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4.3 利用导数求极值与最值（精练）
1．（2023·海南）设函数
，则
的极大值点和极小值点分别为（ ）
A．
，4
B．4，
C．
，2
D．2，
【答案】C
【解析】
，
令
，得
，
当
，
，函数
单调递增，当
，
，函数
单调递减，
当
，
，函数
单调递减，当
，函数
单调递增，
所以函数的极大值点是
，函数的极小值点是
.
故选：C
2．（2023 春·湖北武汉）设函数
在R 上可导，其导函数为
，且函数
的图象如图
所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
有三个极值点
B．
为函数的极大值
C．
有一个极大值
D．
为
的极小值
【答案】C
【解析】
，并结合其图象，可得到如下情况，
当
时，
，
在
单调递减；
1
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当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减；
∴
在
取得极小值，在
处取得极大值，只有两个极值点，
故A、B、D 错，C 正确；
故选: C.
3．（2023 春·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在区间
上的函数
的导函数为
，
的图象如图所示，则（ ）
A．
在
上有增也有减
B．
有2 个极小值点
C．
D．
有1 个极大值点
【答案】D
【解析】由图可得，当
，
时，
，当
时，
.
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
所以
有1 个极大值点，1 个极小值点.
故A、B 错误，而
，C 错误.
2
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故选：D
4．（2023 春·福建莆田）已知函数
的大致图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知，函数
有两个递增区间，一个递减区间，
所以函数
图象开口方向朝上，且于x 轴有两个交点，故
；
又函数
的极大值点在y 轴左侧，极小值点在y 轴右侧，且极大值点离y 轴较近，
所以方程
的两根
满足
，
即
，得
，因此
.故选；B.
5．（2023 春·天津武清）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递增
B．
在区间
上单调递增
C．
为
的极小值点
3
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D．
为
的极大值点
【答案】D
【解析】对于A，当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，A 错误；
对于B，当
时，
，
在
上单调递减，B 错误；
对于C，
在
上单调递减，
不是
的极小值点，C 错误；
对于D，当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
是
的极大值点，D 正确.
故选：D.
6．（2023·北京）已知函数
的导函数
的图像如图所示，若
在
处有极值，则
的值为
（ ）
A．-3
B．3
C．0
D．4
【答案】C
【解析】由函数
的导函数
的图像可知当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递减，
故
为函数
的极大值点，即
，
4
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故选：C
7．（2023·山东）函数
的导函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
为函数
的零点
B．函数
在
上单调递减
C．
为函数
的极大值点
D．
是函数
的最小值
【答案】B
【解析】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值
与导数的关系可判断C，D.
由
的图象可知
，当
时，
，
当
时，
，故
为函数
的极大值点，A 错误；
当
时，
，故函数
在
上单调递减，B 正确；
当
时，
，当
时，
，
故
为函数
的极小值点，C 错误；
当
时，
，当
时，
，
故
为函数
的极小值点，而
也为函数
的极小值点，
与
的大小不定，故
不一定是函数
的最小值，D 错误,
5
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故选：B
8．（2023·全国·高三对口高考）已知
在区间
上的最大值就是函数
的极大值，
则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，令
，得
，
因为
在区间
上的最大值就是函数
的极大值，
则必有
，所以
.
故选：C.
9．（2023 春·山东聊城）若函数
在区间(
,
)内存在最小值，则实数
的取值范围
是（ ）
A．[－5,1)
B．(－5,1)
C．[－2,1)
D．(－2,1)
【答案】C
【解析】由
，令
，可得
或
，
由
得：
或
，由
得：
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数在
处取得极小值
，
令
，解得
或
，
若函数
在(
,
)内存在最小值，则
，得
．
故选：C
10．（2023 春·四川眉山）已知函数
，
，在区间
上有最大值，则实数t
的取值范围是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数在
，
上递增函数，在
上递减函数，
故
时函数有极大值，且
，
所以当函数在
上有最大值，则
且
，
即
，解得
.
故选：B.
11．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数
的最小值是
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，则
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，函数
的极小值为
，
因为函数
的最小值为
，当
时，函数
在
上单调递减，
此时，函数
在
上无最小值，不合乎题意；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
7
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此时，函数
在
上的极小值为
，且
，则
，
综上所述，
.
故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则
的极小值为______．
【答案】
/-0.5
【解析】函数的定义域为
，
，
令
，即
，得
，
令
，即
，得
，
故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
故当
时，函数
取得极小值，极小值为
．
故答案为:
.
