重难点专题04二次函数的定义与三种解析式（专项训练）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十六章二次函数_题型专练

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重难点专题04 二次函数的定义与三种解析式
重难点一识别二次函数及各项系数
1.先观察式子是否为整式，再看自变量最高次数是否等于2，最后确认二次项系数不为0；
2.分式、根式、自变量含负次幂的式子直接排除，不满足任意一条都不是二次函数；
3.将二次函数写成一般式的形式，分别是二次项（系数）、一次项（系数）、常数项，对照识别即可。
1．下列各式中，ݕ是ݔ的二次函数的是（
）
A．ݕ㔠㈸ݔെ͵
B．ݕ㔠ݔ㈸െͷݔ൅൅͵
C．ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
D．ݕ㔠ݔ㈸െ
൅
ݔ൅㈸
【答案】B
【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可.
【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ（〱，ܾ，ܿ是常数，〱്
Ͳ）的函数，叫做
二次函数.
∵选项A 中ݕ㔠㈸ݔെ͵ 是一次函数，
∴A 不符合题意；
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∵选项B 中ݕ㔠ݔ㈸െͷݔ൅൅͵ ，符合二次函数的定义，
∴B 符合题意；
∵选项C 中ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，未说明〱്
Ͳ，当〱㔠Ͳ 时不是二次函数，
∴C 不符合题意；
∵选项D 中ݕ㔠ݔ㈸െ
൅
ݔ൅㈸里，
൅
ݔ是分式，不是整式，不符合二次函数定义，
∴D 不符合题意.
2．下列函数中，ݕ一定是关于ݔ的二次函数的是（
）
A．ݕ㔠〱ݔ㈸െ൅
B．ݕ㔠㈸ݔ㈸൅㈸
C．ݕ㔠
㈸ݔ
D．ݕ㔠
൅
ݔ
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ（〱ǡܾǡܿ为常数且〱്
Ͳ）
的函数，逐一分析各选项判断．
【详解】解：A．当〱㔠Ͳ 时，ݕ㔠െ൅，是常数函数，不是二次函数；
B．ݕ㔠㈸ݔ㈸൅㈸满足〱㔠㈸്
Ͳ，符合二次函数的定义，是二次函数；
C．ݕ㔠
㈸ݔ中ݔ的次数为1，是一次函数，不是二次函数；
D．ݕ㔠
൅
ݔ是反比例函数，不是二次函数；
故选：B．
3．下列函数是关于x 的二次函数的是（
）
A．ݕ㔠ݔ㈸൅
൅
ݔ㈸
B．ݕ㔠ݔ൅െݔ
C．ݕ㔠ݔ൅൅㈸െݔ㈸
D．ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
(〱ǡܾǡܿ为常数，〱്
Ͳ）的函数是二次函数，
判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
【详解】解：A、ݕ㔠ݔ㈸൅
൅
ݔ㈸的分母含有自变量，不是ݕ关于ݔ的二次函数，故A 不符合题意；
B、ݕ㔠ݔ൅െݔ㔠െݔ㈸൅ݔ，是ݕ关于ݔ的二次函数，故B 符合题意；
C、ݕ㔠ݔ൅൅㈸െݔ㈸㔠㈸ݔ൅൅，不是ݕ关于ݔ的二次函数，故C 不符合题意；
D、ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，当〱㔠Ͳ 时不是二次函数，故D 不符合题意；
故选：B．
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4．二次函数ݕ㔠㈸ݔ㈸൅ݔെ͸ 的常数项为_______．
【答案】െ͸
【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答．
【详解】解：二次函数ݕ㔠㈸ݔ㈸൅ݔെ͸ 的常数项为െ͸，
故答案为：െ͸．
5．二次函数ݕ㔠⸶ݔെ㈸㌳⸶ͷ െ㈸ݔ㌳的二次项系数是___________．
【答案】െ㈸
