文档文本内容
【第4讲：二次函数与一元二次方程，不等式】
总览 题型梳理
【知识点清单】
1．二次函数的最值
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量
的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可
能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线
的焦点、准线和曲线的平移．
b
二次函数的最值出现在顶点处．对于 f（x）＝ax2+bx+c，最值为 f(− )，根据 a 的正负判断最值类型．
2a
b
﹣计算顶点 x 坐标 x=− ．
2a
b
﹣计算顶点处的函数值 f(− )．
2a
﹣根据 a 的正负判断最值类型（最大值或最小值）．
2．二次函数的图象及其对称性
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可
能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线
的焦点、准线和曲线的平移．
①开口、对称轴、最值与 x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴 x
b b
=− ；最值为：f（− ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与
2a 2a
x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
b
﹣确定对称轴 x=− ．
2a
b b
﹣确定顶点坐标 (− ，f(− ))．
2a 2a
﹣根据 a 的正负确定开口方向．
﹣绘制抛物线，标注对称轴与顶点．
3．由二次函数的性质求解析式或参数
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量
的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可
能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线
的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与 x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴 x
b b
=− ；最值为：f（− ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与
2a 2a
x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
b c
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x =− ，x •x = ；
1 2 1 2 a 1 2 a
p p
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y=− ，含义为抛物
2 2
线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；﹣根据题目提供的信息设定二次函数的一般形式 f（x）＝ax2+bx+c．
﹣代入已知条件（顶点、对称轴、开口方向等），建立方程组．
﹣解方程组，求出 a，b，c 参数．
4．解一元二次不等式
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
4．由一元二次不等式的解求参数
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
5．一元二次不等式恒成立问题
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
﹣将不等式转化为 ax2+bx+c≥0 或 ax2+bx+c≤0 形式．
﹣分析抛物线的开口方向和顶点位置．
﹣结合不等式恒成立的条件，确定参数范围．
6．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【知识点的认识】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当 ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它
的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即x2﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b c
根与系数有如下关系：x +x =− ，x •x = ．
1 2 a 1 2 a
7．对勾函数
【知识点的认识】
b
1、我们把形如f（x）＝ax+ ，（ab＞0）的函数称为“对勾函数”，其图象如下图所示：
x2、对勾函数的性质：
b √b √b √b
①当a＞0，b＞0时，f（x）＝ax+ ，在（﹣∞，−❑ ]和[❑ ，+∞）单调递增，在（−❑ ，0）和
x a a a
√b √b √b
（0，❑ ）单调递减，在x=−❑ 处取得极大值，在x=❑ 处取得极小值．
a a a
b √b √b √b
②当a＜0，b＜0时，f（x）＝ax+ ，在（﹣∞，−❑ ]和[❑ ，+∞）单调递减，在（−❑ ，0）和
x a a a
√b √b √b
（0，❑ ）单调递增，在x=−❑ 处取得极小值，在x=❑ 处取得极大值．
a a a
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/3 11:06:46；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663
题型分类 知识讲解与常考题型
一．二次函数的最值（共4小题）
1．已知实数a，b，函数y＝2aex﹣2+b的图象经过点（2，1），则a2+b2的最小值为（ ）
1 ❑√5 1 1
A． B． C． D．
2 5 4 5
【考点】二次函数的最值．
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【分析】根据条件可知1＝2a+b，将b＝1﹣2a代入a2+b2，化为a二次函数利用配方法求最小值即可．
【解答】解：因为函数y＝2aex﹣2+b的图象经过点（2，1），所以1＝2a+b，则b＝1﹣2a，
2 1 2
所以a2+b2＝a2+（1﹣2a）2＝5a2﹣4a+1＝5（a− ）2+ ，开口向上，对称轴a= ，
5 5 5
2 1
所以当a= 时，a2+b2的最小值为 ．
5 5
故选：D．
【点评】本题考查指数型函数恒过定点的求法及二次函数的最小值的求法，属于基础题．
b
（多选）2．若x
R，函数f(x)=ax2−2x+
的值域是[0，+∞），且m≠n，则下列结论中正确的是（
4
） ∈
A．a＞0
B．ab＝4
1
C．若f（m）＝f（n），则m+n=
a
1 1
D． ≤
a2+b2 8【考点】二次函数的最值．
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【分析】A中，由函数的值域可得a＞0，判断出A的真假；B中，由函数的最小值及基本不等式可得ab
