔͳ െݔʹ > 0，
又∵ݔͳ ൅ݔʹ > 0，
∴ሺݔͳ െݔʹሻሺݔͳ ൅ݔʹሻ> 0，即ݕͳ െݕʹ > 0，
∴ݕͳ > ݕʹ．
故答案为：>．
5．若点ܣെͳݕͳ ，ܤ
ͳ
ʹ ݕʹ ，ܥ䁪ݕ͵ 在抛物线ݕ与ݔെʹ ʹ ൅݇
上，则ݕͳ，ݕʹ，ݕ͵从小到大的大小关系为
___________．（用“<”连接）
【答案】ݕʹ < ݕ͵ < ݕͳ
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的
性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结
论．
【详解】解：由抛物线ݕ与ሺݔെʹሻʹ ൅݇
可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线ݔ与ʹ．
对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大，
计算各点到对称轴ݔ与ʹ 的水平距离：
点ܣെͳݕͳ 到对称轴的距离为െͳ െʹ 与͵，
点ܤ
ͳ
ʹ ݕʹ 到对称轴的距离为
ͳ
ʹ െʹ 与
͵
ʹ，
点ܥ䁪ݕ͵ 到对称轴的距离为䁪െʹ 与ʹ，
∵
͵
ʹ < ʹ < ͵，
∴ݕʹ < ݕ͵ < ݕͳ．
6．已知点ܲ
ͳ െʹݕͳ ，ܲ
ʹ െͳݕʹ ，ܲ
͵ ͷݕ͵ 都在二次函数ݕ与െݔെͳ ʹ ൅
䁪
͵图像上，则ݕͳ，ݕʹ，ݕ͵的大小
关系为_______．
【答案】ݕʹ > ݕͳ > ݕ͵/ݕ͵ < ݕͳ < ݕʹ
【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性
比较函数值大小．
【详解】∵二次函数ݕ与െሺݔെͳሻʹ ൅
䁪
͵中，二次项系数ܽ
与െͳ < 0，
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∴抛物线开口向下，对称轴为直线ݔ与ͳ，
∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大，
∵െʹ െͳ 与͵，െͳ െͳ 与ʹ，ͷ െͳ 与䁪，且ʹ < ͵ < 䁪，
∴ݕʹ > ݕͳ > ݕ͵．
重难点四求二次函数的最值
1.全体实数范围直接取顶点纵坐标为最值；
2.给定自变量取值范围时，对称轴在区间内，顶点取一个最值，两端点对比取另一极值；
3.对称轴在区间左侧，函数全程递增，左端点最小、右端点最大；
4.对称轴在区间右侧，全程递减，右端点最小、左端点最大。
1．已知ݔ，ݕ，ݖ均为非负数，且满足ݔ与ݕ൅ݖെͳ 与䁪െݕെʹݖ．则ݑ与ʹݔʹ െʹݕ൅ݖ的最小值为（
）
A．െ
ͳ
ʹ
B．െͳ
C．െ
͵
ʹ
D．െʹ
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握二次
函数的图象与性质、不等式组的解法及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得ݕ与͵ݔെʹ
ݖ与͵ െʹݔ，则
有
ʹ
͵ ൑ݔ൑
͵
ʹ，然后可得ݑ与ʹ ݔെʹ ʹ െͳ，进而根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由ݔ与ݕ൅ݖെͳ 与䁪െݕെʹݖ可知：ݕ൅ݖ与ݔ൅ͳ
ݕ൅ʹݖ与䁪െݔ，
解得：ݕ与͵ݔെʹ
ݖ与͵ െʹݔ，
∵ݔ，ݕ，ݖ均为非负数，
∴͵ݔെʹ ൒0
͵ െʹݔ൒0 ，
解得：
ʹ
͵ ൑ݔ൑
͵
ʹ，
∴ݑ与ʹݔʹ െʹݕ൅ݖ
与ʹݔʹ െʹ ͵ݔെʹ ൅͵ െʹݔ
与ʹݔʹ െ͸ݔ൅䁪൅͵ െʹݔ
与ʹ ݔʹ െ䁪ݔ൅䁪െ䁪൅͹
与ʹ ݔെʹ ʹ െͳ；