【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，解决本题的关键是将二次函数化为一般式．
通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可得出二次项系数．
【详解】解：׶ ݕ㔠⸶ݔെ㈸㌳⸶ͷ െ㈸ݔ㌳变形为ݕ㔠െ㈸ݔ㈸൅香ݔെ൅Ͳ，
׵二次项系数为െ㈸．
故答案为：െ㈸．
6．二次函数ݕ㔠ݔ㈸െͷݔ൅㈸中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______．
【答案】
൅
െͷ
㈸
【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题；
二次函数的一般形式为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ（其中〱，ܾ，ܿ
是常数且〱്
Ͳ），〱称为二次项系数，ܾ
称为一
次项系数，ܿ称为常数项．
【详解】解：对于二次函数ݕ㔠ݔ㈸െͷݔ൅㈸，其一般形式中〱㔠൅，ܾ
㔠െͷ，ܿ㔠㈸，
因此二次项系数为൅，一次项系数为െͷ，常数项为㈸．
故答案为：൅，െͷ，㈸．
7．已知二次函数ݕ㔠㈸ݔ㈸൅香ݔെ൅，它的二次项系数为〱，一次项系数为ܾ
，常数项为ܿ，则ݕ㔠ܿݔ㈸െ〱ݔ൅ܾ
为______．
【答案】ݕ㔠െݔ㈸െ㈸ݔ൅香
【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答．
根据二次函数的解析式得出〱，ܾ，ܿ的值，再代入ݕ㔠ܿݔ㈸െ〱ݔ൅ܾ
即可．
【详解】解：由题意知，〱㔠㈸，ܾ
㔠香，ܿ㔠െ൅，
∴ݕ㔠ܿݔ㈸െ〱ݔ൅ܾ
㔠െݔ㈸െ㈸ݔ൅香，
故答案为：ݕ㔠െݔ㈸െ㈸ݔ൅香．
重难点二利用二次函数的定义求参数的值
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1.根据二次函数的定义列两组限制条件：一是自变量指数等于2，二是二次项系数不等于0；
2.联立方程或不等式算出参数后，代入二次项系数检验，舍去使系数为0 的解。
1．已知ݕ㔠⸶ሺ൅൅㌳ݔ㈸൅㈸ݔെ͵ 是二次函数，则ሺ的取值范围是（
）
A．ሺ൐െ൅
B．ሺ൏െ൅
C．ሺ്
൅
D．ሺ്
െ൅
【答案】D
【分析】根据二次函数二次项系数不为Ͳ 的要求，列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为Ͳ，ݕ㔠⸶ሺ൅൅㌳ݔ㈸൅㈸ݔെ͵ 是二次函数，
∴ሺ൅൅്
Ͳ，
解得ሺ്
െ൅．
2．若函数ݕ㔠ሺെ㈸ݔሺ㈸െ㈸൅ݔ是关于ݔ的二次函数，则ሺ为（
）
A．㈸
B．േ㈸
C．െ㈸
D．Ͳ
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求ݔ的最高次数为㈸，且二次项系数不为Ͳ，据此列出关系
式即可求出ሺ的值．
【详解】解：׶函数ݕ㔠ሺെ㈸ݔሺ㈸െ㈸൅ݔ是关于ݔ的二次函数，
׵ ሺെ㈸്
Ͳ，且ሺ㈸െ㈸㔠㈸，
解方程ሺ㈸െ㈸㔠㈸，即ሺ㈸㔠香，
解得ሺ㔠㈸或ሺ㔠െ㈸，
又∵ሺെ㈸്
Ͳ，
׵ ሺ്
㈸，
׵ ሺ㔠െ㈸．
3．已知ݕ㔠ሺ൅㈸ݔሺ是关于x 的二次函数，那么m 的值为（
）
A．െ㈸
B．2
C．േ㈸
D．0
【答案】B
【分析】二次函数要求ݔ的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于ሺ的条件即可求解．
【详解】解：∵ݕ㔠ሺ൅㈸ݔሺ是关于ݔ的二次函数，
∴ሺ㔠㈸，且ሺ൅㈸്
Ͳ，
解ሺ㔠㈸得ሺ㔠േ㈸，
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解ሺ൅㈸്
Ͳ 得ሺ്
െ㈸，
∴ሺ㔠㈸．
4．若是关于ݔ的二次函数ݕ㔠〱൅͵ ݔ〱െ൅െݔ൅൅，则〱的值是（
）
A．െ͵
B．㈸
C．͵
D．െ͵ 或͵
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2 且二次项系数不为0，据此列方程与不等式
求解即可．
【详解】解：∵函数ݕ㔠〱൅͵ ݔ〱െ൅െݔ൅൅是关于ݔ的二次函数．
