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专题08 幂、指数、对数函数
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
一、幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α 为常数．常见的五类幂函数为y
＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
1
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(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
二、指数运算与指数函数
Ⅰ.根式
1.如果xn＝a，那么叫做a 的n 次方根；
2.式子叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数；
3.()n＝．当n 为奇数时，＝；当n 为偶数时，＝|a|＝
Ⅱ.分数指数幂的意义
1.分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
0
③的分数指数幂：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义．
2.实数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
Ⅲ．指数函数的概念、图象与性质
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R，a 是底数．
温馨提示：形如y＝kax，y＝ax＋kk R
∈
且k≠0，a>0 且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域为，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
当x>0 时，恒有y>1；当x<0 时，恒有0<y<1
当x>0 时，恒有0<y<1；当x<0 时，恒有y>1
2
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在定义域R 上为增函数
在定义域R 上为减函数
注意
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a 的取值有关，应分a>1 与0<a<1 来研究
温馨提示：
1. 指数幂运算原则
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2. 指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较
1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d 与1 之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
2.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1 与图象的交点进行判断．
3.比较指数式的大小的方法是
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
三、对数运算与对数函数
1.对数式的运算
3
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(1)对数的定义：一般地，如果
且
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作
，
读作以
为底
的对数，其中
叫做对数的底数，
叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以
且
为底，记为
，读作以
为底
的对数；
②常用对数：以
为底，记为
；
③自然对数：以为底，记为
；
(3) 对数的性质和运算法则：
①
；
；其中
且
； ②
(其中
且
，
)；
③对数换底公式：
； ④
；
⑤
； ⑥
，
；
⑦
和
； ⑧
；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数
且
叫做对数函数．
对数函数的图象
图象
性质
定义域：
值域：
过定点
，即
时，
在
上增函数
在
上是减函数
当
时，
，当
时，
当
时，
，当
时，
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
x
y
x=1
(1,0)
x
a
log
O
4
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温馨提示：
在同一坐标系内，当
时，随
的增大，对数函数的图象愈靠近
轴；当
时，对数函数的图象
随
的增大而远离
轴．(见下图)
幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的
学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运
算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
一、幂函数的图象与性质
例1 (1)如图，已知幂函数
在
上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 由题意结合图象可知
.
故选：B.
(2)已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调
递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
y
x
1
1
a增大
a增大
x
x
x
x
a4
a3
a2
a1
log
log
log
log
O
5
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C．
D．
答案B
解析 因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是定义域为
的奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意.
所以，
，则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递增，则
，解得
.
故选：B．
拓展
1．若幂函数f(x)＝
在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )
A．1 B．6 C．2 D．－1
答案 D
解析 因为函数f(x)＝
是幂函数，
所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1 或a＝6.
当a＝－1 时，
f(x)＝
在(0，＋∞)上单调递增；
当a＝6 时，
f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，
所以a＝－1.
方法归纳： (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y
＝1，y＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
二、指数幂的运算
例2 求下列各式的值：
(1)
；
6
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(2)
；
(3)
；
(4)
答案 (1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
解析（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
.
方法归纳： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
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(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
三、指数函数的图象及应用
例3 (1)(多选)已知实数a，b 满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0
B．a<b<0
C．0<a<b
D．0<b<a
答案 ABD
解析 如图，观察易知，a<b<0 或0<b<a 或a＝b＝0，故选ABD.
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b 的图象，如图所示．
∴当0<b<2 时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点．
∴b 的取值范围是(0,2)．
方法归纳： (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸
缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
四、 指数函数的性质及应用
1、比较指数式的大小
例4 (1)(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．a>c>b
答案 B
解析 ∵函数y＝0.3x在R 上是减函数，
0<0.3
∴
0.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
0．3<0.7，
0<0.3
∴
0.3<0.70.3，
0<
∴
a<b<1，
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而函数y＝1.2x是R 上的增函数，
∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0
B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0
D．ln|x－y|<0
答案 A
解析 设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R 上均单调递增，所以f(x)在R 上单调递增．
原式等价于2x－3－x<2y－3－y，
即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A 正确，B 不正确．
因为|x－y|与1 的大小关系不能确定，所以C，D 不正确．
2、 解简单的指数方程或不等式
例6 (1)(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3 的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( )
A．[2,4]
B．(－∞，0)
C．(0,1) [2,4]
∪
D．(－∞，0] [1,2]
∪
答案 D
解析 ∵y＝4x－3·2x＋3 的值域为[1,7]，
1≤4
∴
x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1 或2≤2x≤4.