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∵ʹ > 0，即开口向上，当ݔ< ʹ 时，u 随x 的增大而减小，
∴当
ʹ
͵ ൑ݔ൑
͵
ʹ时，u 随x 的增大而减小，
∴当ݔ与
͵
ʹ时，有最小值为ݑ与ʹ ൈ
͵
ʹ െʹ
ʹ
െͳ 与
ͳ
ʹ െͳ 与െ
ͳ
ʹ；
故选A．
2．在直角坐标系中，二次函数ݕ与ݔʹ െ㜳ݔ൅㜳ʹ െ㜳൅ʹ（m 为常数）的图象经过点0ʹ 和ͳʹ ，则这个
二次函数有（
）
A．最小值
͹
䁪
B．最小值െ
͹
䁪
C．最小值2
D．最小值െʹ
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．根据
题意求得该函数图象的对称轴为求得㜳与ͳ，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：׶二次函数ݕ与ݔʹ െ㜳ݔ൅㜳ʹ െ㜳൅ʹሺ㜳为常数）的图象经过点ሺ0ʹሻ和ሺͳʹሻ，
׵该函数图象的对称轴为直线ݔ与
0൅ͳ
ʹ 与
ͳ
ʹ，
׵െ
െ㜳
ʹ 与
ͳ
ʹ，
׵ 㜳与ͳ，
׵该函数解析式为ݕ与ݔʹ െݔ൅ʹ，
׶ ͳ > 0，
׵该函数图象的开口向上，
׵当ݔ与
ͳ
ʹ时，该二次函数有最小值ݕ与
ͳ
ʹ
ʹ
െ
ͳ
ʹ ൅ʹ 与
͹
䁪．
故选：A．
3．一次函数ݕ与ܽ
ݔ൅്ܿܽ
0 的图像经过点͵ͳ ，则ܽܿ
的最大值等于（
）
A．
ͳ
ͳʹ
B．െ
ͳ
͵͸
C．
ͳ
͵͸
D．െ
ͳ
ͳʹ
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质．
将点坐标代入函数得到c 关于a 的表达式，然后ܽܿ
表示为a 的二次函数，化为顶点式作答即可．
【详解】∵函数图像经过点͵ͳ ，
∴ͳ 与͵ܽ൅ܿ，
∴ܿ与ͳ െ͵ܽ，
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∴ܽܿ
与ܽ
ͳ െ͵ܽ
与െ͵ܽʹ ൅ܽ
与െ͵ܽ
െ
ͳ
͸
ʹ
൅
ͳ
ͳʹ，
∵二次项系数െ͵ < 0，
∴ܽܿ
有最大值，为
ͳ
ͳʹ．
故选：A．
4．若函数ݕ与ݔʹ ൅ܽ
ݔ൅晦在0 ൑ݔ൑ͳ 的最大值是ܯ，最小值是㜳，则ܯെ㜳（
）
A．与ܽ
有关，且与晦有关
B．与ܽ
有关，但与晦无关
C．与ܽ
无关，且与晦无关
D．与ܽ
无关，但与晦有关
【答案】B
【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与0 ൑ݔ൑ͳ 的位置关系，计算ܯെ㜳即可判断结果．
【详解】解：对二次函数配方得，ݕ与ሺݔ൅ܽʹ ሻʹ ൅晦െܽ
ʹ
䁪，抛物线开口向上，对称轴为直线ݔ与െܽʹ，
当െܽʹ ൑0，即ܽ
൒0 时，函数在0 ൑ݔ൑ͳ，ݕ随着ݔ的增大而增大，
∴当ݔ与0 时，ݕ有最小值，ݔ与ͳ 时，ݕ有最大值，
׵ ܯ与ͳ ൅ܽ
൅晦㜳与晦，
׵ ܯെ㜳与ͳ ൅ܽ
，结果不含晦；
当െܽʹ ൒ͳ，即ܽ
൑െʹ 时，函数在0 ൑ݔ൑ͳ，ݕ随着ݔ的增大而减小，
当ݔ与0 时，ݕ有最大值，ݔ与ͳ 时，ݕ有最小值，
׵ ܯ与晦㜳与ͳ ൅ܽ
൅晦，
׵ ܯെ㜳与െͳ െܽ，结果不含晦；
当0 <െܽʹ ൑
ͳ
ʹ，即െͳ ൑ܽ
< 0 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在ݔ与ͳ 处取得，
׵ 㜳与晦െܽ
ʹ
䁪ܯ与ͳ ൅ܽ
൅晦，
׵ ܯെ㜳与ͳ ൅ܽ
൅ܽ
ʹ
䁪，结果不含晦；
当
ͳ
ʹ <െܽʹ < ͳ，即െʹ <ܽ
<െͳ 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在ݔ与0 处取得，
׵ 㜳与晦െܽ
ʹ
䁪ܯ与晦，