∴根据二次函数定义可得：〱െ൅㔠㈸
〱൅͵്
Ͳ
由〱െ൅㔠㈸，得ȁ〱ȁ 㔠͵，
即〱㔠͵ 或〱㔠െ͵
又∵〱൅͵്
Ͳ，
∴〱്
െ͵
∴〱㔠͵．
故选：C
5．已知函数ݕ㔠⸶ሺെ͵㌳ݔሺ㈸െ͹是二次函数，则m 的值为________．
【答案】െ͵
【分析】本题考查了二次函数的定义．
根据二次函数的定义，指数必须为2 且系数不为零求解即可．
【详解】解：∵函数ݕ㔠ሺെ͵ ݔሺ㈸െ͹是二次函数，
∴ሺ㈸െ͹ 㔠㈸且ሺെ͵്
Ͳ，
解得ሺ㔠േ͵ 且ሺ്
͵
∴ሺ㔠െ͵
故m 的值为െ͵．
故答案为：െ͵．
6．函数ݕ㔠ሺ൅㈸ݔሺ㈸൅㈸ሺ是关于ݔ的二次函数，则ሺ㔠______．
【答案】െ൅േ
͵
【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量ݔ的最高次数为㈸，且二次项系数不为Ͳ，据此列出
关系式解答即可求解．
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【详解】解：∵函数ݕ㔠ሺ൅㈸ݔሺ㈸൅㈸ሺ是关于ݔ的二次函数，
∴ሺ㈸൅㈸ሺ㔠㈸且ሺ൅㈸്
Ͳ，
解得ሺ㔠െ൅േ
͵．
7．若函数ݕ㔠ሺ൅൅ݔሺ㈸െ㈸ሺെ൅൅͵ݔെ㈸是二次函数，则ሺ㔠______．
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ（〱、ܾ、ܿ是常数，且〱്
Ͳ），
其中最高次项的次数为㈸．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数ሺ㈸െ㈸ሺെ൅
为2，再保证二次项系数ሺ൅൅്
Ͳ，从而求解ሺ的值．
【详解】解：ݕ㔠ሺ൅൅ݔሺ㈸െ㈸ሺെ൅൅͵ݔെ㈸是二次函数，
׵ ሺ㈸െ㈸ሺെ൅㔠㈸且ሺ൅൅്
Ͳ，
即⸶ሺെ͵㌳⸶ሺ൅൅㌳㔠Ͳ，且ሺ്
െ൅
׵ ሺ㔠͵ǡሺ㔠െ൅，且ሺ്
െ൅，
׵ ሺ㔠͵，
故答案为：3．
重难点三顶点式求解析式
1.已知顶点⸶ℎǡk㌳+一点坐标：设y 㔠a⸶x −ℎ㌳㈸൅k，把已知点坐标代入求出a，无需解多元方程组，计
算速度更快；
2.已知对称轴+最值+一点坐标：对称轴为x 㔠ℎ、最值为k，等同给出顶点⸶ℎǡk㌳，按顶点式标准步骤求
解；
3.顶点加y 轴交点：求出a 后，可直接写出完整顶点式，按需展开为一般式。
1．已知二次函数图象的顶点坐标为െ㈸ǡ െ͵ ，且图象经过点൅ǡ͸ ，求这个二次函数的解析式．
【答案】ݕ㔠ݔ൅㈸㈸െ͵
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出〱的值是解题关键．直接利用顶点式假设出
二次函数解析式，进而代入⸶൅ǡ͸㌳求出即可．
【详解】解：设二次函数解析式为ݕ㔠〱ݔെ݄
㈸൅݇
〱്
Ͳ ，
则由顶点为െ㈸ǡ െ͵ 知݄
㔠െ㈸，݇
㔠െ͵．
׵ ݕ㔠〱ݔ൅㈸㈸െ͵，
把൅ǡ͸ 代入解析式得͸ 㔠〱൅൅㈸㈸െ͵，
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解得〱㔠൅，
׵解析式为ݕ㔠ݔ൅㈸㈸െ͵．
2．已知抛物线的顶点为൅ǡͷ ，且当自变量ݔ㔠െ൅时，对应的函数值为െ͵，求这条抛物线的表达式．
【答案】ݕ㔠െ㈸ݔെ൅㈸൅ͷ
【分析】本题考查了抛物线的顶点式以及求抛物线的解析式，能够根据题意设顶点式是解题的关键．
根据题意设抛物线解析式为：ݕ㔠〱ݔെ൅㈸൅ͷ，再将题目中数据代入求解即可．
【详解】解：由题意设抛物线解析式为：ݕ㔠〱ݔെ൅㈸൅ͷ，
׶当自变量ݔ㔠െ൅时，对应的函数值为െ͵，
׵ 〱െ൅െ൅㈸൅ͷ 㔠െ͵，
解得：〱㔠െ㈸，
׵ ݕ㔠െ㈸ݔെ൅㈸൅ͷ．
3．已知二次函数的图象过点ܣ⸶㈸ǡ െ͵㌳，且顶点坐标为ܥ⸶൅ǡ െ香㌳．求此二次函数的表达式；
【答案】ݕ㔠ݔെ൅㈸െ香
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数
法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将ܣ⸶㈸ǡ െ͵㌳代入计算即可确定出抛物线解析式．
