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专题05 三角函数
目录一览
2023 真题展现
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
真题考查解读
近年真题对比
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
考向三 同角三角函数间的基本关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 三角函数的图象与性质
1．（2023•新高考Ⅱ•第15 题）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B 是直线y= 1
2与曲线y＝f（x）
的两个交点，若|AB|= π
6 ，则f（π）＝
．
2．（2023•新高考Ⅰ•第15 题）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3 个零点，则
ω 的取值范围是
．
考向二 三角恒等变换
3．（2023•新高考Ⅱ•第7 题）已知α 为锐角，cosα= 1+√5
4
，则sinα
2 =（ ）
A．3−√5
8
B．−1+√5
8
C．3−√5
4
D．−1+√5
4
1
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4．（2023•新高考Ⅰ•第8 题）已知sin（α﹣β）= 1
3，cosαsinβ= 1
6，则cos（2α+2β）＝（ ）
A．7
9
B．1
9
C．−1
9
D．−7
9
【命题意图】
考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=Asin（wx+
）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．
【考查要点】
三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助
角公式等．常考查y=Asin（wx+
）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．
【得分要点】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：sinα
cosα =tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（π
2 −α）＝cosα，cos（π
2 −α）＝sinα．
公式六：sin（π
2 +α）＝cosα，cos（π
2 +α）＝﹣sinα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．
（5）T（α+β）：tan（α+β）= tanα +tanβ
1−tanαtanβ ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= tanα −tanβ
1+tanαtanβ ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα．
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
2
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（3）T2α：tan 2α=
2tanα
1−tan
2α ．
5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ−π
2 ，2kπ+ π
2 ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+ π
2 ，2kπ+ 3 π
2 ）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ−π
2 ，kπ+ π
2 ）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+ π
2 （k∈Z）时，ymax
＝1；
x＝2kπ−π
2 （k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝
1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）
（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+ π
2 ，k∈Z
对称中心：（kπ+ π
2 ，0）
（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（kπ
2 ，0）
（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
6．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
y＝sin x 的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
3
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7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A= M −m
2
，k= M +m
2
，ω 由周期T 确定，
即由2π
ω =T 求出，φ 由特殊点确定．
考向一 三角函数的图象与性质
1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+
）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若
＜T＜π，且y
＝f（x）的图像关于点（
，2）中心对称，则f（
）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．3
2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（
，0）中心
对称，则（ ）
A．f（x）在区间（0，
）单调递减
B．f（x）在区间（﹣
，
）有两个极值点
C．直线x＝
是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝
﹣x 是曲线y＝f（x）的切线
3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣
）单调递增的区间是（ ）
A．（0，
）
B．（
，π）
C．（π，
）
D．（
，2π）
考向二 三角恒等变换
4
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4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2
cos（α+
）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1
B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1
D．tan（α+β）＝﹣1
考向三 同角三角函数间的基本关系
5．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则
＝（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定
函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5~10 分。
一．三角函数的周期性（共3 小题）
1．（2023•江西模拟）已知函数
，则（ ）
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）在
上单调递增
C．f（x）的图象关于点
对称
D．f（x）在
上的值域是
2．（2023•河东区一模）已知函数
，下列说法错误的为（ ）
A．最小正周期为
B．f（x）为偶函数
C．在
单调递减
D．
3．（2023•商洛三模）记函数
的最小正周期为T，且f