的值，判断出B的真假；C中，由函数的对称轴方程，可得m+n的值，判断出C的真假；D中，由A选
项的分析及基本不等式可得不等式的真假，判断出D的真假．
【解答】解：A中，函数的值域可得a＞0，所以A正确；
1 1 1 b
B中，由题意可得f（x） ＝f（ ）＝a• −2• + =0，可得ab＝4，所以B正确；
min a a2 a 4
2
C中，因为f（m）＝f（n），可得m+n= ，所以C不正确；
a
1 1 1
D中，由A选项分析，可得 ≤ = ，所以D正确．
a2+b2 2ab 8
故选：ABD．
【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
3．已知f（x）＝ax2+2x﹣a（a＞0），函数y＝f（x），x R有最小值m（a），则m（a）的最大值为 ﹣
2 ．
∈
【考点】二次函数的最值．
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1 1 1
【分析】由f（x）＝ax2+2x﹣a（a＞0）有f(x)=a(x+ ) 2− −a，即可得m(a)=− −a，根据基本
a a a
不等式即可求解．
1 1
【解答】解：由题意可得，f(x)=a(x+ ) 2− −a，a＞0，
a a
1
根据二次函数的性质可得，m(a)=− −a，a＞0，
a
1 √ 1
因为a+ ≥2❑a⋅ =2，当且仅当a＝1时取等号，
a a
1
故m(a)=−(a+ )≤−2，所以m（a）的最大值为﹣2．
a
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数性质，基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
4．已知函数f（x）＝x2﹣mx﹣3，m R．
（1）当m＝2时，求不等式f（x）∈＞0的解集；
（2）已知函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣4，求m．
【考点】二次函数的最值；解一元二次不等式．
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【分析】（1）由一元二次不等式求解可得；（2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得．
【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝x2﹣2x﹣3，
不等式f（x）＞0为x2﹣2x﹣3＞0，等价于（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，
∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．
m
（2）f（x）＝x2﹣mx﹣3的图象是抛物线，且开口向上，对称轴为x= ，
2
m 5
当 ＜−2，即m＜﹣4时，最小值为f（﹣2）＝4+2m﹣3＝﹣4，解得m=− ，
2 2
5
又m＜﹣4，∴m=− 应舍去；
2
m 5
当 ＞2即m＞4时，最小值为f（2）＝4﹣2m﹣3＝﹣4，解得m= ，
2 2
5
又m＞4，∴m= 应舍去；
2
m m m2 m2
当﹣2≤ ≤2，即﹣4≤m≤4时，最小值为f（ ）= − −3＝﹣4，解得m＝±2，
2 2 4 2
综上，m＝±2．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质应用问题，是中档题．
二．二次函数的图象及其对称性（共3小题）
5．二次函数y＝x2+（m﹣3）x+2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x ，x ，且0＜x ＜2＜x ，如
1 2 1 2
图所示，则m的取值范围是（ ）
1 1
A．m＜ 或m＞5 B．0＜m＜
2 2
1 1
C．m＜− 或m＞5 D．− ＜m＜0
2 2
【考点】二次函数的图象及其对称性．
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{f(2)＜0)
【分析】设函数f（x）＝y＝x2+（m﹣3）x+2m，由图可得： ，由此即可求解．
f(0)＞0
【解答】解：设函数f（x）＝y＝x2+（m﹣3）x+2m，{f(2)＜0) {4+2(m−3)+2m＜0)
由图可得： ，即 ，
f(0)＞0 2m＞0
1
解得0＜m＜ ，
2
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的根的分布问题，涉及到数形结合思想的应用，属于基础题．
（多选）6．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），其大致图象如图所示，下列结论正确的是（
）
A．abc＞0
B．4a+2b+c＜0
C．若方程a（x+1）（x﹣3）＝1有两个根x ，x ，且x ＜x ；则﹣1＜x ＜x ＜3
1 2 1 2 1 2
D．若方程|ax2+bx+c|＝m有四个根，则这四个根的和为4
【考点】二次函数的图象及其对称性．
版权所有
【分析】根据抛物线图象确定参数符号来判断选项A，由顶点坐标可得b＝﹣2a、c＝﹣3a，进而判断选
项B；由a（x+1）（x﹣3）＝1有两个根x 和x ，且x ＜x ，由图象即可判断选项C；讨论ax2+bx+c＝
1 2 1 2
±m，结合图象对称性或根与系数关系求四个根的和，可判断选项D．
【解答】解：选项A，∵抛物线的开口向上，则a＜0，
b
对称轴在y轴的右侧，− ＞0，则b＞0，
2a
又图象交y轴的正半轴，则c＞0，
∴abc＜0，A错误；
选项B，∵抛物线的顶点坐标（1，﹣4a），
b 4ac−b2
∴− =1， =−4a，
2a 4a
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴4a+2b+c＝4a﹣4a﹣3a＝﹣3a＞0，B错误；
选项C，由以上可知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，即y＝a（x+1）（x﹣3），
抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于（﹣1，0），（3，0），开口向下，其图象即已知图形，若方程a（x+1）（x﹣3）＝1有两个根x 和x ，且x ＜x ，
1 2 1 2
由图象可知，﹣1＜x ＜x ＜3，C正确；
1 2
选项D，若方程|ax2+bx+c|＝m有四个根，
则方程ax2+bx+c＝m与ax2+bx+c＝﹣m各有两根．
x +x
设方程ax2+bx+c＝m的两根分别为x 和x ，则 1 2=1，可得x +x ＝2，
1 2 1 2
2
x +x
设方程ax2+bx+c＝﹣m的两根分别为x 和x ，则 3 4=1，可得x +x ＝2，
3 4 3 4
2
所以这四个根的和为4，D正确，
故选：CD．
【点评】本题主要考查二次函数的图像以及二次函数的性质的应用，属中档题也是易错题．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则不等式bx2﹣cx≤6a的解集为 { x | 1 ≤ x ≤ 3 } ．
【考点】二次函数的图象及其对称性．
版权所有
