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专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训
练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：构造法..............................................................................2
题型二：倒数法..............................................................................4
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练..................................7
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变
形为an+1+m=k(an+m)（其中：m=
p
k−1 ），由此构造出新的等比数列{an+m}，先求出
{an+m}的通项，从而求出数列{an}的通项公式.
标准模型：an+1=ka n+ p （k , p为常数，kp≠0）或
（k , p为常数，
kp≠0）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如an+1=qa n+ p⋅qn+1(n∈N
¿)，可通过两边同除qn+1，将它转化为
an+1
qn+1= an
qn + p，
从而构造数列{
an
qn}为等差数列，先求出{
an
qn}的通项，便可求得{an}的通项公式.
（2）形如
，可通过两边同除qn+1，将它转化为
1
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，换元令：
，则原式化为：
，先利用构造法类型1 求出
，再求出
{an}的通项公式.
（3）形如an−an+1=ka n+1an(k≠0)的数列，可通过两边同除以an+1an，变形为
1
an+1
−1
an
=−k 的形式，从而构造出新的等差数列{
1
an}，先求出{
1
an}的通项，便可求得
{an}的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如an+1=
qa n
pa n+q （p,q为常数，pq≠0）的数列，通过两边取“倒”，变形
为1
an+1
= 1
an
+ p
q ，即：1
an+1
−1
an
= p
q ，从而构造出新的等差数列{
1
an}，先求出{
1
an}的通
项，即可求得an.
类型2：形如
（
p,q
为常数，
，
，
）的数列，通过两
边取“倒”，变形为
，可通过换元：
，化简为：
（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如an+1=ka n+ p （k , p
为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为an+1+m=k(an+m)（其
中：m=
p
k−1 ），由此构造出新的等比数列{an+m}，先求出{an+m}的通项，从而求出数
列{an}的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
1．（23-24 高二下·河南·阶段练习）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
2
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【答案】(1)
；
【分析】（1）构造等比数列
，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
【详解】（1）因为
，所以
又
，
所以
，
所以
是以9 为首项，3 为公比的等比数列，
所以
，所以
.
2．（23-24 高二下·江西·阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）变形得到
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，得到通项公式；
【详解】（1）由
两边同时除以
，可得
，
所以
，
故数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
.
3．（23-24 高三下·河北张家口·开学考试）已知数列
满足
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】（1）由已知条件构造等比数列
，根据等比数列的通项公式，即可求得结
果；
【详解】（1）由已知
，所以
，又
，
3
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所以数列
是首项为，公比
的等比数列，
所以
，即
.
4．（23-24 高三上·山东青岛·期末）已知
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列，数列
，数列
的前
项和
.
(1)求
【答案】(1)
【分析】（1）由题意列方程，求出数列
的首项和公差，求出
，可得
，
变形后构造等比数列，即可求得答案；
【详解】（1）因为
成等比数列，所以
，
设等差数列
的公差为
，
，所以
，
解得
，
，
，
对上式两边同时除以
得:
，即
，
数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
故
，即
；
5．（23-24 高二上·浙江绍兴·期末）已知数列
满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解；
【详解】（1）由
，即
，
可得
，且
，故
，
4
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可知
是首项为2，公比为
的等比数列，
则
，即
，
所以数列
的通项公式为
.
题型二：倒数法
1．（2023 高三·全国·专题练习）已知数列
满足：
求通项
.
【答案】
【分析】取倒数后得到
是等差数列，求出
，得到通项公式.
【详解】取倒数：
，故
是等差数列，首项为
，公
差为2，
，
∴
.
2．（2023 高二·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
.若
，求数列
的通项公式.
【答案】
【分析】将
代入已知可得
，进而推得
，即可得出数列
是
等差数列，写出通项即可得出答案.
【详解】将
代入已知可得
.
因为
，所以
，
5
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所以有
，所以
.
又
，
所以，数列
是以2 为首项，1 为公差的等差数列，
所以，
，
所以，
.
3．（23-24 高二上·上海浦东新·期中）已知数列
有递推关系
(1)记
若数列
的递推式形如
且
，也即分子中
不再含有常数项，求实数
的值；
(2)求
的通项公式.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据题意整理可得
，即
，运
算求解即可；
（2）取
，可得
，利用构造法结合等比数列求通项公式.
【详解】（1）因为
，且
，
所以
，
则
，解得
或
；
（2）由（1）可得：当
时，则
，且
，
可得
，
6
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则
，且
，
故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
∴
，则
，
故
.