13．（2023 春·上海）函数
在
内有极小值，则实数
的取值范围是_________．
【答案】
【解析】因为
，则
，
因为函数
在
内有极小值
所以方程
必有一根在
内，
当
时，
的两根为
，
8
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若有一根在
内，则
，即
，
此时当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增；
所以
在
处取得极小值，满足题意；
当
时，
的两根相等，均为
，则
在
内无极小值；
当
时，
无实根，则
在
内无极小值；
综上，
，故实数
的取值范围为
故答案为：
.
14．（2023·重庆）如果函数
在
处有极值
，则
的值为__________．
【答案】2
【解析】因为函数
在
处有极值
，所以
，
.
由于
，所以
.
，解得：
或
.
当
时，
，
，所以
单调递减，无极值.
所以
.故答案为：2
15．（2023 春·河南南阳）若函数
在
上有且仅有一个极值点，则a 的取值范围
是______．
【答案】
9
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【解析】因为
，令
，
由题意可知，
在
内先减后增或先增后减，
结合函数
的图像特点可知，
在
内先减后增，即
，或
，解得
.
所以a 的取值范围是
故答案为：
16．（2023 春·上海）已知函数
在
处有极大值，则
______.
【答案】
【解析】由已知
，
可得
，
令
，解得
或
，
由
可得，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由
可得，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以
是函数
的极大值点．
10
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综上
．
故答案为：．
17．（2023 春·安徽）已知
在区间
上的最大值就是函数
的极大值，则m 的取
值范围是________．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，得
.
由题意得
，
故
．
故答案为：
.
18．（2023·福建）已知函数
的导数
，若
在
处取到极大值，则a 的取
值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意当
时不成立，当
时
有两个零点
与
.
①当
时，
开口向上，且
，故当
时
，
时
，
在
处取到极大值；
②当
时，
开口向下；
当
时，
，
无极大值；
当
时，在区间
上
，
上
，故
在
处取到极大值；
当
时，在区间
上
，
上
，故
在
处取到极小值.
11
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综上有
或
.
故答案为：
19．（2023 春·吉林长春）若函数
在
上有最小值，则实数
的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
，令
得
，
时
，
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
若函数
在
上有最小值，则其最小值必为
，
则必有
且
，解得
，
故答案为：
.
20．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数
的最大值为__________．
【答案】
/
【解析】
，
设
，
，
令
，得
或
， 所以当
时，
，
即在
和
上
单调递减，
当
时，
，即在
上，
单调递增，
又因为
，
，所以
的最大值为
，故答案为：
．
21．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数
在区间
12
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上存在零点，则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】设函数的零点为，则
，则点
在直线
上.
因为
表示
与
的距离，所以则
的最小值即为原点到直线
的距
离的最小值平方，即
，
令
，
令
，当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，所以当
时，
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
22．（2023·陕西西安）若函数
在
上有最小值，则实数
的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
，
，取
得到
，
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
13
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，取
，则
或
，
函数
在
上有最小值，则
，
解得
，即
.
故答案为：
23．（2023 春·山东聊城）已知函数
在
上的最大值为2，则
______．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
在上
恒成立，即
在区间
上单调递减，
所以
，得到
，故
，
所以
.
故答案为：
.
24．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数
在区间
上存在最小值，则
整数
的取值可以是______．
【答案】（答案不唯一，
、均可）
【解析】因为
，则
.
由
可得
，由
可得
或
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
、
，
14
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所以，函数
的极大值为
，极小值为
，
令
，其中
，则
，解得
，
因为函数
在区间
上存在最小值，则
，解得
，
所以，整数
的取值集合为
.
故答案为：（答案不唯一，
、均可）.
25．（2023·全国·高三专题练习）若函数
在区间
上有最小值，则实数
的取值
范围为________.
【答案】
【解析】
，所以在
和
上，
，函数
单调递减；
在
上，
，函数
单调递增；且
当
时，
，
即
，
所以
在区间
上有最小值，则：
解得
.故答案为：
26．（2023 春·河南商丘）若函数
在区间
上存在最大值，则实数
的取值范围是
______．
【答案】
15
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【解析】因为
，所以
，
由
，得
或
，则
在区间
和
上单调递增，
由
，得
，则
在区间
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
要使函数
在区间
上存在最大值，又
，
则
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
27（2023 春·广东）求下列函数的极值：
(1)
；
(2)
(3)
；
(4)
.