【详解】解：∵顶点坐标为ܥ⸶൅ǡ െ香㌳，设二次函数解析式为ݕ㔠〱⸶ݔെ൅㌳㈸െ香，
把点ܣ⸶㈸ǡ െ͵㌳代入得〱െ香㔠െ͵，
解得：〱㔠൅，
∴这个二次函数解析式为ݕ㔠ݔെ൅㈸െ香．
4．已知抛物线ݕ㔠〱⸶ݔെ݄㌳㈸的对称轴是直线ݔ㔠െ㈸，且过点⸶൅ǡ െ͵㌳．求这个二次函数的表达式．
【答案】ݕ㔠െ
൅
͵ ⸶ݔ൅㈸㌳㈸
【分析】本题考查了求二次函数解析式．
根据对称轴得到݄
㔠െ㈸，进而将⸶൅ǡ െ͵㌳代入ݕ㔠〱⸶ݔെ݄㌳㈸求出〱㔠െ
൅
͵，即可得到二次函数的表达式．
【详解】解：∵抛物线ݕ㔠〱⸶ݔെ݄㌳㈸的对称轴为直线ݔ㔠െ㈸，
∴抛物线为ݕ㔠〱⸶ݔ൅㈸㌳㈸，
又∵抛物线过点⸶൅ǡ െ͵㌳，
∴െ͵ 㔠〱⸶൅൅㈸㌳㈸，
即香〱㔠െ͵，
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解得〱㔠െ
൅
͵，
所以该抛物线的解析式为ݕ㔠െ
൅
͵ ⸶ݔ൅㈸㌳㈸．
5．已知二次函数图象的顶点坐标为െ㈸ǡ㈸，且经过点Ͳǡ͸ ，求该二次函数的解析式．
【答案】ݕ㔠ݔ൅㈸㈸൅㈸
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，
把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设该二次函数解析式为ݕ㔠〱ݔ൅㈸㈸൅㈸，
把Ͳǡ͸ 代入ݕ㔠〱ݔ൅㈸㈸൅㈸中得：͸ 㔠〱Ͳ ൅㈸㈸൅㈸，
解得〱㔠൅，
∴该二次函数解析式为ݕ㔠ݔ൅㈸㈸൅㈸．
重难点四一般式求解析式
1.直接设y 㔠ax㈸൅bx ൅c，将三个点横纵坐标依次代入得到三元一次方程组；
2.消元依次求出a、b、c，最后带回一般式整理即可。
1．已知二次函数ݕ㔠ݔ㈸൅ܾݔെ㈸的图像经过点ܣ⸶㈸ǡͲ㌳，求这个二次函数的解析式．
【答案】ݕ㔠ݔ㈸െݔെ㈸
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．把点ܣ⸶㈸ǡͲ㌳代入二次函数ݕ㔠ݔ㈸൅ܾݔെ㈸即可求出
这个函数的解析式．
【详解】解：׶二次函数ݕ㔠ݔ㈸൅ܾݔെ㈸的图象经过点ܣ⸶㈸ǡͲ㌳，
׵ 香൅㈸ܾെ㈸㔠Ͳ，
∴ܾ
㔠െ൅，
׵ ݕ㔠ݔ㈸െݔെ㈸，
故此二次函数的解析式为：ݕ㔠ݔ㈸െݔെ㈸．
2．已知二次函数ݕ㔠ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
的图象经过点െ൅ǡͲ ，൅ǡ െ㈸，求该二次函数的表达式．
【答案】ݕ㔠ݔ㈸െݔെ㈸
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解．
【详解】解：∵二次函数ݕ㔠ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
的图象经过点െ൅ǡͲ ，൅ǡ െ㈸，
∴൅െܾ
൅ܿ
㔠Ͳ
൅൅ܾ
൅ܿ
㔠െ㈸，
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解得，ܾ
㔠െ൅ܿ
㔠െ㈸，
∴二次函数的解析式为ݕ㔠ݔ㈸െݔെ㈸．
3．已知二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔെ͵ 的图象经过ܣ൅ǡͲ ，ܤ㈸ǡͷ ，求该二次函数的解析式．
【答案】ݕ㔠ݔ㈸൅㈸ݔെ͵
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．根据点在抛
物线上，将ܣ൅ǡͲ ，ܤ㈸ǡͷ 代入得方程组，求解即可．
【详解】解：将ܣ൅ǡͲ ，ܤ㈸ǡͷ 分别代入ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔെ͵
得
〱൅ܾ
െ͵ 㔠Ͳ
香〱൅㈸ܾെ͵ 㔠ͷ ，
解得〱㔠൅ܾ
㔠㈸，
∴该二次函数的解析式为ݕ㔠ݔ㈸൅㈸ݔെ͵．
4．我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数
的解析式，对于二次函数，探究下面的问题：
