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专题06 切线、公切线与切线逼近型归类
目录
题型一：有切点切线方程.....................................................................................................................................................1
题型二：无切点型切线关系.................................................................................................................................................2
题型三：“在点”型切线求参.............................................................................................................................................2
题型四：“过点”型切线方程.............................................................................................................................................3
题型五：“过点”型切线条数判断.....................................................................................................................................4
题型六：“过点”型切线条数求参.....................................................................................................................................5
题型七：三角函数型切线综合应用.....................................................................................................................................6
题型八：函数公切线.............................................................................................................................................................7
题型九：函数公切线求参数范围.........................................................................................................................................7
题型十：函数公切线条数判断.............................................................................................................................................9
题型十一：公切线综合.........................................................................................................................................................9
题型十二：切线逼近求零点...............................................................................................................................................10
题型十三：双切线存在性...................................................................................................................................................11
题型十四：切线逼近：不等式整数解求参.......................................................................................................................12
题型一：有切点切线方程
1.（2023·全国·三模）已知定义域为
的函数
的图像关于原点对称，且
，若曲线
在
处切线的斜率为4，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21-22 高三下·福建莆田·阶段练习）函数
的图象在点
切的切线分别交
轴，
轴于
、
两点，
为坐标原点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知
是定义在
上的单调函数，满足
，则
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
若已知函数
与切点
，不知斜率
。此时
, 利用点斜式写出切线方程
1：求
，得切点
；
2：求导数
，得
；
3：写切线方程
.
1
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4．（2024·海南海口·二模）已知函数
的定义域为
，
是偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
5．（23-24 高二下·山西运城·开学考试）定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程为 .
题型二：无切点型切线关系
1．（2024·湖北·模拟预测）设
，其中
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·北京·二模）点P 在函数y＝ex 的图象上．若满足到直线y＝x+a 的距离为
的点P 有且仅有3 个，
则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
3．（21-22 高三·重庆·阶段练习）已知函数
，若
在
和
处切线平行，
则
A．
B．
C．
D．
4．（2024 高三下·全国·专题练习）已知三次函数
有三个零点
，
，
，且在点
处切线
的斜率为
，则
.
5．（23-24 高二下·北京·期中）已知函数
，设曲线
在点
处切线的斜率为
，若
，
，
均不相等，且
，则
.
题型三：“在点”型切线求参
若已知函数
与斜率
，不知切点。此时设切点
，此时
解出
，再将
代入
解出
,此时利用点斜式写出切线方程
1：求导数
，令
，求解得
；
2：求
，得切点
；
3：写切线方程
.
2
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1．（22-23 高二下·广东广州·期末）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
2．（2022·山西晋城·一模）已知函数
，
的图像在点
处的切线与
轴交于点
，过点
与
轴垂直的直线
与
轴交于点
，则线段
中点
的纵坐标的最大值是
A．
B．
C．
D．
3．（2022·湖北·一模）已知函数
在点
处的切线为，若直线在
轴上的截距恒小于，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高二上·河南商丘）设直线
分别是函数
图象上点
、
处的切线，与
垂直
相交于点
，则点
横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 全国·二模）设点P 在曲线
上，点Q 在直线y=2x 上，则PQ 的最小值为
A．2
B．1
C．
D．
题型四：“过点”型切线方程
若已知函数
与平面上一点
，不知切点与斜率
。设切点
，此时
,由切点
与斜率
写出切线方程
，再将点
代入，解出切点.
1：设切点
；
2：求导数
，得
；
3：写切线方程
；
4：将
代入步骤3，解得
；
5
将
代入步骤3
得切线方程
3
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1．（22-23 高二下·湖北咸宁·开学考试）过原点的直线
与分别与曲线
，
相切，则直
线
斜率的乘积为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
2．（22-23 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）过点
可以作曲线
的两条切线，切点的横坐标分别
为m，n，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
3．（2022·河南·模拟预测）已知
，过原点作曲线
的切线，则切点的横坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·四川南充·三模）已知函数
，过点
作函数
图象的两条切线，切点分
别为M，N．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线MN 的方程为
C．
D．
的面积为
5．（2022·河南商丘·三模）已知曲线
的一条切线在
轴上的截距为2，则这条切线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：“过点”型切线条数判断
“过点型”切线条数判断：
1. 有几个切点横坐标，就有几条切线。
2. 切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
4
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1．（2022·全国·模拟预测）过点
作曲线
的切线，当
时，切线的条数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京海淀·一模）已知
，函数
的零点个数为
，过点
与曲线
相切的直线的条数为
，则
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·湖北·期中）函数
为
上的奇函数，过点
作曲线
的切线，可作切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
4．（2023·吉林通化·模拟预测）若过点
可作曲线
的两条切线，则点
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线
的切线，则切线共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
题型六：“过点”型切线条数求参
1．（23-24 高二下·河北保定·期中）已知函数
，若过
可做两条直线与函数
的图象
相切，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·模拟预测）若过点
可作函数
图象的两条切线，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·江西九江·一模）已知函数
（
），点
位于曲线
的
下方，且过点
可以作3 条直线与曲线
相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
若已知函数
过平面上一点
，且
或点
其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，
可参考考向四，设切点
，此时
, 由切点
与斜率
写出切线方程
，再将点
代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
5
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C．
D．
4．（22-23 高二下·山西晋中·阶段练习）已知过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高三·四川南充·期中）已知函数
，过点
作曲线
的切线，当
时，可
作两条切线，则
的取值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
题型七：三角函数型切线综合应用
1．（23-24 高三上·浙江温州·）已知
，函数
在点
处的切线
均经过坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·湖北武汉·二模）已知直线
与函数
的图象恰有两个切点，设
满足条件的
所有可能取值中最大的两个值分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）将函数
的图象绕着原点沿逆时针方向旋转
角
得到曲线
，已知曲线
始终保持为函数图象，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数
图象上有一最低点
，将此
函数的图象向左平移
个单位长度得
的图象，若函数
的图象在
处的切线
与
的图象恰好有三个公共点，则
的值是 .