׵ ܯെ㜳与ܽ
ʹ
䁪，结果不含晦，
综上，所有情况的ܯെ㜳都只与ܽ
有关，不含晦，因此ܯെ㜳与ܽ
有关，与晦无关．
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5．二次函数ݕ与െݔʹ ൅䁪ݔെͳ 的最大值是_____________．
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先将二次函数解析式写成
顶点式，根据二次函数的性质即可得其最大值．
【详解】解：ݕ与െݔʹ ൅䁪ݔെͳ 与െݔʹ െ䁪ݔ൅䁪൅͵ 与െݔെʹ ʹ ൅͵，
∴当ݔ与ʹ 时，二次函数ݕ与െݔʹ ൅䁪ݔെͳ 有最大值，最大值是3．
故答案为：3．
6．已知实数ݔ、ݕ满足ݕ与ݔʹ ൅͵ݔെ͵，则ݔ൅ݕ的最小值为____________ ．
【答案】െ͹
【分析】本题考查求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题关键．由已知条件ݕ与ݔʹ ൅͵ݔെ͵，
将ݔ൅ݕ表示为关于ݔ的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设ݏ与ݔ൅ݕ，
∵ݕ与ݔʹ ൅͵ݔെ͵，
∴ݏ与ݔ൅ݔʹ ൅͵ݔെ͵
与ݔʹ ൅䁪ݔെ͵
与ݔ൅ʹ ʹ െ͹，
∵ܽ
与ͳ > 0，
∴抛物线开口向上，
∴当ݔ与െʹ 时，ݏ有最小值െ͹，即ݔ൅ݕ有最小值െ͹，
故答案为：െ͹．
7．如果二次函数ݕ与ݔʹ െʹݔ൅ͳ 平移后的顶点恰好落在直线ݕ与ݔ൅ͳ 上，求平移后的图像与y 轴交点的
纵坐标的最小值为__________．
【答案】
͵
䁪
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，设平移后所得抛物线对应
的表达式为ݕ与ሺݔെ݄ሻʹ ൅݇，因为顶点在直线ݕ与ݔ൅ͳ 上，得到݇
与݄
൅ͳ．令ݔ与0，得平移后的抛物
线与y 轴交点的纵坐标为݄ʹ ൅݄
൅ͳ．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】设平移后的解析式为ݕ与ሺݔെ݄ሻʹ ൅݇，
∵平移后的顶点恰好落在直线ݕ与ݔ൅ͳ 上，
∴݇
与݄
൅ͳ，
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∴解析式为ݕ与ሺݔെ݄ሻʹ ൅݄
൅ͳ，
令ݔ与0，得平移后的抛物线与y 轴交点的纵坐标为݄ʹ ൅݄
൅ͳ，
设平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为z，
∵ݖ与݄
ʹ ൅݄
൅ͳ 与ሺ݄൅
ͳ
ʹ ሻʹ ൅
͵
䁪，
∴当݄
与െ
ͳ
ʹ时，此抛物线与y 轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为
͵
䁪．
故答案为：
͵
䁪．
8．我们规定minܽ
晦与ܽܽ
൑晦
晦ሺܽ
> 晦ሻ，例如，min ͳ͵ 与ͳ，min ͵െ䁪与െ䁪，如果ݕ与min െݔʹ ൅ʹݔ൅ͺݔ൅
ʹ ，那么ݕ的最大值是_____．
【答案】5
【分析】本题考查了新定义，以及二次函数与一次函数综合，设ݕͳ 与െݔʹ ൅ʹݔ൅ͺ，ݕʹ 与ݔ൅ʹ，通过比较
函数ݕͳ 与െݔʹ ൅ʹݔ൅ͺ 和ݕʹ 与ݔ൅ʹ 的大小关系，确定ݕ的取值，并求其最大值，即可解题．
【详解】解：设ݕͳ 与െݔʹ ൅ʹݔ൅ͺ，ݕʹ 与ݔ൅ʹ．
令ݕͳ 与ݕʹ，得െݔʹ ൅ʹݔ൅ͺ 与ݔ൅ʹ，即ݔʹ െݔെ͸ 与0，解得ݔ与െʹ 或ݔ与͵．
当ݔ൑െʹ 或ݔ൒͵ 时，ݕͳ ൑ݕʹ，故ݕ与ݕͳ 与െݔʹ ൅ʹݔ൅ͺ；
又ݕͳ在ݔ൑െʹ 时，函数随ݔ增大而增大，在ݔ൒͵ 时，函数随ݔ增大而减小，