【分析】先由函数图象求出a，b，c，然后结合二次不等式的求法即可求解．
【解答】解：由题意得，a＜0，c＝4，x＝﹣2，x＝4为ax2+bx+c＝0的根，
b 4
所以﹣2+4=− ，﹣2×4= ，
a a1
所以a=− ，b＝1，c＝4，
2
则bx2﹣cx≤6a可化为x2﹣4x+3≤0，
解得1≤x≤3．
故答案为：{x|1≤x≤3}．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程关系的应用，体现了转化思想及数形结合思想的应用，
属于基础题．
三．由二次函数的性质求解析式或参数（共3小题）
8．已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝x2+x+2，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝x2﹣x+2 B．f（x）＝x2+x﹣2
C．f（x）＝x2﹣x﹣2 D．f（x）＝x2+x+2
【考点】由二次函数的性质求解析式或参数．
版权所有
【分析】利用凑配法来求得正确答案．
【解答】解：已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝x2+x+2，
由于f（x+1）＝x2+x+2＝（x+1）2﹣（x+1）+2，
所以f（x）＝x2﹣x+2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数解析式相关知识，属于基础题．
9．已知二次函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝2x2﹣2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x）﹣2（m﹣1）x，x [﹣1，2]，求g（x）的最小值．
【考点】由二次函数的性质求解析式或参∈数；二次函数的最值．
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{
2a=2
)
【分析】（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），根据条件建立方程组 4a+2b=0 ，即可求解；
4a+2b+2c=−2
（2）由（1）可得g（x）＝（x﹣m）2﹣m2﹣1，x [﹣1，2]，对m分类讨论，利用二次函数的性质，即
可求解．
∈
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
因为二次函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝2x2﹣2，
所以a（x+2）2+b（x+2）+c+ax2+bx+c＝2x2﹣2，
即2ax2+（4a+2b）x+4a+2b+2c＝2x2﹣2，{
2a=2
)
所以 4a+2b=0 ，
4a+2b+2c=−2
{
a=1
)
解得 b=−2 ，
c=−1
所以f（x）＝x2﹣2x﹣1；
（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣2x﹣1，
所以g（x）＝f（x）﹣2（m﹣1）x＝（x﹣m）2﹣m2﹣1，x [﹣1，2]，
当m≤﹣1时，g（x）在[﹣1，2]上单调递增， ∈
所以g（x） ＝g（﹣1）＝2m，
min
当﹣1＜m＜2时，g(x) =g(m)=−m2−1，
min
当m≥2时，g（x）在[﹣1，2]上单调递减，
所以g（x） ＝g（2）＝3﹣4m，
min
{ 2m，m≤−1 )
综上，g(x) = −m2−1，−1＜m＜2 ．
min
3−4m，m≥2
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．
10．在①不等式 f（x）≤0 解集为{x|1≤x≤b+1}，② x R，f（2+x）＝f（2﹣x）且 f（0）＝3，
③ x R，2﹣2x≤f（x）≤2x2﹣6x+4，三个条件中任选一 ∀ 个 ∈ ，补充在下面问题中并作答．
问题∀：∈已知函数f（x）＝x2﹣2bx+c，且_____．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[m﹣1，n﹣1]，求m+n的值．
【考点】由二次函数的性质求解析式或参数．
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【分析】（1）选择①，利用给定解集与方程根的关系求出 b，c，进而求出函数的解析式；选择②，
利用对称性及给定函数值求出b，c，进而求出函数的解析式；选择③，由不等式恒成立可得Δ≤0，求
出b，c，进而求出函数的解析式；
（2）求出f（x）在R上的最小值，可得m≥0，再按n≤2，m≤2＜n，m＞2分类讨论求解．
【解答】解：（1）选择①，不等式f（x）≤0解集为{x|1≤x≤b+1}，
则1，b+1是方程x2﹣2bx+c＝0的两个实根，
{1+b+1=2b)
于是 ，解得b＝2，c＝3，
1×(b+1)=c
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣4x+3；选择②， x R，f（2+x）＝f（2﹣x）且f（0）＝3，由c＝f（0）＝3，且x＝2是f（x）图象的对称轴，
则b＝2，所∀以∈函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣4x+3；
选择③， x R，2﹣2x≤f（x）≤2x2﹣6x+4，
由 x R，∀2﹣∈2x≤f（x），可得x2﹣（2b﹣2）x+c﹣2≥0，
得∀Δ＝∈4（b﹣1）2﹣4（c﹣2）≤0，即b2﹣2b﹣c+3≤0，①
且（2x2﹣6x+4）﹣f（x）≥0，即x2﹣（6﹣2b）x+4﹣c≥0，
则Δ＝（6﹣2b）2﹣4（4﹣c）≤0，
即b2﹣6b+c+5≤0，②
①+②可得b2﹣4b+4≤0，可得b＝2，
将b＝2代入①可得，c≥3，
b＝2代入②可得：4﹣12+c+5≤0，即c≤3，
所以c＝3，
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣4x+3；
（2）由（1）知f（x）＝（x﹣2）2﹣1≥﹣1，当且仅当x＝2时取等号，
由函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[m﹣1，n﹣1]，得m﹣1≥﹣1，解得m≥0，
当n≤2时，f（x）在[m，n]上单调递减，
{f(m)=n−1) {(m−2) 2=n)
则 ，即 ，两式相减整理可得m+n＝3，由（n﹣2）2＝3﹣n，得n2﹣3n+1＝
f(n)=m−1 (n−2) 2=m
0，
3+❑√5 3−❑√5 3
解得n= ＞2，或n= ＜ ，
2 2 2
3
因为n＞m，所以 ＜n≤2，则可得无解；
2
当m≤2＜n时，f（x） ＝f（2）＝﹣1，则m＝0，
min
若f（m）＝n﹣1，则n＝4，此时f（4）＝3，满足题意，因此m+n＝4；
当m＞2时，f（x）在[m，n]上单调递增，
{f(m)=m−1)
则 ，即m，n是方程f（x）＝x﹣1的两个实根，
f(n)=n−1
因此m，n是方程x2﹣5x+4＝0的根，m＝1，n＝4，不满足m＞2，无解．
综上所述：m+n＝4．
【点评】本题考查函数的解析式的求法及二次函数的性质的应用，属于基础题．四．解一元二次不等式（共3小题）
