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第十八章 分式
知识点一 分式的概念及基本性质
1. 分式概念
（1）定义：形如
𝐴
𝐵（𝐴,𝐵 均为整式，𝐵 中含有字母，𝐵≠0）的式子叫做分式；𝐴 为分子，𝐵 为分母。
（2）三类取值要求
① 分式有意义：分母 𝐵≠0；
② 分式无意义：分母 𝐵= 0；
③ 分式值为0：分子 𝐴= 0 且 分母 𝐵≠0，二者缺一不可。
（3）区分整式与分式：关键看分母是否含字母，分母不含字母为整式，含字母为分式。
2. 分式基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0 的整式，分式的值不变。
公式：
𝐴
𝐵= 𝐴⋅𝑀
𝐵⋅𝑀= 𝐴÷𝑀
𝐵÷𝑀 (𝑀≠0，𝑀为整式)
3. 衍生运用
• 约分：依据基本性质，约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）；
• 通分：找各分母最简公分母，统一分母，用于分式加减运算；
• 符号法则：
―𝐴
𝐵= 𝐴
―𝐵= ―
𝐴
𝐵，任意改变两处符号，分式值不变。
知识点二 分式的运算
1. 乘法法则
分式乘分式，分子相乘作分子，分母相乘作分母：
𝑎
𝑏⋅𝑐
𝑑= 𝑎𝑐
𝑏𝑑
计算前可先约分再相乘，简化运算。
2. 除法法则
除以一个分式等于乘它的倒数：
𝑎
𝑏÷ 𝑐
𝑑= 𝑎
𝑏⋅𝑑
𝑐= 𝑎𝑑
𝑏𝑐
3. 乘方运算
分子、分母分别乘方：
𝑎
𝑏
𝑛
= 𝑎𝑛
𝑏𝑛 (𝑛为正整数)
4. 加减运算
（1）同分母分式相加减：分母不变，分子相加减：
𝑎
𝑐± 𝑏
𝑐= 𝑎±𝑏
𝑐
（2）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再计算：
𝑎
𝑏± 𝑐
𝑑= 𝑎𝑑±𝑏𝑐
𝑏𝑑
5. 混合运算顺序
先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内；结果必须化为最简分式或整式。
知识点三 整数指数幂
1. 正整数指数幂基础公式
𝑎𝑚⋅𝑎𝑛= 𝑎𝑚+𝑛
(𝑎𝑚)𝑛= 𝑎𝑚𝑛
(𝑎𝑏)𝑛= 𝑎𝑛𝑏𝑛
𝑎𝑚÷ 𝑎𝑛= 𝑎𝑚―𝑛 (𝑎≠0)
2. 零指数幂
任意非零数的0 次幂等于1：𝑎0 = 1 (𝑎≠0)；00 无意义。
3. 负整数指数幂
𝑎―𝑝= 1
𝑎𝑝 (𝑎≠0，𝑝为正整数)
4. 拓展应用
可用于极小数字用科学记数法表示：𝑎× 10―𝑛（1 ≤|𝑎| < 10）。
知识点四 分式方程定义及解法
1. 定义
分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。
2. 解题完整步骤
① 去分母：方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为整式方程；
② 解整式方程：求出整式方程的未知数解；
③ 检验（必不可少）：把解代入最简公分母
- 若公分母 ≠0：是原分式方程的解；
- 若公分母 = 0：该解是增根，原分式方程无解。
3. 增根含义
去分母过程中，整式方程的解让原分式分母为0，使原方程无意义，这个根就是增根。
知识点五 分式方程的实际应用
解题通用步骤
审题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 检验（双重检验） → 作答
双重检验要求
1.
数学检验：检验是否为分式方程的根，排除增根；
2.