（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过െ൅ǡ൅Ͳ ǡ ൅ǡ香ǡ ㈸ǡ͹ 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求
出这个二次函数的解析式．
【答案】由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c 的三元一次方程组就可以求出a，
b，c 的值；（2）ݕ㔠㈸ݔ㈸െ͵ݔ൅ͷ
【分析】（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式ݕ㔠݇
ݔ൅ܾ，需求出k，b 的值．用待定系数法，
由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k，b 的二元一次方程组就可以求出k，b 的值．类
似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，需求出a，b，c 的值．由不共线三
点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c 的三元一次方程组就可以求出a，b，c 的值．
（2）设所求二次函数为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，根据已知的三点坐标代入解析式，列出三元一次方程组，解方
程组即可求得．
【详解】（1）由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c 的三元一次方程组就可以
求出a，b，c 的值．
（2）设所求二次函数为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ．
由已知，函数图象经过െ൅ǡ൅Ͳ ǡ ൅ǡ香ǡ ㈸ǡ͹ 三点，得关于a，b，c 的三元一次方程组
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〱െܾ
൅ܿ
㔠൅Ͳǡ
〱൅ܾ
൅ܿ
㔠香ǡ
香〱൅㈸ܾ൅ܿ
㔠͹൅
解这个方程组，得
〱㔠㈸ǡܾ㔠െ͵ǡܿ㔠ͷ．
所求二次函数是ݕ㔠㈸ݔ㈸െ͵ݔ൅ͷ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
5．抛物线ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
经过⸶െ൅ǡ െ㈸㈸㌳ǡ⸶Ͳǡ െͺ㌳ǡ⸶㈸ǡͺ㌳三点，求它的开口方向、对称轴和顶点．
【答案】抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）．
【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而即可求解．
【详解】把（－1，－22），（0，－8），（2，8）分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得a＝－2，b＝12，c＝－8，所以抛物线的解析式为y＝－2x2＋12x－8，
将解析式配方，得y＝－2(x－3)2＋10，
又∵a＝－2＜0，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，10）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，求出二次函数解析式，是解题的关键．
6．二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
图象与ݔ轴交于点ܣെ൅ǡͲ ，与ݕ轴交于点ܥͲǡ െͷ ，且经过点D（3，-8）．求
此二次函数的解析式及顶点坐标．
【答案】ݕ㔠ݔ㈸െ香ݔെͷ，顶点坐标为（2，-9）；
【分析】直接利用待定系数法求二次函数解析式即可，进而利用配方法求出函数顶点坐标；
【详解】由题意，有
〱െܾ
൅ܿ
㔠Ͳܿ
㔠െͷ
香〱൅͵ܾ൅ܿ
㔠െͺ
ǡ
解得
〱㔠൅ܾ
㔠െ香ܿ
㔠െͷ
∴此二次函数的解析式为ݕ㔠ݔ㈸െ香ݔെͷ；