11．已知不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|3＜x＜4}，则cx2+bx+1＞0的解集为（ ）
1 1 1 1
A．(− ，− ) B．(−∞，− )∪(− ，+∞)
3 4 3 4
1 1 1 1
C．( ， ) D．(−∞， )∪( ，+∞)
4 3 4 3
【考点】解一元二次不等式．
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【分析】由题意得3，4是方程x2+bx+c＝0的两个根，求得b＝﹣7，c＝12，代入计算即可求解．
【解答】解：由题意可知，3，4是方程x2+bx+c＝0的两个根，
即b＝﹣7，c＝12，
1 1
代入可得12x2﹣7x+1＞0，（3x﹣1）（4x﹣1）＞0，解得x＜ 或x＞ ，
4 3
1 1
所以cx2+bx+1＞0的解集为(−∞， )∪( ，+∞)．
4 3
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
12．不等式（x﹣2）（1﹣2x）≥0的解集为（ ）
1 1
A．{x|x＞ } B．{x| ≤x≤2}
2 2
1
C．{x|x≤0.5或x≥2} D．{x|x≤ }
2
【考点】解一元二次不等式．
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【分析】直接解一元二次不等式可得答案．
【解答】解：不等式（x﹣2）（1﹣2x）≥0即为（x﹣2）（2x﹣1）≤0，
1
解得 ≤x≤2，
2
1
故原不等式的解集为{x| ≤x≤2}．
2
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的求解，属于基础题．
13．已知集合A＝{x|2x+3＜5}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，若B⫋A，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）
【考点】解一元二次不等式；集合的包含关系的应用．
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【分析】解不等式化简集合A，B，再利用集合的包含关系求解．【解答】解：A＝{x|2x+3＜5}＝{x|x＜1}，
B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}＝{x|a＜x＜a+1}，
若B⫋A，则a+1≤1，解得a≤0，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，0]．
故选：C．
【点评】本题考查集合间的关系及应用，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
五．由一元二次不等式的解求参数（共5小题）
14．关于x的不等式（a﹣1）x2﹣ax+a+1≥0的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
2❑√3
A．a＞1 B．a≥
3
2❑√3 2❑√3 2❑√3 2❑√3
C．− ≤a≤ D．a≤− 或a≥
3 3 3 3
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
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【分析】讨论a﹣1＝0和a﹣1≠0时，求出不等式的解集为R时a的取值范围即可．
【解答】解：当a﹣1＝0，即a＝1时，不等式为﹣x+2≥0，解集不是R，不满足题意；
{ a−1＞0 ) 2❑√3
当a﹣1≠0时，应满足 ，解得a≥ ，
Δ=(−a) 2−4(a−1)(a+1)≤0 3
2❑√3
所以实数a的取值范围是{a|a≥ }．
3
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解集为R的应用问题，是基础题．
1
15．若关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是( ，−2)，则a的取值范围是（ ）
a
1 1
A．(−∞，− ) B．(− ，+∞)
2 2
1 1
C．(− ，0) D．(− ，0)∪(0，+∞)
2 2
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
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【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解．
1
【解答】解：因为关于x的不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是( ，−2)，
a
1
所以a＜0且 ＜−2，
a1
解得− ＜a＜0．
2
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础题．
16．若关于x的不等式2ax2﹣4x＜ax﹣2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．[1，2） C．（0，2） D．（0，2]
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
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【分析】由已知结合二次不等式的求法对a的范围进行分类讨论，即可求解．
【解答】解：2ax2﹣4x＜ax﹣2，即（2x﹣1）（ax﹣2）＜0，
1
当a＝0时，不等式的解集为( ，+∞)，不符合题意；
2
2 1
当a＜0时，不等式的解集为(−∞， )∪( ，+∞)，不符合题意；
a 2
当a＞0时，若a＝4，不等式的解集为 ，不符合题意；
1 2 ∅ 2
若0＜a＜4，不等式的解集为( ， )，故只需满足1＜ ≤2，解得1≤a＜2；
2 a a
2 1
若a＞4，不等式的解集为( ， )，不符合题意．
a 2
综上所述，1≤a＜2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含参数二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
c2−b2+1
17．若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则 （ ）
2a
❑√3
A．有最小值 B．有最小值❑√3
2
C．有最小值3 D．无最小值
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
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【分析】结合二次不等式与二次方程及方程根与系数关系可得a，b，c的关系，代入到所求式子，然后
结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，b
{−1+2=−
)
a