实际意义检验：结果要符合生活实际（人数、路程、速度、时间不能为负数，小数不合理情况舍
去）。
常考题型
工程问题（工作总量、效率、时间）、行程问题（路程、速度、时间）、销售利润问题、工作量调配
问题。
易错点1 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围
易错提醒
易错点总结
1. 只考虑分子分母同号/异号，漏掉分式分母≠0 这个前提条件，最终取值范围包含让分母为0 的无效数
值；
2. 列不等式组时分情况讨论不全，只写一种符号搭配，遗漏另一组；
3. 不等式求解过程不等号方向出错；
4. 最终不会取两个不等式组解集的并集。
注意事项总结
1. 分式值大于0：分子分母同正或同负，列两组不等式组；
分式值小于0：分子分母一正一负，列两组不等式组；
2. 全程硬性约束：分母不等于0，最后解集必须剔除使分母为0 的数；
3. 分别解完两组不等式，结果取并集。
【对点训练】1．分式
2
6
2x
x
-
的值为正数的条件是（ ）
A．
3
x <
B．
3
x <
且
0
x ¹
C．0
3
x
<
<
D．
3
x >
【答案】B
【分析】要使分式的值为正数，需满足两个条件，一是分式有意义，分母不为0，二是分子分母同号，根据
平方的非负性判断分母符号后，求解分子的不等关系即可得到x 的取值范围．
【详解】解：∵分式
2
6
2x
x
-
有意义，
∴分母
2
0
x ¹
，即
0
x ¹
，
∵任意非零数的平方都是正数，
∴当
0
x ¹
时，
2
0
x >
，
∵要使分式
2
6
2x
x
-
的值为正数，需分子与分母同号，
∴分子6
2
0
x
-
>
，
解不等式得
3
x <
，
综上，分式的值为正数的条件是
3
x <
且
0
x ¹
．
易错点2 求使分式值为整数时未知数的整数值
易错提醒
易错点总结
1. 不会变形拆分整式+真分式，直接盲目试数，效率低易漏解、多解；
2. 只考虑正约数，忘记负约数，整数解找不全；
3. 求出数值后，忘记检验分母不能等于0，带入无效根；
4. 约数列举杂乱，出现重复数字。
注意事项总结
1. 通用方法：将分式拆分，写成整式+分子为常数的分式形式；
2. 常数分子的所有正负约数全部列举，令分母等于每一个约数，算出未知数；
3. 每一个解都要验证：代入分母，分母≠0 才符合要求；
4. 最后把所有有效整数从小到大整理。
【对点训练】2．若x 是整数，分式
2
6
7
20
2
1
x
x
x
+
-
-
的值也是整数，则满足条件的x 的个数是（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．8 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的化简，将
2
6
7
20
2
1
x
x
x
+
-
-
化简为
15
3
5
2
1
x
x
+ -
- ，是解题的关键．
将分式
2
6
7
20
2
1
x
x
x
+
-
-
变形为
15
3
5
2
1
x
x
+ -
- ，得出
2
6
7
20
2
1
x
x
x
+
-
-
的值为整数，只需15
2
1
x - 为整数即可，然后分
别求出x 的值即可．
【详解】解：
2
6
7
20
2
1
x
x
x
+
-
-
2
1 3
5
15
2
1
x
x
x
-
+
-
=
-
2
1 3
5
15
2
1
2
1
x
x
x
x
-
+
=
-
-
-
15
3
5
2
1
x
x
=
+ -
- ，
若要
2
6
7
20
2
1
x
x
x
+
-
-
的值为整数，只需15
2
1
x - 为整数即可，2
1
x- 可以是1, 3, 5, 15
± ±
±
±
，
当2
1
1
x - = 时，
1
x = ，
当2
1
1
x - = - 时，
0
x =
，
当2
1
3
x - =
时，
2
x =
，
当2
1
3
x - = - 时，
1
x = - ，
当2
1
5
x - =
时，
3
x =
，
当2
1
5
x - = - 时，
2
x = - ，
当2
1
15
x - =
时，
8
x =
，
当2
1
15
x - = -
时，
7
x = - ，
综上分析可知，分式
2
6
7
20
2
1
x
x
x
+
-
-
的值为整数．满足条件的x 的个数共有8 个，
故答案为：D．
易错点3 分式方程无解与增根问题
易错提醒
易错点总结
1. 混淆增根和无解：误以为增根=无解，忽略两种情况；
2. 找不出增根：不会依据最简公分母=0 算出增根；
3. 含参数方程无解只算整式方程无解，漏掉整式方程有解但解全是增根的情况；
4. 把增根带入整式方程计算参数时符号计算错误。
注意事项总结
1. 增根定义：去分母后整式方程的根，但让原分式分母为0，不是原方程的解；
2. 分式方程无解分两类：
① 去分母得到的整式方程本身无解；
② 整式方程有解，但所有解都是增根；
3. 步骤：先求增根→代入整式方程求参数；两类情况都要逐一讨论。
【对点训练】3．对于关于x 的分式方程2
2
1
3
m
x
x
x
+
- =
-
