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专题04 二次函数与幂函数
目录
题型一： 幂函数的图像与性质.......................................................................................................4
题型二： 利用幂函数比较大小.......................................................................................................5
题型三： 二次函数解析式...............................................................................................................6
题型四： 二次函数单调性求参数..................................................................................................7
题型五： 二次函数最值问题...........................................................................................................9
题型六： 二次函数恒成立问题....................................................................................................10
知识点一、幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y ＝
x α 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
性
质
定义域
R
R
R
{ x | x ≥0}
{ x | x ≠0}
值域
R
{ y | y ≥0}
R
{ y | y ≥0}
{ y | y ≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
知识点总结
1
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单调性
在R 上单调
递增
在( －∞，
0]
上单调
递减；在(0
，＋∞
)
上单调递增
在R 上单调
递增
在[0
，＋∞
)
上单调递增
在(－∞，0)
和(0，＋∞)
上单调递减
公共点
(1,1)
(3)幂函数y＝xα的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
知识点二、二次函数
(1)二次函数解析式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
2
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值域
单调性
在
上单调递减；在
上单调递增
在
上单调递增；在
上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x ＝－
对称
【常用结论与知识拓展】
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
题型一：幂函数的图像与性质
【要点讲解】幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一
象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x 分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1 的取值确定位置后,其
余象限部分由奇偶性决定.
【例1】图中
，
，
分别为幂函数
，
，
在第一象限内的图象，
则
，
，
依次可以是
例题精讲
3
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A．
，3，
B．
，3，
C．
，
，3
D．
，
，3
【变式训练1】如图所示是函数
，
均为正整数且
，
互质）的图象，则
A．
，
是奇数且
B．
是偶数，
是奇数，且
C．
是偶数，
是奇数，且
D．
，
是奇数，且
【例2】已知函数
是幂函数，且为偶函数，则实数
．
【变式训练1】已知幂函数
在
上单调递减，则
的图象过定点
A．
B．
C．
D．
4
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【变式训练2】已知幂函数的图象过
，
，
，
，
是函数
图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】若
，则实数
的取值范围
．
【变式训练4】关于
的不等式
的解集为
．
【变式训练5】已知幂函数
在
上单调递增，函数
，
，
，
，
，使得
成立，则实数
的取值
范围是
A．
B．
C．
D．
题型二：利用幂函数比较大小
【要点讲解】比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的
函数,借助其单调性进行比较.
【例3】已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
5
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【变式训练1】设
，则
，
，
的大小顺序是
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】已知
，若
，则下列各式中正确的是
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】已知幂函数
满足
（2 ）
，若
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【变式训练4】已知幂函数
的图象过点
．设
，
，
，则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
题型三：二次函数解析式
【要点讲解】根据条件不同选择一般式、顶点式、两点式进行求解
【例4】已知二次函数
满足
，
（2）
（1）
，若不等式
6
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有唯一实数解．
（1）求函数
的解析式；
（2）若函数
在
，
上的最小值为
．
①求
；
②解不等式
【变式训练1】已知二次函数
，
，
均为常数，
，若
和3
是函数
的两个零点，且
最大值为4．
（1）求函数
的解析式；
（2 ）试确定一个区间
，使得
在区间
内单调递减，且不等式
在区间
上恒成立．
【变式训练2】在①
（4）
，
（3）
，②当
时，
取得最大值3，③
，
