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解答题：函数与导数的综合应用
题型归纳
题型一：利用导数研究函数的单调性
（24-25 高三上·海南·期中）设函数
.
(1)求曲线
在点
切线方程；
(2)求函数f (x)的单调区间;
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1．（24-25 高三上·北京·期中）已知函数
在
处有极值-1.
(1)求实数a，b 的值;
(2)求函数
的单调区间.
2．（24-25 高三上·江苏常州·月考）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
题型二：利用导数研究函数的极值
（24-25 高三上·黑龙江·月考）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线;
(2)当
时，若
的极小值小于0，求
的取值范围
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1．（24-25 高三上·福建宁德·期中）已知函数
为
上的奇函数．
(1)求
；
(2)若函数
，讨论
的极值．
2．（24-25 高三上·河南安阳·月考）已知函数
．
(1)求
的定义域；
(2)若
存在极大值，求
的取值范围
题型三：利用导数研究函数的最值
（24-25 高三上·江西·月考）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的最值．
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1．（24-25 高三上·北京·期中）已知函数
（
）在
处取得极小值.
(1)求a 的值，并求函数
的单调区间；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
2．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）已知函数
．
(1)若函数
在
上的最小值为
，求
的值；
(2)若
，函数
，求
的最小值．
题型四：利用导数解决恒成立与能成立
（24-25 高三上·河北衡水·月考）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)函数
在
上恒成立，求最小的整数a．
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1．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)若
对于
恒成立，求
的最大值.
2．（24-25 高三上·浙江绍兴·月考）已知函数
.
(1)当
时，求
在区间
上的值域；
(2)若存在
，当
时，
，求
的取值范围.
题型五：利用导数求解函数的零点
（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数
，e 为自然对数的底数，函数
.
(1)若
在
处的切线也是
的切线，求实数a 的值；
(2)求
在
上的零点个数.
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1．（24-25 高三上·云南玉溪·月考）已知函数
(1)证明：
在区间
存在唯一极大值点；
(2)求
的零点个数．
2．（24-25 高三上·四川绵阳·月考）函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)证明：存在实数
使得曲线
关于点
成中心对称图形；
(3)讨论函数
零点的个数.
题型六：利用导数证明不等式
（24-25 高三上·广东·月考）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
．
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1．（24-25 高三上·广东广州·月考）已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求证：
2．（24-25 高三上·河北保定·期中）已知函数
.
(1)已知直线
是曲线
的切线，求实数a 的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)求证：
恒成立.
题型七：利用导数研究双变量问题
（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
.
(1)求f (x)的单调区间;
(2)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数
的取值范围.
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1．（24-25 高三上·湖北·期中）已知
为函数
的极小值点.
(1)求的值；
(2)设函数
，若对
，
，使得
，求
的取值范围.
2．（24-25 高三上·上海·期中）已知实数
，设
.
(1)若
，求函数y = f (x)的图象在点
处的切线方程；
(2)若
，已知函数y = f (x)，
的值域为
，求实数
的取值范围；
(3)若对于任意的
，总存在
，使得
，求
的取值范围.
题型八：利用导数研究极值点偏移问题
（24-25 高三上·云南·月考）已知函数
.
(1)若
为增函数，求
的取值范围；
(2)若
有两个极值点
，证明：
.
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1．（23-24 高三上·天津·月考）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)若函数
有两个极值点
，求证：
.
2．（24-25 高三上·内蒙古包头·开学考试）设函数
，
(1)证明：
有两个零点；
(2)记
是
的导数，
为
的两个零点，证明：
．
题型九：隐零点问题综合应用
（23-24 高三下·湖南衡阳·一模）已知函数
(1)若
在
处的切线方程为
，求
、
的值；
(2)若
时，在
上
恒成立，求
的取值范围；
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1．（24-25 高三上·浙江杭州·月考）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
．
2．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知函数
（其中
）
(1)当
时，证明：
(2)若
时，
，求实数
的取值范围；
(3)记函数
的最小值为
，求证：
题型十：导数与数列综合问题
（23-24 高三下·河北·三模）已知函数
．
(1)若
在
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)证明：
．
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1．（23-24 高三下·四川雅安·一模）已知函数
．
(1)若
有2 个相异极值点，求a 的取值范围；
(2)若
，求a 的值；
(3)设m 为正整数，若
，
，求m 的最小值．
2．（24-25 高三上·上海·月考）已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)①当
时，
恒成立，求正整数
的最大值；
②证明：
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必刷大题
1．（24-25 高三上·福建泉州·期中）已知函数
，
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，设
，若
既有极大值又有极小值，求
的取值范围．
2．（24-25 高三上·山东·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，讨论
的单调性；
(3)当
时，
，求
的取值范围.
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3．（24-25 高三上·北京房山·期中）已知函数
在点
处取得极大值5，其导函数
y = f
' (x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
(1)
的值；
(2)
，
，的值；
(3)函数
在区间
上的最大值和最小值.
4．（24-25 高三上·江苏盐城·期中）设函数
，
.
(1)求
的极值；
(2)已知实数
，若存在正实数x 使不等式
成立，求a 的取值范围；
(3)已知不等式
对满足
的一切实数m，n 恒成立，求实数k 的取值范围.
5．（23-24 高三下·广东佛山·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，若存
、
在，满足
，证明：
；
(3)对任意的
，
恒成立，其中
是函数
的导数，求
的取值范围．
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6．（23-24 高三下·浙江杭州·一模）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间;
(2)若
，求证:
;
(3)若
使得
，求证:
.
1．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
2．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
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3．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
4．（2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若
对任意x∈(0,+ ∞)成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
5．（2024·全国·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
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6．（2024·北京·高考真题）设函数
，直线是曲线
在点
处的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
(2)求证：不经过点
.
(3)当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点
有几个？
（参考数据：
，
，
）
7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数
和一个点
，令
，若
是
取到最小值的点，则称
是
在
的“最近点”．
(1)对于
，求证：对于点
，存在点
，使得点
是
在
的“最近点”；
(2)对于
，请判断是否存在一个点
，它是
在
的“最近点”，且直线
与
在点
处的切线垂直；
(3)已知
在定义域R 上存在导函数
，且函数
在定义域R 上恒正，设点
，
．若对任意的
，存在点
同时是
在
的“最近
点”，试判断
的单调性．