三角函数型切线，要注意三角函数的周期性与正余弦函数的有界性。
6
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5．（23-24 高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数
（
且
），其中
的最
小正周期
，且
，函数
的图象在
处的切线与
的图象恰
好有3 个公共点，则
.
题型八：函数公切线
对函数
，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
)和
再令
，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即
可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
1．（23-24 高二下·广东佛山·期中）经过曲线
与
的公共点，且与曲线
和
的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若直线是曲线
与曲线
的
公切线，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高二下·辽宁阜新·阶段练习）已知两条不同的直线与曲线
都相切，则这两
直线在y 轴上的截距之和为（ ）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
7
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4.23．（2021 高二·江苏·专题练习）已知函数
，
，若函数
的图象与函
数
的图象在交点处存在公切线，则函数
在点
处的切线在y 轴上的截距为 （ ）
A．
B．
C．
D．
题型九：函数公切线求参数范围
1．（2023·广东深圳·一模）已知函数
，
，若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高二下·浙江杭州·期中）已知函数
，若存在两条不同的直线与函数
和
图像均相切，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河北·模拟预测）若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·云南保山·二模）若函数
与函数
的图象存在公切线，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
求函数
和
的公切线.
1：设函数
的切点为
，设函数
的切点为
；
2：求导数
与
，得函数
的斜率
，函数
的斜率
；
3：函数
的切线
，函数
的切线
；
4：化简得
，
；
5：对比得
，联立解方程得公切线.
8
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5．（23-24 高三上·福建漳州·开学考试）已知直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则k 的最大值是（ ）
A．
B．
C．2e
D．4e
6.（21-22 高三上·四川成都·期中）如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线
和曲线
有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：函数公切线条数判断
1．（21-22 高二下·山东菏泽·阶段练习）若直线与曲线
和
都相切，则直线的条数有（ ）
A．
B．
C．
D．无数条
2．（2018·江西南昌·一模）已知函数
，则
和
的公切线的条数为
A．三条
B．二条
C．一条
D．0 条
3（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线
与
有三条公切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2018·山东·一模）已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（17-18 高二下·云南保山·期末）已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范
围为
A．
B．
C．
D．
6．（2022·江西南昌·一模）已知函数
，若
和
图象有三条
公切线，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
题型十一：公切线综合
9
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1．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线
与直线
是曲线
的两条切线，也是
曲线
的两条切线，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．-1
D．
2．（20-21 高二下·湖北武汉·期中）若曲线
上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的自公切线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为
①
； ②
； ③
； ④
.
A．②③
B．①②
C．①②④
D．①②③
3．（21-22 高三上·河北唐山·期末）已知直线与曲线
和
分别相切于点
，
.有以下命题：（1）
(
为原点)；（2）
；（3）当
时，
.则真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（22-23 高三上·河南·阶段练习）已知曲线
与
的两条公切线所成角的正切值为
，
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
5.（23-24 高二下·北京·期中）若曲线
上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的“自公切线”，则下列曲线
中，所有存在“自公切线”的序号为 ．
①
；
②
；
③
；
④
．
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.
主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，
通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
10
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题型十二：切线逼近求零点
1.（21-22 高二下·河南开封·期末）若函数
有3 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（21-22 高三·湖南长沙·阶段练习）函数
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，当
时，
，若函数
恰有一个零点，则实数
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2022 江西南昌·一模）定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，
若函数
有个零点，则实数
的取值范围为．
A．
B．
C．
D．
4.（20-21 高三上·河南·阶段练习）已知函数
，
在
上
有个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十三：双切线存在性
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
11
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1.（22-23 高三上·山东泰安·阶段练习）设曲线
（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为
，曲线
上任意一点处的切线为
，若对任意位置的总存在
，使得
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2022·安徽合肥·二模）若对于函数
图象上任意一点处的切线，在函数
的图象上总存在一条切线
，使得
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3. （多选）（20-21 高二下·福建宁德·期中）若以函数
的图象上任意一点
为切点作切线
，
图象上总存在异于P 点的点
，使得以Q 为切点的切线
与平行，则称函数
为“和谐函数”，下面函数中是“和谐函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（20-21 高三上·全国·阶段练习）设函数
图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象
上一点处的切线
，使得
，则实数
的最小值为 .
题型十四：切线逼近：不等式整数解求参
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点.
不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则f′(x1)＝g′(x2)（平行），或者f′(x1)*g′(x2)=-1（垂直）
12
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1.（2022 高三·全国·专题练习）已知关于
的不等式
有且仅有两个正整数解（其中
为自然对数的底数），则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（21-22 高三上·黑龙江大庆·期中）设函数
，其中
，若不等式
有
且只有三个整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（22-23 高二下·安徽安庆·期末）已知函数f（x）＝（mx
1
﹣）ex
x
﹣2，若不等式f（x）＜0 的解集中恰有
两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
4. （多选）（2021 高二·江苏·专题练习）已知函数
，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增
B．函数f（x）的值域为
C．若关于x 的方程
有3 个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
1. 一侧是可求导画图的函数
2. 一侧是含参型动直线。
3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。
13
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D．不等式
在
恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是
14