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数
，且 _______．
（1）求
的解析式；
（2）若
在
，
上的值域为
，
，求
的值．
7
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题型四：二次函数单调性求参数
【要点讲解】类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间
变动
【例5】若函数
在
，
上是单调函数，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
【变式训练1】已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范
围为
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】函数
满足条件：当
，
随
的增大而增大，则
实数
的取值范围是
A．
B．
C．
且
D．
【变式训练3】已知
在区间
，
上是单调函数，则实数
的取
值范围是
A．
B．
，
C．
，
，
D．
，
，
8
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【例6】已知二次函数
在区间
内不单调，则
的取值范围是
A．
或
B．
C．
或
D．
【变式训练1】函数
在
，
上不单调，则实数
的取值可能
是
A．
B．0
C．1
D．2
【变式训练2】已知函数
在
，
上具有单调性，则实数
的取值范
围为
A．
B．
C．
或
D．
或
题型五：二次函数最值问题
【要点讲解】抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,
结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
【例7】已知
，则
的最大值是
．
【变式训练1】函数
的值域是
A．
，
B．
C．
D．
【变式训练2】函数
在区间
，
上
9
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A．有最大值
B．有最大值
C．有最小值
D．有最小值
【例8】已知函数
在区间
，
上的最小值为
，最大值为
，则
A．
B．
C．2
D．
【变式训练1】设二次函数
在
上有最大值，最大值为
（a），当
（a）取最小值时，
A．0
B．1
C．
D．
【例9】已知函数
，关于
的最值有如下结论，其中正确的是
A．
在区间
，
上的最小值为1
B．
在区间
，
上既有最小值，又有最大值
C．
在区间
，
上的最小值为2，最大值为5
D．
在区间
，
上的最大值为
（a）
【变式训练1】已知二次函数
，若函数
的值域是
，
10
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，且
（1）
，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例10】已知二次函数
的图像过点
和原点，对于任意
，都有
．
（1）求函数
的表达式；
（2）设
，求函数
在区间
，
上的最小值．
【变式训练1】已知二次函数
．
（1）若
是奇函数，求
的值；
（2）
在区间
，
上的最小值记为
，求
的最大值．
题型六：二次函数恒成立问题
【要点讲解】(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这
两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤
f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【例11】已知两函数
，
，其中
为实数．
（1）对任意
，
，都有
成立，求
的取值范围；
（2）存在
，
，使
成立，求
的取值范围；
（3）对任意
，
，
，都有
，求
的取值范围．
11
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【变式训练1】已知函数
，
，且对任意的
，
，都存在
，
，使
，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练2】已知二次函数
，且对任意的
，
都有
恒成立，则实数
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式训练3】函数
，则
恒成立的解集是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
一．选择题（共6 小题）
1．函数
，在
上，
随着
的增大而减小，则实数
范围为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．设
，其中
，
，1，2，
，则“函数
的图像经过点
“是“函数
在
上单调递减”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
课后练习
12
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知方程
在
，
上有实数解，则实数
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
，
，
D．
，
，
4．设
，若幂函数
定义域为
，且其图像关于
轴成轴对称，则
的值可
以为
A．1
B．4
C．7
D．10
5．已知函数
，则存在
，
，对任意的
有
A．
B．
C．
D．
6．已知幂函数
的图象过点
，则
（4）的值为
A．4
B．8
C．16
D．64
二．多选题（共2 小题）
7．下列区间中，函数
在其上单调增加的是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
8．已知幂函数
图象过点
，则下列命题中正确的有
A．
B．函数
的定义域为
13
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C．函数
为偶函数
D．若
，则
三．填空题（共4 小题）
9．已知函数
经过点
，则不等式
的解集为 ．
10．若函数
且
的图象恒过定点
，且点
在幂函数
的图象
上，则
（4）
．
11．已知抛物线
经过点
、
、
，则该抛物线上纵坐标
为
的另一个点的坐标为 ．
12．若幂函数
的图象经过点
，则
（2）
．
四．解答题（共3 小题）
13．已知函数
在
，
上为减函数．
（1）求实数
的取值范围；
（2）解关于
的不等式
．
14．已知函数
，
的解集为
．
（1）求
的解析式；
（2）当
时，求
的最大值．
15．已知二次函数
的最小值为
，且
（2）
．
（1）求
的解析式；
（2）若
在区间
，
上不单调，求实数
的取值范围；
（3）在区间
，
上，
的图象恒在
的图象上方，试确定实
数
的取值范围．
14
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15