【答案】(1)极小值为1，
无极大值
(2)极小值为3，
无极大值.
(3)极大值
；极小值
；
(4)极小值
，没有极大值．
【解析】（1）因为
，定义域是R，
所以
.
16
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解
可得，
或
.
由
可得
，所以
在
上单调递增；
当
时，
恒成立，所以
在
单调递减.
所以
时，
取得极小值为
，
无极大值.
（2）函数
的定义域为
，
.
解
可得，
.
由
可得
，所以
在
上单调递增；
由
可得
，所以
在
单调递减.
所以
时，
取得极小值为
，
无极大值.
（3）函数
的定义域是R，
，
令
，解得
或
，
当
变化时，
、
的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
由表可知，函数
的极大值为
；
的极小值为
.
（4）函数
的定义域为
，
.
令
，得
.
当
变化时，
、
的变化情况如下表：
17
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0
极小值
由表可知，
的极小值为
，且
没有极大值．
28．（2023 春·新疆伊犁）已知函数
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)求
的极值．
【答案】(1)
(2)极大值为
，极小值为
.
【解析】（1）依题可知点
为切点，
代入切线方程
可得，
，
所以
，即
，
又由
，则
，
而由切线
的斜率可知
，
∴
，即
，
由
，解得
.
（2）由（1）知
，则
，
令
，得
或
，
18
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当
变化时，
，
的变化情况如下表:
1
+
0
0
+
极大
值
极小
值
∴
的极大值为
，极小值为
.
29．（2023 春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知函数
的图象与直线
相切.
(1)求
的值；
(2)求函数
在区间
上的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意设
与
相切于点
，
又
，∴
，①
，②
将①②联立得
，又
，
∴
代入①得
；
（2）由（1）知：
，且
，又
在
上单调递增，
∴
，
，则
单调递减，
∴
时，
，则
单调递增，
而
，
19
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∴
.
30．（2023·云南）已知函数
，
.求函数
的最值；
【答案】函数
的最大值为
，没有最小值
【解析】
，
由于
，
，所以
，
设
，则
，
故函数
在区间
上单调递减，由于
，
，
故存在
，使
.
故当
，
，则
，当
时，
，则
，
从而存在
，
的单增区间为
，单减区间为
.
函数
的最大值为
，
由于
，所以
，
故
.
所以函数
的最大值为
，没有最小值.
1．（2023 春·山东）已知函数
在
处取得极大值1，则
的极小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的定义域为
，由
，得
，
20
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因为函数
在x＝－1 处取得极大值1，所以
，解得
，
所以
，
．
令
．解得
或
，令
，解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
即
在
处取得极大值，在
处取得极小值，所以
的极小值为
．故选：C
2．（2023·甘肃金昌）已知函数
在
上单调递增，且
在区间
上既有
最大值又有最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】1.因为
，则
，
若
在
上单调递增，则
在
上恒成立，
即
恒成立，则
，解得
；
2.因为
，则
，
①当
时，
对任意
恒成立，所以
在
上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当
时，
对任意
恒成立，所以
在
上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当
时，令
，解得
；令
，解得
；
21
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则
在
单调递增，在
单调递减，所以
为最小值，
若
在
上既有最大值，又有最小值，
则
且
，解得：
；综上所述：
．故选：B.
3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数
，若对任意的
，
成立，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】C
【解析】设
，可得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
故当
时，
，即
，当且仅当
时，等号成立，
设
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，故当
时，
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，所以
，所以
，
所以
的最大值是.
故选：C.
4．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数
的两个极值点分别为
，若过点
和
的直线在
轴上的截距为
，则实数
的值为（ ）
A．2
B．
C．
或
D．
或2
【答案】B
22
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【解析】由题意
有两个不同零点，则
，
所以
，即
或
，
由
，即
，
而
，
同理有
，
所以
、
均在
上，
令
，则
，得
，
综上，
（舍）
故选：B
5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数
，若
，
在
内有极小值，无极大值，则
可能的取值个数（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】已知函数
，若
，
所以
，则
①，
又
在
内有极小值，无极大值，则
，所以
23
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，
又
，则当
得，
，所以
，不符合①式，故舍；
当
得，
，所以
，由①式可得
；
当
得，
，所以
，由①式可得
；
当
得，
，所以
，不符合①式，故舍；
当
得，
，无解，故舍；
易知，当
时，
都无解，故不讨论；
综上，
或
，则
可能的取值个数为
.