所以 c ，所以b＝﹣a，c＝﹣2a，
−1×2=
a
a＞0
c2−b2+1 4a2−a2+1 3a 1 √3a 1
则 = = + ≥2❑ ⋅ =❑√3，
2a 2a 2 2a 2 2a
3a 1 ❑√3
当且仅当 = ，即a= 时取等号．
2 2a 3
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于
基础题．
4
18．关于x的不等式mx2+10x+8＜0的解集为(a， )，其中a＜0，则m+a的值为 ﹣ 2 ．
a
【考点】由一元二次不等式的解求参数．
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4
【分析】由题可得mx2+10x+8＝0的两根为a， ，然后由韦达定理可得答案．
a
4
【解答】解：因关于x的不等式mx2+10x+8＜0的解集为(a， )，
a
4
则mx2+10x+8＝0的两根为a， ，
a
4 10
{a+ =− )
a m
由韦达定理 ，
4 8
a⋅ =
a m
4
所以m＝2，a＝﹣1或a＝﹣4，因 ＞a，则a＝﹣4，从而m+a＝﹣4+2＝﹣2．
a
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查 二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题．
六．一元二次不等式恒成立问题（共7小题）
19．若关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是R，则m的取值范围是（ ）
A．{m|﹣4≤m≤0} B．{m|﹣4＜m≤0} C．{m|0≤m＜4} D．{m|﹣4＜m＜0}
【考点】一元二次不等式恒成立问题．
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【分析】由已知结合函数的性质对a的范围进行分类讨论，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：若关于x的不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解集是R，当m＝0时，﹣1＜0恒成立，符合题意；
{ m＜0 )
当m≠0，根据二次函数的性质可知， ，解得﹣4＜m＜0，
Δ=m2+4m＜0
故m的范围为（﹣4，0]．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
20．若不等式（ax﹣2）（x﹣b）≥0对任意的x R恒成立，则a+2b的最小值为（ ）
A．3 B．2❑√2 ∈C．4 D．3❑√2
【考点】一元二次不等式恒成立问题．
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【分析】分a＝0和a≠0两种情况讨论，结合二次函数的性质可得 ab＝2，且a＞0，b＞0，再利用基本
不等式求解即可．
【解答】解：不等式（ax﹣2）（x﹣b）≥0对任意的x R恒成立，即不等式ax2﹣（ab+2）x+2b≥0，
当a＝0时，不等式化为﹣2x+2b≥0，这不可能对任意x∈ R恒成立，
{ a＞0 ) ∈
当a≠0时，则 ，
Δ=(ab+2) 2−4a×2b≤0
解得ab＝2，且a＞0，b＞0，
所以a+2b≥2❑√a⋅2b=4，当且仅当a＝b=❑√2时，等号成立，
所以a+2b的最小值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
21．已知不等式（x﹣m）（x2﹣nx﹣2）≥0对任意x＞0恒成立，则m2+n2的最小值为（ ）
A．4❑√2−4 B．4 C．4❑√2 D．4❑√2+2
【考点】一元二次不等式恒成立问题；运用基本不等式求最值；由一元二次不等式的解求参数．
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【分析】根据题意，由不等式恒成立可得 m＞0，且x＝m是方程x2﹣nx﹣2＝0的一个正根，从而可得
m，n的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果．
【解答】解：不等式（x﹣m）（x2﹣nx﹣2）≥0对任意x＞0恒成立，
当x＝m时，（x﹣m）（x2﹣nx﹣2）＝0，
若m≤0，当x＞0时，要使不等式（x﹣m）（x2﹣nx﹣2）≥0对任意x＞0恒成立，
则y＝x2﹣nx﹣2≥0对任意x＞0恒成立，
当x＝0时，y＝﹣2＜0不满足题意，所以m＞0，且x＝m是方程x2﹣nx﹣2＝0的一个正根，
m2−2 2
将x＝m代入x2﹣nx﹣2＝0可得m2﹣mn﹣2＝0，即n= =m− ，
m m2 2 4 √ 4
则m2+n2=m2+(m− ) =2m2+ −4≥2❑2m2 ⋅ −4=4❑√2−4，
m m2 m2
4
当且仅当2m2=
时，即n＝0，m=❑√2时，等号成立，
m2
所以m2+n2的最小值为4❑√2−4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
π
22．若关于x的不等式（m﹣1）sin2x﹣msinx+m﹣1＞0在[0， ]上恒成立，则m的取值范围是（ ）
2
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（2，4] D．[3，4]
【考点】一元二次不等式恒成立问题；正弦函数的定义域和值域．
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【分析】不等式可化为 m（sin2x﹣sinx+1）＞1+sin2x，设 t＝sinx，则 t [0，1]；不等式化为 m
1+t2
∈
＞ ，由此求解即可．
t2−t+1
【解答】解：不等式（m﹣1）sin2x﹣msinx+m﹣1＞0可化为m（sin2x﹣sinx+1）＞1+sin2x，
π
因为x [0， ]，所以sinx [0，1]，设t＝sinx，则t [0，1]；
2
∈ ∈ ∈
所以不等式可化为m（t2﹣t+1）＞1+t2，
1 2 3
又t2﹣t+1=(t− ) + ＞0，
2 4
1+t2 t
所以m＞ =1 + ，
t2−t+1 t2−t+1
t＝0时，m＞1；
1
+
t≠0时，m＞1 1 ，
t+ −1
t
1 1
因为t+ ≥2，当且仅当t= ，即t＝1时取等号，
t t
1
+
所以 1 1≤2，
t+ −1
t
综上，m的取值范围是（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了转化思想，是中档题．23．若a，b R，对 x [﹣2，2]，均有（2a+b）x2﹣bx﹣a﹣1≤0恒成立，则2a+b的取值范围为 [ ﹣ 4 ，
2
∈ ∀ ∈
] ．
7
【考点】一元二次不等式恒成立问题．
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{ f(2)=7a+2b−1≤0 ) 2
【分析】令2a+b＝t，由 ，求出t≤ ，再将不等式化为对 x [﹣2，2]，tx2﹣
f(−2)=7a+6b−1≤0 7
∀ ∈
1
（t﹣2a）x﹣a﹣1≤0，取x= ，解不等式求出t≥﹣4，再验证即可．
2
{ f(2)=7a+2b−1≤0 )
【解答】解：令f（x）＝（2a+b）x2﹣bx﹣a﹣1，所以 ，