∴ݕ㔠ݔെ㈸㈸െ香，顶点坐标为（2，-9）；
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法求
二次函数的解析式是解题关键．
7．已知二次函数的图象过点Ͳǡ൅、൅ǡ͵ 、㈸ǡ͹ ，求该函数的解析式．
【答案】ݕ㔠ݔ㈸൅ݔ൅൅
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【分析】本题考查了求二次函数解析式．
设二次函数解析式为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，直接将点Ͳǡ൅、൅ǡ͵ 、㈸ǡ͹ 代入计算即可．
【详解】解：设二次函数解析式为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，代入点Ͳǡ൅、൅ǡ͵ 、㈸ǡ͹ 得：ܿ
㔠൅
〱൅ܾ
൅൅㔠͵
香〱൅㈸ܾ൅൅㔠͹
，
解得
〱㔠൅ܾ
㔠൅ܿ
㔠൅
，
故解析式为ݕ㔠ݔ㈸൅ݔ൅൅．
8．已知二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
的图像经过点Ͳǡ㈸、൅ǡ͵ 、െ൅ǡ െ൅，求该二次函数的解析式，并判断
该函数图像的开口方向．
【答案】解析式ݕ㔠െݔ㈸൅㈸ݔ൅㈸；开口向下
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式．
先由待定系数法求出函数解析式，再由a 判断开口方向．
【详解】解：∵二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
的图像经过点Ͳǡ㈸、൅ǡ͵ 、െ൅ǡ െ൅，
∴
〱൅ܾ
൅ܿ
㔠͵
〱െܾ
൅ܿ
㔠െ൅ܿ
㔠㈸
，
解得
〱㔠െ൅ܾ
㔠㈸ܿ
㔠㈸
，
∴二次函数的解析式为ݕ㔠െݔ㈸൅㈸ݔ൅㈸，
∵െ൅൏Ͳ，
∴该函数图像的开口向下．
9．已知二次函数图像经过点ܣͲǡ൅、ܤ൅ǡ͵ 、ܥെ൅ǡ൅，求该函数解析式
【答案】ݕ㔠ݔ㈸൅ݔ൅൅；（2）ݕ㔠香ݔെ㈸㈸െ͵．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求二次函数解析式的方法是解题的关键．直接
用待定系数法求解即可；
【详解】解：设二次函数的解析式为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，
把点ܣͲǡ൅、ܤ൅ǡ͵ 、ܥെ൅ǡ൅代入得：ܿ
㔠൅
〱൅ܾ
൅ܿ
㔠͵
〱െܾ
൅ܿ
㔠൅
，
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解得：
〱㔠൅ܾ
㔠൅ܿ
㔠൅
，
∴二次函数的解析式为ݕ㔠ݔ㈸൅ݔ൅൅；
重难点五交点式求解析式
1.已知抛物线与x 轴两个交点横坐标x൅、x㈸，设y 㔠a⸶x −x൅㌳⸶x −x㈸㌳，代入第三个点求a；
2.仅当Δ ≥Ͳ、抛物线和x 轴有交点时才能使用，无交点只能选用一般式。
1．二次函数图象经过ܣെ൅ǡͲ ǡܤͲǡ െ㈸ǡܥ香ǡͲ ，求二次函数解析式．
【答案】ݕ㔠
൅
㈸ݔ㈸െ
͵
㈸ݔെ㈸
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的三种表达式是解题的关键；由题意
可设该抛物线的解析式为ݕ㔠〱ݔ൅൅
ݔെ香，然后代入点B 坐标可进行求解．
【详解】解：设该抛物线的解析式为ݕ㔠〱ݔ൅൅
ݔെ香，
把ܤͲǡ െ㈸代入函数得：〱Ͳ ൅൅
Ͳ െ香㔠െ㈸，
解得：〱㔠
൅
㈸，
׵该抛物线的解析式为ݕ㔠
൅
㈸ݔ൅൅
ݔെ香，即ݕ㔠
൅
㈸ݔ㈸െ
͵
㈸ݔെ㈸．
2．若二次函数的图象与ݔ轴的交点为െ͵ǡͲ ，൅ǡͲ ，且过点Ͳǡ൅，求此二次函数的解析式并直接写出图
象的对称轴．
【答案】ݕ㔠െ
൅
͵ ݔ㈸െ
㈸
͵ ݔ൅൅，对称轴为直线ݔ㔠െ൅．
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称轴，根据二次函数的图象与ݔ
轴的交点为െ͵ǡͲ ，൅ǡͲ ，设二次函数的解析式为ݕ㔠〱ݔ൅͵