，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是
0
x =
或
3
x =
B．若分式方程有增根，则
3
2
m = -
C．若分式方程无解，则
1
2
m
-
=
或
3
2
m = -
D．分式方程的增根是
3
x =
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关
键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0 的未知数的值）代入，解得m 值即可．
【详解】解：∵2
2
1
3
m
x
x
x
+
- =
-
的公分母是
3
x x -
∴
3
0
x x -
=
∴
0
3
0
x
x
=
-
=
，
∴
0
3
x
x
=
=
，
2
2
1
3
m
x
x
x
+
- =
-
方程两边同时乘上
3
x x -
得
2
3
2
3
x
m
x
x x
x
+
-
-
=
-
2
2
2
3
2
6
mx
x
x
x
x
+
-
+
=
-
2
3
2
6
mx
x
x
+
=
-
1
2
6
2
x m
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
把
0
3
x
x
=
=
，
分别代入
1
2
6
2
x m
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
得出
1
2 0
0
6
2
m
æ
ö
´ ´
+
=
¹ -
ç
÷
è
ø
（舍去）；
1
2 3
6
2
m
æ
ö
´ ´
+
= -
ç
÷
è
ø
，则
3
2
m = -
∴分式方程的增根是
3
x =
故A 选项是错误的；故D 选项是正确的；B 选项是正确的；
若分式方程无解，则
1
2
6
2
x m
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
∴
1
2
2
x m
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
则
1
2
m
-
=
或
3
2
m = -
故C 是正确的；
故选：A
易错点4 已知方程的根的情况求参数的取值范围
易错提醒
易错点总结
1. 求出整式方程的解后，只限定正负，忘记排除增根；
2. 不等式边界分不清能否取等号；
3. 含多个参数讨论不全面；
4. 系数含字母时，忽略整式方程一次项系数不为0 的限制。
注意事项总结
1. 先去分母化为一元一次整式方程，用参数表示出方程的解；
2. 根据根大于0、小于0、非负数等条件列不等式；
3. 额外附加条件：解≠增根，剔除会造成分母为0 的取值；
4. 一次项系数含参数时，要保证一次项系数≠0，方程才有唯一解。
【对点训练】4．已知关于x 的分式方程
2
1
1
1
m
x
x
-
=
-
-
的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）
A．
1
m >
B．
1
m ³
C．
1
m ³ 且
2
m ¹
D．
1
m > 且
2
m ¹
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，用m 表示出方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义的条件
（分母不为0）列出不等式，求解即可得到m 的取值范围；
【详解】解：原方程
2
1
1
1
m
x
x
-
=
-
-
方程两边同时乘以
1
x -
，得：
2
1
m
x
-
=
- ，
整理得：
1
x
m
=
- ，
∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时分母不为0 ，
∴
0
x ³
，且
1
0
x - ¹
，
∴
1
0
m - ³
，且
2
0
m-
¹
解得
1
m ³ 且
2
m ¹
；
易错点5 分式的化简求值问题
易错提醒
易错点总结
1. 通分、约分时常数项、符号出错，括号前是负号去括号不变号；
2. 乘除运算未颠倒除式分子分母就直接相乘；
3. 化简完毕代入数值时，选取了使原式分母为0 的数字；
4. 运算顺序混乱，先代入数字再化简，计算繁琐易错；
5. 整体代入题型执着求单个字母值，不会整体替换。
注意事项总结
1. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内；
2. 分式除法必须转化为乘以倒数；
3. 自选数字代入题：所选数字必须让原式所有分母、除式均不为0；
4. 一定先彻底化简，再代入求值；优先整体代入简化计算。
【对点训练】5．先化简再求值：
15
4
(
1
)
1
1
x
x
x
x
-
+ -
¸
-
-
，且
2017
x =
．
【答案】
4
x +
，2021
【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化到最简，然后将数值代入计
算即可．
【详解】解：原式
2
16
1
x
x
-
=
-
1
4
x
x
-