故选：C.
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若函数
有两个极值点
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
有两个极值点
，
24
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又函数
的定义域为
，导函数为
，
所以方程
由两个不同的正根，且
为其根，
所以
，
，
，
所以
，
则
，
又
，即
，可得
，
所以
或
（舍去），
故选：C.
7．（2023·河北·模拟预测）若函数
，则
极值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题得
,
因为
与
的图象均关于直线
对称,
所以
的图象也关于直线
对称,
又
,且当
时,
,
所以
0,即
,所以
在
上单调递增.
令
,则
,
又
在
上单调递增,
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所以
,使得
,
所以当
时,
单调递减;
当
时,
单调递增,
又
,所以在
上,
,即
单调递减.
由
图象的对称性可知,在
上,
单调递增,
在
上,
单调递减,
又
,
所以
极值点的个数为3.
故选：C.
8．（2023 春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于
的不等式
对任意
的
恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．3
【答案】B
【解析】因为
对于任意
恒成立，
等价于
对于任意
恒成立，
令
，
，则
，
令
，
，则
，
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当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，
所以
在
有且仅有一个根
，满足
，即
，
当
时，
，即
，函数
单调递减，
时，
，即
，函数
单调递增，
所以
，
由对勾函数可知
，即
，
因为
，即
，
，
，所以
，
当
时，不等式为
，因为
，不合题意；
所以整数
的最大值为0.
故选：B
9（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）（多选）已知函数
，
为
的导
函数，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
在
单调递增
C．直线
与曲线
相切
D．直线
与曲线
相切
【答案】ABD
【解析】对于A，
，当且仅当
即
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，令
，
，故
在
单调递增，即
在
27
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单调递增，故B 正确；
对于C，设
，
，
在R 上单调递增，
，
，又
，所以
，
所以存在
，使得
，即
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
又
，
，
，
所以
，使得
，所以方程
有两个实数根
和
，
所以
与函数
有两个交点，.
又
，
，
，
所以函数
在与
交点处的切线斜率都不为
.
故C 错误.
对于D，设切点为
，由
，
，故
，所以
，解
得
，则切点为
，曲线
的切线方程为
，故D 正确；
故选：ABD.
10．（2023·全国·高三对口高考）已知函数
，其中
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值．
【答案】(1)
；
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(2)答案见解析.
【解析】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）依题意，
，而
，则
，
①当
时，
，当且仅当
时取等号，函数
在
上单调递增，
则
，
；
②当
时，
，当且仅当
时取等号，函数
在
上单调递减，
则
，
；
③当
时，函数
在
上单调递增，由
，得
，当
时，
递减，
当
时，
递增，
，
由
，得
，
，
由
，得
，
，
所以当
时，
的最小值是
，最大值是
；
当
时，
的最小值是
，最大值是
；
当
时，
的最小值是
，最大值是
；
当
时，
的最小值是
，最大值是
．
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11．（2023 春·吉林长春）已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
，求
在区间
的最小值.
【答案】(1)
，
(2)当
时
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
当
时
在R 上单调递增；
当
时
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
(3)
【解析】（1）当
时
定义域为R，
且
，
所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
即
，
；
（2）函数
定义域为R，则
，
令
，解得
或
，
①当
时，则当
或
时，
，
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当
时，
，
所以
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
②当
时，
恒成立，所以
在R 上单调递增；
③当
时，当
或
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
综上可得当
时
的单调增区间为
，
，单调减区间为
；
当
时
在R 上单调递增；
当
时
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
（3）因为
，由（2）可得
的单调增区间为
，
，单调减区间为
，
若
，即
时
在
上单调递减，
所以
在
上的最小值为
，
若
，即
时，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
在
的最小值为
，
所以
.
12．（2023 春·北京海淀）已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
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(2)若函数
在
上存在单调递减区间，求a 的取值范围；
(3)若函数
的最小值为
，求a 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当
时，
，则
，
故
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）
，
因为函数
在
上存在单调递减区间，
所以
在
上有解，
即
在
上有解，
所以
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
（3）设
，
①当
时，
，
恒成立，
∴
恒成立，
在
上单调递增，函数
没有最小值，
②当
时，
，
令
得
，
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解得
，
∴当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
∴当
时，
取得极大值，
当
时，
取得极小值，
∴当
时，
，
∴
，则
，
又∵函数
的最小值为
，
∴函数
的最小值只能在
处取得，
则
,
∴
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以，解得.
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