ݔെ൅，因为二次函数的图象过点Ͳǡ൅，
可以求出〱㔠െ
൅
͵，从而求出二次函数的解析式为ݕ㔠െ
൅
͵ ݔ㈸െ
㈸
͵ ݔ൅൅，再根据解析式求出对称轴即可．
【详解】解：设二次函数的解析式为ݕ㔠〱ݔ൅͵
ݔെ൅，
׶二次函数的图象过点Ͳǡ൅，
可得：൅㔠െ͵〱，
解得：〱㔠െ
൅
͵，
׵二次函数的解析式为ݕ㔠െ
൅
͵ ݔ൅͵
ݔെ൅，
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整理可得：ݕ㔠െ
൅
͵ ݔ㈸െ
㈸
͵ ݔ൅൅，
׵抛物线的对称轴为直线ݔ㔠െܾ㈸〱㔠െ
െ㈸
͵
㈸ൈെ൅
͵
㔠െ൅．
3．二次函数的图象经过ܣ香ǡͲ ，ܤെ㈸ǡͲ ，ܥ㈸ǡ香三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求函数顶点的坐标；
(3)当Ͳ ൑ݔ൑ͷ 时，直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)ݕ㔠െ
൅
㈸ݔ㈸൅ݔ൅香
(2) ൅ǡ
香
㈸
(3)െ
͹
㈸൑ݕ൑
香
㈸
【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可；
（2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（3）根据二次函数的增减性求得在Ͳ ൑ݔ൑ͷ 内函数的最大值与最小值，得到ݕ的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点ܣ香ǡͲ ，ܤെ㈸ǡͲ ，
∴设二次函数解析式为ݕ㔠〱ݔെ香
ݔ൅㈸，
又∵二次函数的图象经过ܥ㈸ǡ香，
将点ܥ㈸ǡ香代入ݕ㔠〱ݔെ香
ݔ൅㈸中，
得香㔠〱㈸െ香
㈸൅㈸，解得〱㔠െ
൅
㈸，
∴ݕ㔠െ
൅
㈸ݔെ香
ݔ൅㈸㔠െ
൅
㈸ݔ㈸൅ݔ൅香．
（2）解：由（1）知，ݕ㔠െ
൅
㈸ݔ㈸൅ݔ൅香㔠െ
൅
㈸ݔെ൅㈸൅
香
㈸，
∴二次函数的顶点为൅ǡ
香
㈸．
（3）解：∵二次函数的二次项系数为െ
൅
㈸൏Ͳ，
∴二次函数开口向下，
由（2）知，二次函数的对称轴为ݔ㔠൅，且ݔ㔠൅在Ͳ ൑ݔ൑ͷ 内，
∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为
香
㈸，
∵二次函数开口向下
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∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大，
∵൅െͲ ൏ͷ െ൅，
∴二次函数在ݔ㔠ͷ 处取得最小值，
将ݔ㔠ͷ 代入ݕ㔠െ
൅
㈸ݔെ൅㈸൅
香
㈸中，解得ݕ㔠െ
͹
㈸，
∴Ͳ ൑ݔ൑ͷ 时，െ
͹
㈸൑ݕ൑
香
㈸．
重难点六解析式之间的综合
1.一般式转顶点式用配方法，先提取二次项系数，括号内配方后整理常数项；
2.顶点式、交点式转一般式直接去括号合并同类项；
3.一般式转交点式先因式分解，无法分解则不能转化。
1．已知二次函数ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
〱്
Ͳ 中的x，y 取值如表所示：
x
…
െ൅
0
1
2
3
…
y
…
െ㈸
1
2
1
n
…
(1)根据表格，则n 的值为______；
(2)求此二次函数的表达式．
【答案】(1)െ㈸
(2)ݕ㔠െݔ㈸൅㈸ݔ൅൅
【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数对称性是解题的关键．
（1）由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可；
（2）由表格数据运用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得抛物线经过Ͳǡ൅，㈸ǡ൅，
∴抛物线对称轴为直线ݔ㔠൅，
∵͵ǡ㤴与െ൅ǡ െ㈸关于对称轴ݔ㔠൅对称，
∴㤴㔠െ㈸．
故答案为：െ㈸．
（2）解：由表格可知抛物线过点െ൅ǡ െ㈸，Ͳǡ൅，㈸ǡ൅，