´
-
4
4
1
x
x
x
+
-
=
-
1
4
x
x
-
´
-
4
x
=
+
，
当
2017
x =
时，
原式
2017
4
2021
=
+
=
．
易错点6 分式方程的实际应用
易错提醒
易错点总结
1. 审题找不到等量关系，行程、工程、利润类等量关系式列错；
2. 单位不统一、速度时间工作量对应关系颠倒；
3. 列出分式方程求解后，只检验计算对错，忘记双重检验；
4. 解出负数、不符合现实意义的正数不会舍去。
注意事项总结
1. 三类常用等量关系：
工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间；
2. 解完方程两步检验：
①检验是否为分式方程的根；
②检验结果符合实际生活意义（时间、速度、人数不能为负）；
3. 作答完整，不要遗漏单位。
【对点训练】6．【问题背景】
某品牌坚果有桶装
1000 g 和袋装
400 g 两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的3
5 ，且用
600 元购买袋装坚果的数量比用600 元购买桶装坚果的数量多10 件．
【问题解决】
(1)求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价；
(2)小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15 元，每件袋装坚果的
利润为9 元，全部销售完他希望总利润不少于1500 元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2 倍还多
6 件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？
【答案】(1)每件桶装坚果的价格为40 元，每件袋装坚果的价格为24 元
(2)小赵至少需要购买44 件桶装坚果
【分析】（1）设每件桶装坚果的价格为x 元，则每件袋装坚果的价格为3
5 x 元，根据用600 元购买袋装坚果
的数量比用600 元购买桶装坚果的数量多10 件建立方程求解即可；
（2）设购买桶装坚果m 件，则购买袋装坚果
2
6
m +
件，根据总利润不少于1500 元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每件桶装坚果的价格为x 元，则每件袋装坚果的价格为3
5 x 元，
根据题意得
600
600
10
3
5
x
x
-
=
，
解得
40
=
x
，
经检验，
40
=
x
是原分式方程的解，且符合题意，
3
3
40
24
5
5
x
\
=
´
=
，
答：每件桶装坚果的价格为40 元，每件袋装坚果的价格为24 元．
（2）解：设购买桶装坚果m 件，则购买袋装坚果
2
6
m +
件，
由题可得：
15
9 2
6
1500
m
m
+
+
³
，
解得
9
4311
m ³
，
∵m 为整数，
m
\
的最小值为44，
答：小赵至少需要购买44 件桶装坚果．
易错点7 与分式及分式运算有关的新定义型问题
易错提醒
易错点总结
1. 固守原有分式运算法则，不按题目自定义规则计算；
2. 前后字母顺序颠倒，代入位置错乱；
3. 多层嵌套新运算不会分步计算；
4. 化简结束忽略分式分母不为0 的隐含条件。
注意事项总结
1. 严格照搬题干给出的新运算公式，不得自创运算法则；
2. 分清前后两项对应位置，顺序不可调换；
3. 多层运算由内向外分步计算；
4. 求解参数、取值范围时，始终兼顾分式有意义条件：分母不为0。
【对点训练】7．【定义新运算】对正实数,a b ，定义运算“Ä”，满足
ab
a
b
a
b
Ä
=
+
．
例如：当
0
a >
时，
2
1
2
2
1
2
1
2
1
a
a
a
a
a
×
Ä =
=
+
+ ．
(1)当
0
a >
时，请计算：
2
2
a
a
Ä
= __________．
【探究运算律】
对正实数,a b 运算“Ä”是否满足交换律a
b
b
a
Ä
=
Ä
？
,
ab
ba
a
b
b
a
a
b
b
a
Ä
=
Ä
=
+
+
Q
，
a
b
b
a
\ Ä
=
Ä
．
∴运算“Ä”满足交换律a
b
b
a
Ä
=
Ä
．
(2)对正实数, ,
a b c ，运算“Ä”是否满足结合律
a
b
c
a
b
c
Ä
Ä
=
Ä
Ä
？请说明理由．
【答案】(1) a
(2)满足，理由如下，
左边：
ab
abc
c
ab
abc
a
b
a
b
a
b
c
c
ab
ab
ac
bc
a
b
ab
ac
bc
c
a
b
a
b
×
+
+
Ä
Ä
=
Ä
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
，
右边：
bc
abc
a
bc
abc
b
c
b
c
a
b
c
a
bc
ab
ac
bc
b
c
ab
ac
bc
a
b
c
b
c
×
+
+
Ä
Ä
=
Ä
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
，
∴左边=右边，