（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3 个零点，则ω 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．运用诱导公式化简求值（共4 小题）
4．（2023•南关区校级模拟）已知
，
，则角θ 所在的象限是
5
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（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（2023•抚松县校级模拟）已知tanθ＝2，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023•南宁模拟）已知sin2α＝cosα﹣1，则
＝（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．
7．（2023•通州区模拟）已知
，α 是第一象限角，且角α，β 的终边关于y 轴对称，则tanβ＝（
）
A．
B．
C．
D．
三．正弦函数的图象（共4 小题）
8．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在区间
上单调，
且满足
．若函数f（x）在区间
上恰有5 个零点，则ω 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023•惠州模拟）记函数f（x）＝sin（ωx+
）+b（ω＞0）的最小正周期为T，若
＜T＜π，且y
＝f（x）的图象关于点（
，2）中心对称，则f（
）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．3
10．（2023•如皋市校级模拟）已知直线y＝kx+t 与函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象恰有两个
切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为k1和k2，且k1＞k2，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023•濮阳模拟）已知f（x）＝sin（3x+φ）（|φ|＜
）为奇函数，若对任意α∈[﹣
，
]，存
6
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在β∈[﹣
，α]，满足f（α）+f（β）＝0，则实数α 的取值范围是 ．
四．正弦函数的单调性（共9 小题）
12．（2023•湖南三模）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足
，
且f（x）在
上单调，则ω 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023•广州二模）已知函数
的图象关于点
对称，且f
（x）在
上单调，则ω 的取值集合为（ ）
A．{2}
B．{8}
C．{2，8}
D．{2，8，14}
14．（2023•泸县校级模拟）已知函数
，且在
上单调
递增，则满足条件的ω 的最大值为 ．
15．（2023•大理州模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
），x＝﹣
是函数f（x）的
一个零点，x＝
是函数f（x）的一条对称轴，若f（x）在区间（
，
）上单调，则ω 的最大值是
（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
16 ．（2023• 雁塔区校级三模）已知函数f （x ）＝sinωx+cosωx ，其中ω ＞0 ．若f （x ）在区间
上单调递增，则ω 的取值范围是（ ）
A．（0，4]
B．
C．
D．
17．（2023•广西一模）函数
恒有f（x）≤f（π），且f（x）在
上单
调递增，则ω 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
18．（多选）（2023•福建模拟）已知函数f（x）＝sin
（ω＞0）满足：f（
）＝2，f（
）＝0，则（ ）
A．曲线y＝f（x）关于直线
对称
7
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B．函数y＝f（
）是奇函数
C．函数y＝f（x）在（
，
）单调递减
D．函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]
19 ．（多选）（2023• 运城三模）已知函数
，满足
，
，且在
上单调，则ω 的取值可能为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
20．（2023•青羊区校级模拟）已知函数
，
，
，且f（x）在
上单调，则ω 的最大值为
5
．
五．正弦函数的奇偶性和对称性（共7 小题）
21．（2023•大通县一模）下列坐标所表示的点是函数
图象的对称中心的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2023•浉河区校级三模）已知函数f（x）＝asin2x+bcos2x（ab≠0）的图象关于直线
对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间
上单调递增
D．方程f（x）＝2b 在区间[0，2π]上有2 个实根
23．（2023•秦都区校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）图象两个相邻的对称中心的间距为
，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（多选）（2023•惠州模拟）关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的图像的一个对称中心是
8
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B．函数f（x）在区间
上单调递减
C．直线
是函数f（x）图像的一条对称轴
D．将函数f（x）的图像沿x 轴向左平移
个单位长度，将得到函数
的图像
25．（多选）（2023•东方模拟）已知函数f（x）＝|2sin（2x﹣
）|，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（
，0）对称
B．函数f（x）图象的一条对称轴是x＝
C．若x∈[
，
]，则函数f（x）的最小值为
D．若f（x1）f（x2）＝4，x1≠x2，则|x1﹣x2|的最小值为
26．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f（x）的
图象交于M，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是 2π
B．函数f（x）的图象关于点
成中心对称
C．函数f（x）在
单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移
后关于原点成中心对称
27．（多选）（2023•平江县校级模拟）设函数
，若f（x）在[0，π]上
有且仅有3 条对称轴，则（ ）
A．f（x）在[0，π]上有且仅有2 个最大值点
B．f（x）在[0，π]上有且仅有2 个零点
C．ω 的取值范围是
9
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D．f（x）在
上单调递增
六．余弦函数的图象（共5 小题）
28．（2023•河南模拟）已知函数f（x）＝cos（ωx﹣
）（ω＞0），若f（x）在
上没有
零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，1]
29．（2023•安阳模拟）已知函数
在[0，π]上有且仅有2 个
零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2023•一模拟）已知函数
，（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存
在3 条对称轴，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（多选）（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）图象的一个对称