∴x≤0 或1≤x≤2.
(2)当0<x<时，方程ax＝(a>0 且a≠1)有解，则实数a 的取值范围是______．
答案 (4，＋∞)
解析 依题意，当x∈时，y＝ax与y＝有交点，作出y＝的图象，如图，
所以
解得a>4.
3、指数函数性质的综合应用
例6 已知函数f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．
答案 (－∞，4]
解析 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t是增函数，所以要使
函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，
即m≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．
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[拓展
1．(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73
B.
C．1.70.3>0.93.1
D.
答案 BCD
解析 ∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确；
＝
，y＝x为减函数，
∴
＝
，故B 正确；
1.7
∵
0.3>1，而0.93.1 (0,1)
∈
，
1.7
∴
0.3>0.93.1，故C 正确；
∵y＝x为减函数，∴
，
又y＝
在(0，＋∞)上单调递增，
∴
，
∴
，故D 正确．
方法归纳： (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还
可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，
都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
五、对数式的运算
例7 求值
(1)
(2)
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(3)
(4)
答案 (1)
；
(2)0；
(3)3；
(4)13
解析（1）原式=
;
（2）原式=
=
;
（3）原式=
;
（4）原式
.
方法归纳： 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
六、对数函数的图象及应用
例8 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b 满足的关系是( )
A．0<a－1<b<1
B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1
D．0<a－1<b－1<1
答案 A
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解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知
－1<logab<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.
(2)若方程4x＝logax 在上有解，则实数a 的取值范围为 ．
答案
解析
若方程4x＝logax 在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax 在上有交点，
由图象知解得0<a≤.
[拓展
已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2 的零点，则
＋ln x2的值为( )
A．e2＋ln 2
B．e＋ln 2
C．2
D．4
答案 C
解析 根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2 的零点，
函数f(x)＝ex＋x－2 的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x 的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x1，
)，
函数g(x)＝ln x＋x－2 的零点为函数y＝ln x 的图象与y＝2－x 的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，
又由函数y＝ex与函数y＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y＝x 对称，
而直线y＝2－x 也关于直线y＝x 对称，则点(x1，
)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x 对称，则有x1＝ln x2，
则有
＋ln x2＝
＋x1＝2.
方法归纳： 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
七、对数函数的性质及应用
1、比较指数式、对数式大小
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例9 (1)设a＝log3e，b＝e1.5，c＝
，则( )
A．b<a<c
B．c<a<b
C．c<b<a
D．a<c<b
答案 D
解析 c＝
＝log34>log3e＝a.
又c＝log34<log39＝2，b＝e1.5>2，
∴a<c<b.
(2)(2022·昆明一中月考)设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则( )
A．b<c<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<b<a
答案 C
解析 因为a，b，c 都是正数，
所以＝log36＝1＋log32，
＝log612＝1＋log62，
＝log1224＝1＋log122，
因为log32＝，
log62＝，
log122＝，且lg 3<lg 6<lg 12，
所以log32>log62>log122，
即>>，
所以a<b<c.
2、解对数方程不等式
例10 若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，a≠1)，则实数a 的取值范围是 ．
答案
解析 依题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1，
∴或
解得<a<1.
3、对数函数性质的应用
例11 已知函数
在
上是增函数，则
的取值范围是 .
答案
解析 当
时，
在
上是增函数；
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当
时，由函数
在定义域内单调递增，
则函数
在
上单调递增且大于0 恒成立，
有
解得
.
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
方法归纳： 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；
二是底数与1 的大小关系；三是复合函数的构成．
14