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∴
െ㈸㔠〱െܾ
൅ܿ
൅㔠ܿ
൅㔠香〱൅㈸ܾ൅ܿ
，
解得：
〱㔠െ൅ܾ
㔠㈸ܿ
㔠൅
，
∴二次函数的表达式为ݕ㔠െݔ㈸൅㈸ݔ൅൅．
2．已知抛物线与x 轴相交于点ܣെ͵ǡͲ ，ܤ൅ǡͲ ，且过点ܯͲǡ൅．
(1)求此函数的表达式；
(2)求顶点坐标．
【答案】(1)ݕ㔠െ
൅
͵ ݔ㈸െ
㈸
͵ ݔ൅൅．
(2)顶点坐标为െ൅ǡ
香
͵ ．
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及求二次函数的顶点坐标，
（1）设函数解析式为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，将三点代入，解出〱、ܾ、ܿ即可；
（2）将函数解析式化成顶点式，即可知道顶点坐标．
【详解】（1）解：设函数解析式为ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ，
∵抛物线与x 轴相交于点ܣെ͵ǡͲ ，ܤ൅ǡͲ ，且过点ܯͲǡ൅．
∴
香〱െ͵ܾ൅ܿ
㔠Ͳ
〱൅ܾ
൅ܿ
㔠Ͳܿ
㔠൅
，
解得：
〱㔠െ
൅
͵ܾ
㔠െ
㈸
͵ܿ
㔠൅
，
∴函数的表达式为：ݕ㔠െ
൅
͵ ݔ㈸െ
㈸
͵ ݔ൅൅．
（2）将函数的表达式变形：ݕ㔠െ
൅
͵ ݔ㈸െ
㈸
͵ ݔ൅൅㔠െ
൅
͵ ݔ㈸൅㈸ݔ൅൅㔠െ
൅
͵ ݔ൅൅㈸൅
香
͵．
∴顶点坐标为െ൅ǡ
香
͵ ．
3．抛物线ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔെ香〱经过ܣെ൅ǡͲ 、ܥͲǡ香两点，与x 轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标及对称轴；
【答案】(1)ݕ㔠െݔ㈸൅͵ݔ൅香
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(2)顶点坐标为
͵
㈸ǡ
㈸ͷ
香，对称轴为直线ݔ㔠
͵
㈸
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．
（1）把A、C 的坐标代入ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔെ香〱，求出a、b 的值，即可求出答案；
（2）把（1）中函数解析式化为顶点式即可．
【详解】（1）解：把点ܣെ൅ǡͲ 、ܥͲǡ香代入ݕ㔠〱ݔ㈸൅ܾݔെ香〱，得：Ͳ 㔠〱െܾ
െ香〱
香㔠െ香〱
，
解得：〱㔠െ൅，ܾ
㔠͵，
二次函数的解析式为ݕ㔠െݔ㈸൅͵ݔ൅香；
（2）解：ݕ㔠െݔ㈸൅͵ݔ൅香㔠െݔ㈸െ͵ݔ൅香㔠െݔ㈸െ͵ݔ൅
͵
㈸
㈸
൅香൅
͵
㈸
㈸
㔠െݔെ
͵
㈸
㈸
൅
㈸ͷ
香，
所以顶点坐标为
͵
㈸ǡ
㈸ͷ
香，对称轴为直线ݔ㔠
͵
㈸．
4．已知二次函数ݕ㔠
൅
㈸ݔ㈸൅ܾݔ൅ܿ
经过点ܣͲǡ െ㈸，ܤ㈸ǡ െ香两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)ݕ㔠
൅
㈸ݔ㈸െ㈸ݔെ㈸
(2)抛物线的对称轴为直线ݔ㔠㈸，顶点坐标为⸶㈸ǡ െ香㌳
【分析】本题考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握在利用待定系数法求二
次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
（1）把ܣ⸶Ͳǡ െ㈸㌳，ܤ⸶㈸ǡ െ香㌳两点代入中求出ܾ
，ܿ即可；
（2）把一般式化为顶点式，写出对称轴和顶点坐标即可．
【详解】（1）解：把ܣ⸶Ͳǡ െ㈸㌳，ܤ⸶㈸ǡ െ香㌳两点代入中，
得ܿ
㔠െ㈸
㈸൅㈸ܾ൅ܿ
㔠െ香，
解得ܾ
㔠െ㈸ܿ
㔠െ㈸，
׵二次函数的解析式为ݕ㔠
൅
㈸ݔ㈸െ㈸ݔെ㈸；
（2）解：把一般式化为顶点式为ݕ㔠
൅
㈸ݔ㈸െ㈸ݔെ㈸㔠
൅
㈸⸶ݔെ㈸㌳㈸െ香，
׵抛物线的对称轴为直线ݔ㔠㈸，顶点坐标为⸶㈸ǡ െ香㌳．