中心是
，点
在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线
是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在
上单调递减
D．
是奇函数
32．（2023•泸州模拟）写出使“函数f（x）＝cos（2x+φ）为奇函数”的φ 的一个取值 ．
七．余弦函数的单调性（共2 小题）
33．（2023•全国一模）已知函数
在区间
上单调递减，则
实数ω 的取值范围为（ ）
A．
B．（1，2]
C．（0，1]
D．
10
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34．（2023•白山三模）已知函数
，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．先增后减
D．先减后增
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1 小题）
35．（2023•石景山区一模）若函数
的部分图
象如图所示，则φ 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
九．同角三角函数间的基本关系（共4 小题）
36．（2023•攀枝花一模）若tanθ＝2，则7cos2θ﹣2sin2θ＝（ ）
A．﹣
B．
C．﹣2
D．2
37．（2023•山西模拟）已知tanα＝﹣7，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（2023•阳泉二模）已知
，0＜α＜π，则sinα﹣cosα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
39．（2023•河南模拟）已知tanθ＝﹣3，则sin2θ﹣cos2θ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
一十．两角和与差的三角函数（共4 小题）
40．（2023•射洪市校级模拟）若α 为锐角，且
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
41．（2023•广西模拟）已知
，则
＝（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
42．（2023•淮安模拟）已知cos（40°﹣θ）+cos（40°+θ）+cos（80°﹣θ）＝0，则tanθ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
43．（2023•乌鲁木齐模拟）若
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
一十一．二倍角的三角函数（共6 小题）
44．（2023•九江模拟）已知sinθ+2cos2
，则sin2θ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
45．（2023•乐山模拟）已知
，则sinα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
46．（2023•武汉模拟）已知
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
47．（2023•惠州一模）若
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
48．（2023•怀仁市校级二模）已知
，且
，则tanθ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
或
49．（2023•郑州模拟）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
一十二．半角的三角函数（共2 小题）
50．（2023•江西模拟）若
，α 是第三象限的角，则
＝（ ）
12
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A．2
B．
C．﹣2
D．
51．（2023•宝鸡三模）若α∈（0，π），且sinα+2cosα＝2，则tan
等于（ ）
A．3
B．2
C．
D．
一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共5 小题）
52．（2023•安阳三模）已知
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
53．（2023•湖南一模）已知
＝2，则tanθ＝（ ）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
54．（2023•兴庆区校级模拟）若sin（
﹣α）＝
，cos（
+2α）＝（ ）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
55．（2023•迎江区校级模拟）已知
，则
＝ ．
56．（2023•万州区校级模拟）在△ABC 中，若
+
＝3，则sinA 的最大值为 ．
一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4 小题）
57．（2023•南江县校级模拟）已知函数
在[0，π]上恰有3
个零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
58．（2023•安徽二模）已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxcosωx﹣1（ω＞0）在
上恰有4 个不同的
零点，则实数ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
59．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝
，集合{x∈（0，π）|f（x）＝1}
中恰有3 个元素，则实数ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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60．（2023•天津模拟）将函数
的图象向右平移
个单位，得到g（x）的
图象，再将g（x）图象上的所有点的横坐标变成原来的
，得到h（x）的图象，则下列说法正确的个
数是（ ）
①函数h（x）的最小正周期为2π；
②
是函数h（x）图象的一个对称中心；
③函数h（x）图象的一个对称轴方程为
；
④函数h（x）在区间
上单调递增
A．1
B．2
C．3
D．4
1.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b 不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
2.两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的
正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan
α·tan β≠1
两角差的
正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan
β≠－1
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin_α cos
_α
C2α
cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α
T2α
tan 2α＝
4.余弦的二倍角公式的变形
5．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin_α ±cos
_α ) 2 .
6.半角公式
(1)sin＝± ，
14
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(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
15