f(−2)=7a+6b−1≤0
1−2t
设2a+b＝t，则b＝t﹣2a，将b＝t﹣2a代入7a+2b﹣1≤0，得7a+2（t﹣2a）﹣1≤0，即a≤ ，
3
6t−1
将b＝t﹣2a代入7a+6b﹣1≤0，得7a+6（t﹣2a）﹣1≤0，即a≥ ，
5
6t−1 1−2t 6t−1 1−2t 2
由 ≤a≤ ，可得 ≤ ，解得t≤ ．
5 3 5 3 7
又原不等式可化为对 x [﹣2，2]，tx2﹣（t﹣2a）x﹣a﹣1≤0，
∀ ∈1 1 1
为了消去a，不妨取x= ，可得 t− (t−2a)−a−1≤0，解得t≥﹣4，
2 4 2
1 1
当t＝﹣4时，原不等式可化为﹣4x2﹣（﹣4﹣2a）x﹣a﹣1≤0，即−[2x−( a+1)] 2+ a2≤0，
2 4
1
观察可知，当a＝0 时，﹣（2x﹣1）2≤0对x [﹣2，2]恒成立，当且仅当x= 取等号，
2
∈
此时a＝0，b＝﹣4，说明当t＝﹣4时，a，b均可取到，满足题意；
2
所以2a+b的取值范围为[﹣4， ]．
7
2
故答案为：[﹣4， ]．
7
【点评】本题考查一元二次不等式恒成立问题，利用换元法解题，属于难题．
1
24．若关于x的不等式x2﹣4x+1﹣ax＞0在区间[1，4]内有解，则实数a的取值范围是 (−∞， ) ．
4
【考点】一元二次不等式恒成立问题；对勾函数．
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1
【分析】由题意，将参数分离，根据能成立问题可得a＜(x+ −4) ，结合双勾函数的性质即可求
x
max
解．【解答】解：不等式x2﹣4x+1﹣ax＞0在区间[1，4]内有解，
x2−4x+1 1
即a＜ =x+ −4在[1，4]上有解，
x x
1
所以a＜(x+ −4) ，
x
max
1 1
由双勾函数性质，得(x+ −4) = ，x∈[1，4]，
x 4
max
1
∴a＜ ．
4
1
故答案为：(−∞， )．
4
【点评】本题主要考查了存在性问题与最值关系的转化，属于基础题．
25．已知当x [0，+∞）时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立，则实数m的取值范围为 { m | m ＜ 6 } ．
【考点】一∈元二次不等式恒成立问题．
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【分析】由已知先分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：当x [0，+∞）时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立，
当x＝0时，9＞0恒∈成立，
x2+9 9
当x＞0时，可得m＜ =x+ 恒成立，
x x
9 √ 9
因为x+ ≥2❑ x⋅ =6，当且仅当x＝3时取等号，
x x
所以m＜6．
故答案为：{m|m＜6}．
【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．
七．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共7小题）
26．若方程x2﹣2x﹣lg（2a2﹣a）＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围是（ ）
1 1
A．a＞1或a＜− B．− ＜a＜1
2 2
1
C．a＞− D．a＜1
2
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数函数的图象．
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【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系，韦达定理可得两根之积﹣lg（2a2﹣a）＜0，即2a2
﹣a＞1，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣lg（2a2﹣a）＝0有一个正根和一个负根，∴两根之积﹣lg（2a2﹣a）＜0，故lg（2a2﹣a）＞0，
1
∴2a2﹣a＞1，求得a＞1或a＜− ，
2
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理的应用，属于基础题．
27．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的两个实数根，且x （0，1），x （1，2），则
1 2 1 2
实数b的取值范围为（ ）
∈ ∈
1 3
A．（0，+∞） B．(0， ) C．（0，1） D．(0， )
2 2
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
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【分析】根据一元二次函数的图像和零点存在定理求解b的取值范围．
【解答】解：因为x ，x 是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的两个实数根，且x （0，1），x
1 2 1 2
（1，2），
∈ ∈
可得x ，x 为函数f（x）＝x2+ax+2b的两个零点，
1 2
{f(0)＞0 ) { 2b＞0 ) { b＞0 )
利用零点存在定理可得： f(1)＜0 ，即 a+2b+1＜0 ，所以 a＜−1−2b ，
f(2)＞0 2a+2b+4＞0 a＞−b−2
{ b＞0 )
所以 ，
−b−2＜−1−2b
解得0＜b＜1．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，属于基础题．
2a
28．已知关于 x 的不等式 x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x ，x ），则 x +x + 的最大值是
1 2 1 2 x x
1 2
（ ）
4❑√6 4❑√6 4❑√3 4❑√3
A． B．− C． D．−
3 3 3 3
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；运用基本不等式求最值；由一元二次不等式的解求参
数．
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【分析】根据已知条件可得x +x ＝4a，x x ＝3a2，再利用基本不等式相关知识可解．
1 2 1 2
【解答】解：已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x ，x ），
1 2
则x +x ＝4a，x x ＝3a2，
1 2 1 2
则x +x + 2a = 4a + 2a = 4a+ 2 =−[（﹣4a）+ 2 ]≤−2❑ √ (−4a)⋅ 2 =− 4❑√6 ，
1 2 x x 3a2 3a −3a −3a 3
1 22 ❑√6
当且仅当﹣4a=− 时，即a=− 时，取等号，
−3a 6
2a 4❑√6
则x +x + 的最大值是− ．
1 2 x x 3
1 2
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式相关知识，属于中档题．