当ݔ与െʹ 时，ݕͳ 与0；当ݔ与͵ 时，ݕͳ 与ͷ．
当െʹ < ݔ< ͵ 时，ݕͳ > ݕʹ，故ݕ与ݕʹ 与ݔ൅ʹ．
对于ݕ与ݕʹ，在െʹ < ݔ< ͵ 时，函数随ݔ增大而增大，当ݔ趋近于͵ 时，ݕʹ 趋近于ͷ
综上，ݕ的最大值为ͷ，
故答案为：ͷ．
重难点五二次函数的平移变换
1.平移只针对自变量x，“左加右减”写在括号内，上下平移直接在表达式末尾加减常数；
2.多次平移分步操作，逆向平移把平移方向反向处理；
3.翻折题目单独记忆符号变化规律。
1．将抛物线ݕ与ݔʹ ൅ͺݔ൅ͳͷ 向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后，得到的抛物线解析式
是（
）
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A．ݕ与ݔ൅ͳ ʹ െ͵
B．ݕ与ݔ൅͹ ʹ െ͵
C．ݕ与ݔ൅ͳ ʹ ൅ͳ
D．ݕ与ݔ൅͹ ʹ ൅ͳ
【答案】C
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最
后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变．
【详解】解：∵ݕ与ݔʹ ൅ͺݔ൅ͳͷ 与ݔ൅䁪ʹ െͳ，
∴原抛物线的顶点坐标为െ䁪െͳ ，
∵将顶点向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度，
∴平移后顶点的横坐标为െ䁪൅͵ 与െͳ，纵坐标为െͳ ൅ʹ 与ͳ，
即新顶点坐标为െͳͳ ，
∵抛物线平移后二次项系数不变，
∴平移后抛物线的解析式为ݕ与ݔ൅ͳ ʹ ൅ͳ．
2．二次函数ݕ与ݔʹ െʹݔെ͵ 的图象可由ݕ与ݔʹ െͳ 的图象通过（
）得到的
A．向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位
B．向左平移3 个单位，再向上平移1 个单位
C．向右平移3 个单位，再向下平移1 个单位
D．向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位
【答案】D
【详解】解：可将二次函数ݕ与ݔʹ െʹݔെ͵ 转化为ݕ与ݔെͳ ʹ െ䁪，
需将ݕ与ݔʹ െͳ 向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位得到．
故选：D．
3．如图，将函数ݕ与
ʹ
͵ ሺݔെ͵ሻʹ ൅ͳ 的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点ܣʹ㜳，ܤ͹䁡
平移后的对应点分别为点ܣԢ，ܤԢ．若曲线段ܣܤ扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达
式是（
）
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A．ݕ与
ʹ
͵ ሺݔ൅ʹሻʹ ൅ͳ
B．ݕ与
ʹ
͵ ሺݔെ͵ሻʹ െ͵
C．ݕ与
ʹ
͵ ሺݔെ͵ሻʹ ൅ͷ
D．ݕ与
ʹ
͵ ሺݔെ͵ሻʹ ൅͹
【答案】C
【分析】连接ܣܤ,ܣԢܤԢ,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形ܣԢܤԢܤܣ的面积，由题意易得点ܣ、ܤ的水
平距离即为该平行四边形ܣԢܤԢܤܣ的高，然后可得ܣܣԢ 与䁪，进而问题可求解．
【详解】解：连接ܣܤ,ܣԢܤԢ,
∴阴影部分的面积为平行四边形ܣԢܤԢܤܣ，
∵ܣʹ㜳，ܤ͹䁡，
∴点ܣܤ的水平距离为͹ െʹ 与ͷ，
∴ͷܣܣԢ 与ʹ0,
∴ܣܣԢ 与䁪，
∴抛物线向上平移4 个单位长度，则平移后的抛物线解析式为ݕ与