4．（23-24 高三上·山西·阶段练习）已知数列
中，
，
（1）证明：数列
是等比数列
【答案】（1）证明见解析 ；
【解析】（1）由
可得
，然后可得答案；
【详解】（1）证明：由
，知
又
，∴
是以
为首项，3 为公比的等比数列
5．（2024 高三·全国·专题练习）在数列
中，
．求证：数列
是等差数列，并求
的通项公式；
【答案】证明见解析；
【分析】根据等差数列的定义证明，然后利用等差数列的通项公式求解．
【详解】
，
且
所以，数列
是等差数列，且首项为1，公差为1，
．
7
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三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
1．（23-24 高二上·重庆·期末）已知数列
满足
，则数列
的前8
项和
．
【答案】502
【分析】根据
取倒数构造等比数列
，结合等比数列求和公式即可得到
答案.
【详解】由
，取倒数得
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，则
，
所以数列
的前8 项和
.
故答案为：502
2．（23-24 高二下·全国·单元测试）已知数列
满足
，
，
，则
.
【答案】
【分析】将
变形可得数列
为等差数列，再借助等差数列求解即得.
【详解】数列
中，
，
，显然
，取倒数得
，
8
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即
，则数列
是首项为1，公差为4 的等差数列，
因此
，所以
.
故答案为：
.
3．（23-24 高二上·全国·单元测试）已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为
．
【答案】
【详解】
在等式
两边取到数，推导出数列
为等差数列，确定该数列的首项和公差，
即可求得数列
的通项公式，进而可求得数列
的通项公式.
【分析】因为数列
满足
，且
，则
，
，
，
以此类推可知，对任意的
，
，
在等式
两边取倒数可得
，则
，
所以数列
是首项为
，公差为的等差数列.
所以，
，所以，
.
故答案为：
.
4．（23-24 高二下·河南·期中）数列
中，若
，
，则
．
【答案】19
9
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【分析】取倒数可得
，即可得数列
的通项公式，计算即可得.
【详解】∵
，则
，
∴
，∴故数列
为等差数列，公差等于2，
又
，故
，
∴
.
故答案为：19．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列
满足
，则
数列
的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列
中，
，
，显然
，
则有
，即
，而
，
因此数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
．
故答案为：
6．（23-24 高二上·湖北黄石·阶段练习）已知数列
满足
，
则
的通项公式为 .
【答案】
【分析】对
取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.
【详解】对
两边取倒数得
，即
，
10
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当
时，
，
，
，
，
，
将以上各式累加得
，又
，
所以
，所以
，当
时，
也满足
，所以
.
故答案为：
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，且
，求数列
的
通项公式.
【答案】
【分析】根据题意先证数列
为等比数列，再结合等比数列的通项公式分析求解.
【详解】因为
，且
，可知
，
则
，可得
，
且
，
可知数列
是首项为2，公比为4 的等比数列，
可得
，所以
.
8．（23-24 高二上·河北张家口·期末）已知
满足
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)已知数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将递推式变形为
，然后令
，利用待定系数法求
出
，进而可得
，根据数列
通项公式可得结论；
（2）利用错位相减法求出
，然后观察可得结论.
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【详解】（1）
，两边同时乘以
得
，
令
，
，变形得
，
又
，
，
，
，明显有
，
数列
为等比数列；
（2）由（1）得
，
则
，
所以
，
两式相减得：
，
，明显
，
.
9．（23-24 高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）推导出数列
为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求
得数列
的通项公式；
【详解】（1）解：因为数列
满足
，
，则
，
12
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且
，所以，数列
是等比数列，且该数列的第二项为
，公比为
，
所以，
，则
.
10 ．（23-24 高二上· 黑龙江哈尔滨· 期末）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由
得
，得数列
以
为首项以3 为公
比的等比数列，由等比数列求通项即可.
【详解】（1）当
时，
，得
，
当
时，
，
所以
，变形得
，即
，
数列
以
为首项以3 为公比的等比数列，
所以
，即
11．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列
中，已知
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由
可得
，由等比数列定义可得
是首项为2，公比为2 的等比数列，即可得
的通项公式，即可得
；
【详解】（1）因为
，
所以
，又
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列．
所以
，即
；
12．（23-24 高二上·福建莆田·期末）设数列
的前
项和为
，已知
，且
(1)求数列
的通项公式;
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【答案】(1)
【分析】（1）计算
，根据
得到
，变换
，确定
是首项为
，公比为
的等比数列，计算得到答案.
【详解】（1）
，则
，故
，
当
时，
，
，
两式相减得到
，即
，则
，
，故
是首项为
，公比为
的等比数列，
，故
，
时满足，故
.
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