29．若关于x的方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x ，x ，且0＜x ＜x ＜4，则实数a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5）
C．（4，5） D．（4，8）
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
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【分析】根据两相异实根x ，x ，满足0＜x ＜x ＜4得到关于a的不等式组，再解不等式组可得答案．
1 2 1 2
【解答】解：根据题意，方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x ，x ，且0＜x ＜x ＜4，
1 2 1 2
{0＜x
1
+x
2
＜8
)
则 a2−16＞0 ，
42−4a+4＞0
得4＜a＜5，
则a的取值范围为（4，5）．
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系等相关知识，属于中档题．
30．若二次方程x2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有两个不相等的实根，则a的取值范围是（ ）
13
A．(10+4❑√3，+∞) B．( ，6)
5
13
C．( ，10−4❑√3) D．(2，10+4❑√3)
5
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
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【分析】结合二次方程根的分布条件建立关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：因为二次方程x2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有两个不相等的实根，
{
Δ=(a−6) 2−4(2a−4)＞0
)
a−6
0＜− ＜3 13
所以 2 ，解得 ＜a＜10−4❑√3．
5
2a−4＞0
9+3(a−6)+2a−4＞0
故选：C．【点评】本题主要考查了二次方程根的分布，属于基础题．
31．关于x的方程x2+（a﹣2）x+5﹣a＝0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数a的取值范围是
（ ）
A．{a|a＜﹣5或a＞﹣4} B．{a|﹣5＜a＜﹣4}
C．{a|a＜﹣5} D．{a|a＞﹣4}
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
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【分析】根据已知条件，得到不等式组，即可求解．
【解答】解：设f（x）＝x2+（a﹣2）x+5﹣a，
{ f(2)＜0 ) { 4+2(a−2)+5−a＜0 )
由题意可知， f(3)＜0 ，即 9+3(a−2)+5−a＜0 ，解得a＜﹣5，
Δ=(a−2) 2−4(5−a)＞0 Δ=(a−2) 2−4(5−a)＞0
故实数a的取值范围是{a|a＜﹣5}．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布，属于基础题．
32．记[x]表示不大于x的最大整数，例如[ ]＝3，[﹣e]＝﹣3，则方程x2+2[x]﹣2＝0所有解的和为 ﹣ 2
❑√2−❑√10 ．
π
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
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【分析】由已知定义对x分类分析求解．
【解答】解：当x≥1时，2[x]≥2，x2≥1，原方程显然不成立；
当0≤x＜1时，原方程化为x2＝2，即x=±❑√2（舍去）；
当﹣1≤x＜0时，原方程化为x2＝4，即x＝±2（舍去）；
当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x2＝6，即x=±❑√6（舍去）；
当﹣3≤x＜﹣2时，原方程化为x2＝8，即x=−2❑√2，或x＝2❑√2（舍去）；
当﹣4≤x＜﹣3时，原方程化为x2＝10，即x=−❑√10，或x=❑√10（舍去）；
当﹣5≤x＜﹣4时，原方程化为x2＝12，即x=±❑√12（舍去）；
...；
由上可得，方程x2+2[x]﹣2＝0有两个根，−2❑√2，−❑√10，
则方程x2+2[x]﹣2＝0所有解的和为﹣2❑√2−❑√10．
故答案为：﹣2❑√2−❑√10．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，考查运算求解能力，是中档题．课后针对训练
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·模拟预测）若“ ”是“ ”的一个充分不必要条件，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于 的不等式 的解集是 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川攀枝花·一模）命题“ ”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·陕西渭南·二模）若关于 的不等式 有且只有一个整数解，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知 “ ”是 ：“ ”成立的必
要不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·山东·开学考试）已知关于 的不等式 的解集为 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若关于 的不等式 的解集是 或 ，则
B．若集合 有且仅有两个子集，则 的最大值为
C．若 ，则 的最大值为
D．若 ，且关于x的不等式 的解集中有且仅有三个正整数，则实数 的取值范围是
三、填空题
9．（2024·上海·高考真题）已知 则不等式 的解集为 ．
10．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ．
11．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式 对任意 都成立，则实数 的取值
范围是 ．
12．（2025·广西南宁·模拟预测）设 ，我们常用 来表示不超过 的最大整数．如：
．若 ，则 ，若 是方程 的实数解，
则 ．
13．（2025·山东·二模）已知不等式 对任意的 恒成立，则实数a的最小值为
．
14．（2025·辽宁·二模）命题p:“ ， ”是假命题，则m的取值范围是 ．
15．（2025·河北石家庄·一模）已知方程 有且仅有两个不相等的正实数根，则实
数 的取值范围是 .
四、解答题16．（2010·河北秦皇岛·一模）已知 .