ʹ
͵ ሺݔെ͵ሻʹ ൅ͷ．
4．抛物线ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔʹ先向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位后的函数解析式为（
）
A．ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔ൅͵ ʹ ൅䁪
B．ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔ൅͵ ʹ െ䁪
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C．ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔെ͵ ʹ ൅䁪
D．ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔെ͵ ʹ െ䁪
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的平移性质，二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行分析，
即可作答．
【详解】解：∵抛物线ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔʹ先向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位，
∴平移后的函数解析式为ݕ与െ
ͳ
ʹ ݔ൅͵ ʹ െ䁪，
故选：B．
5．将二次函数ݕ与ʹ ݔെͳ ʹ ൅ͳ 的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________．
【答案】ݕ与ʹ ݔെͳ ʹ
【分析】根据“上加下减”原则即可作答．
【详解】解：将二次函数ݕ与ʹ ݔെͳ ʹ ൅ͳ 的图象向下平移1 个单位长度，
所得的函数表达式为ݕ与ʹ ݔെͳ ʹ ൅ͳ െͳ，即ݕ与ʹ ݔെͳ ʹ．
6．二次函数ݕ与ݔ൅ͳ
ݔെ͵ 向上平移5 个单位，向右平移3 个单位后抛物线的对称轴为直线_____．
【答案】ݔ与䁪
【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．将二次函数化为顶点式，
再根据平移的特点得到平移后的函数解析式，即可得到答案．
【详解】解：ݕ与ݔ൅ͳ
ݔെ͵ 与ݔʹ െʹݔെ͵ 与ሺݔെͳሻʹ െ䁪，
上平移5 个单位，向右平移3 个单位后抛物线为：ݕ与ሺݔെͳ െ͵ሻʹ െ䁪൅ͷ 与ሺݔെ䁪ሻʹ ൅ͳ，
故对称轴为直线ݔ与䁪．
故答案为：ݔ与䁪．
7．将抛物线ݕ与ʹݔʹ െ䁪ݔ൅͵ 向右平移͵ 个单位长度，再向下平移ʹ 个单位长度，得到的新抛物线的函数
表达式为___________（用顶点式表示）．
【答案】ݕ与ʹ ݔെ䁪ʹ െͳ
【分析】先将原一般式抛物线通过配方化为顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常
数项”计算得到新抛物线的顶点式表达式．
【详解】解：ݕ与ʹݔʹ െ䁪ݔ൅͵
与ʹሺݔʹ െʹݔሻ൅͵
与ʹ ሺݔെͳሻʹ െͳ ൅͵
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与ʹሺݔെͳሻʹ ൅ͳ，
׵抛物线的顶点坐标为ͳͳ ，
根据抛物线平移规律，将抛物线向右平移͵ 个单位长度，再向下平移ʹ 个单位长度，
׵平移后的抛物线的顶点坐标为䁪െͳ ，
׵平移后的抛物线的解析式为ݕ与ʹሺݔെ䁪ሻʹ െͳ．