(1)解关于 的不等式
(2)若不等式 的解集为 ，求实数 的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C B B C ACD
1．C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】 即为 即 ，故 ，
故解集为 .
故选：C.
2．D
【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数 的取值范围.
【详解】由题意可得 ，且 ，
又
，
，
则 解得 ，
故选：D．
3．C
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【详解】因为关于 的不等式 的解集是 ，
所以 且 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
故选： .
4．C
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“ ”的否定，
即命题“ ”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有 ，
解得 .
故选：C.
5．B
【详解】当 时，解得： ，不满足条件；
故 ，关于 的不等式 可得 ，
所以 ，即 ，
方程 的两根为 ，
当 时，不等式可化为 ， ，
解集为： ，不满足条件；
当 时，不等式可化为 ，
当 时，则 ，即 ，不等式的解集为： ，
要使不等式有且只有一个整数解，则 ，又因为 ，不满足条件；
当 时，则 ，即 ，不等式的解集为空集，
当 时，则 ，即 ，不等式的解集为 ，要使不等式有且只有一个整数解，则 ，解得： ，
故实数 的取值范围是： .
故选：B.
6．B
【分析】解二次不等式分别求出 和 的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可.
【详解】因为 ，即 ，
则 或 ，即 ，
又 是 的必要不充分条件，则 或 ，即 或 .
则 的取值范围为 .
故选：B
7．C
【分析】根据韦达定理可得 ，即可代入化简，利用基本不等式求解即可.
【详解】由于 的解集为 ，故 是方程 的两个实数根，
故 ，即 ，
因此 ，
由于 ，则 ，故 ，当且仅当 取等号，
故 ，
故选：C
8．ACD
【分析】对于A选项，根据一元二次不等式解集与方程根的关系来确定参数的值，再验证等式.
对于B选项，运用集合 有且仅有两个子集，得到方程 有一个根，借助根的判
别式，得到 ， 关系式，化简式子，再求最值即可.
对于C选项，先根据已知条件得到 与 的关系，再利用换元数学方法，结合基本不等式求式子的最大值.对于D选项，根据不等式的解集以及已知条件确定 的取值范围.
【详解】对于A选项，因为关于 的不等式 的解集是 或 ，
则 和 是 两根. 由韦达定理， ，
解得 ， . 则 ，所以A选项正确.
对于B选项，运用集合 有且仅有两个子集，则方程 有一个根，所以判别式
，即 ，可得 .
把 代入 得：
所以当 时， 取得最大值 .所以B选项错误.
对于C选项，若 ，则 ，即 .
令 ，则 . 所以
.
令 ，则 .
对 求最大值， .
根据均值不等式 ，当且仅当 时取等号.
所以 ，所以C选项正确.
对于D选项，当 时， .
因为不等式 的解集中有且仅有三个正整数，令 ，
则 的解集中有且仅有三个正整数,所以 , 的解集为 ,
所以 的解集中有且仅有三个正整数 ， ， ，
则 ，解得 ，所以D选项正确.故选：ACD.
9．
【分析】求出方程 的解后可求不等式的解集.
【详解】方程 的解为 或 ，
故不等式 的解集为 ，
故答案为： .
10．
【分析】由不等式 的解集为 ，可得到 且 ,代入一元二次不等式求解即可.
【详解】由题干知，不等式 的解集为 ，
可得到 ，代入一元二次不等式得
，
由于 ，所以 ，即 .
故答案为：
【点睛】
11．
【分析】先将原不等式变形，然后分 和 两种情况进行讨论，当 时直接判断不等式是否恒
成立，当 时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出 的取值范围.
【详解】原不等式等价于 ，
当 时，对 ，不等式恒成立；
当 时，则有 ，解得：
综上所述，实数 的取值范围是
故答案为： .
12． 或 或
【分析】由 ，及 ，可得 ，由 可得 ，进而可得，分类结合 可得.
【详解】若 ，则 ，故
因为 ，故 ，
因为 ，故 ，故 ，故 ，
若 ，则 ，又 ，故 符合；
若 ，则 ，故 ，又 ，不符合 ，均舍；
若 ，则 ，故 ，又 ，故 符合；
若 ，则 ，故 ，又 ，故 符合；
综上， 或 或 ．
故答案为： ， 或 或
13．
【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为不等式 对任意的 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，
又当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，所以实数a的最小值为 .
故答案为： .
14．
【分析】根据题意， 为真命题，恒成立问题分离参数求解.
【详解】由题， 为真命题，
所以 ，对 ，
又 在 上的最小值为 ，
，
所以实数 的取值范围为 .故答案为： .
15．
【分析】根据 的正负以及 的正负分类讨论，结合图象确定 的取值范围.
【详解】（1）当 时，方程 化为： ，此时无解，舍去；
（2）当 时，考虑方程正实数根情况，只需研究当 时方程 解的情况，
即此时方程化为 ，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（3）当 时，因为 ，
所以方程 化为 ，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（4）当 时，函数 与 轴有两个零点
函数 与 轴有两个零点
因为 ，所以 即
作出函数 与函数 图象，由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程 有两个不相等
的正实数根，
综上，满足条件 的取值范围为 或 ，即
故答案为：
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出 ，结合二次不等式的求解方法可得答案；
（2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案.
【详解】（1）由题意知 ，即 ，
解得 .
所以所求不等式的解集为 .
（2）不等式 的解集为 ，所以方程 的两根为 ，
所以 ，解得 ，
故 的值为 ， 的值为 .