∴对正实数, ,
a b c ，运算“Ä”满足结合律
a
b
c
a
b
c
Ä
Ä
=
Ä
Ä
．
【分析】（1）因为新运算规则为
ab
a
b
a
b
Ä
=
+
，所以将2a 分别代入对应位置，按照规则计算即可；
（2）如果要验证结合律是否成立，那么需要分别计算
a
b
c
Ä
Ä 和
a
b
c
Ä
Ä
的结果，再对比二者是否相
等，计算时先将括号内的运算按照新运算规则化简，再将化简结果作为新的运算元素代入外层的新运算，
最后整理表达式验证是否相等．
【详解】（1）解：
2
2
2
4
2
2
2
2
4
a
a
a
a
a
a
a
a
a
´
Ä
=
=
=
+
．
（2）略
一、单选题
1．定义一种“Ä”运算：
b
a
b
a
b
a
b
Ä
=
¹
-
，例如：
3
3
1
3
1 3
2
Ä
=
= -
-
，则方程
1
2
1
2
x
x
Ä
=
+
-
的解是
（ ）．
A．
2
x =
B．
3
2
x =
C．
1
2
x =
D．
1
x = -
【答案】C
【分析】根据题中新定义的运算规则，将所求方程转化为常规分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最
后检验即可得到结果．
【详解】解：∵由新定义
b
a
b
a
b
a
b
Ä
=
¹
-
，
∴2
2
x
x
x
Ä
=
-
，
∵
1
2
1
2
x
x
Ä
=
+
-
，
∴
1
1
2
2
x
x
x
=
+
-
-
，
去分母得
1
2
x
x
- = +
-
，
解得
1
2
x =
，
检验：当
1
2
x =
时，
2
0
x -
¹
，
∴原分式方程的解为
1
2
x =
．
2．如果a，b，c 是正数，且满足
9
a
b
c
+
+
=
，
1
1
1
10
9
a
b
b
c
c
a
+
+
=
+
+
+
，那么
a
b
c
b
c
c
a
a
b
+
+
+
+
+
的值为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】A
【分析】先根据题意得出
9
a
b
c
-
-
=
，
9
b
a
c
-
-
=
，
9
c
a
b
=
-
-
，再代入原式进行计算即可．
【详解】解：∵a，b，c 是正数，且满足
9
a
b
c
+
+
=
，
∴
9
a
b
c
-
-
=
，
9
b
a
c
-
-
=
，
9
c
a
b
=
-
-
，
∴
a
b
c
b
c
c
a
a
b
+
+
+
+
+
9
9
9
b
c
a
c
a
b
b
c
c
a
a
b
-
-
-
-
-
-
=
+
+
+
+
+
9
9
9
3
b
c
c
a
a
b
=
+
+
-
+
+
+
1
1
1
9
3
b
c
c
a
a
b
æ
ö
=
+
+
-
ç
÷
+
+
+
è
ø
10
9
3
9
= ´
-
7
=
．
3．若关于x 的分式方程
2
2
3
2
4
2
m
x
x
x
+
=
-
-
+
有增根，则m 的值为（ ）
A．8
- 或12
B．8或12
-
C．8或12
D．8
- 或12
-
【答案】D
【分析】分式方程的增根是化为整式方程后，使原分式方程分母为零的根，先确定增根的可能取值，再将
分式方程化为整式方程，代入增根即可求出m 的值．
【详解】解：原方程为
2
2
3
2
4
2
m
x
x
x
+
=
-
-
+
，方程的最简公分母为
2
2
x
x
-
+
，
Q原方程有增根，
\
2
2
0
x
x
-
+
=
，
令
2
0
x -
=
或
2
0
x +
=
，
解得
2
x =
或
2
x = -
原方程两边同乘
2
2
x
x
-
+
去分母得：
2
2
3
2
x
m
x
+
+
=
-
整理得：
10
=
+
x
m
当
2
x =
时，2
10
m
=
+
，
解得：
8
m
-
=
，
当
2
x = - 时，2
10
m
- =
+
，
解得：
12
m = -
，
\ m 的值为8
- 或12
-
．
4．若关于x 的分式方程
2
1
3
2
2
2
4
m
x
x
x
+
=
+
-
-
无解，则m 的值为（ ）
A．2
±
B．6
±
C．2
- 或6
D．2 或6
-
【答案】C
【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的
增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算m 的值．
【详解】解：方程两边同乘
2
2
x
x
+
-
得
2
3
2
2
x
x
m
-
+
+
=
，
解得
2
2
m
x
-
=
，
2
2
m
x
-
=
，是整式方程，始终有解，
∴当
2
x =
或
2
x = - 时，原方程分母为零，无解．
令
2
x =
，则
2
2
2
m -
=
，解得
6
m =
；
令
2
x = - ，则
2
2
2
m -
= - ，解得
2
m = - ．
∴
6
m =
或
2
m = - 时，原方程无解．
5．若数a 使关于x 的不等式组
1
1
1
1
3
2
2
3 1
x
x
x
a
x
ì
- £
-
ïí
ï
-
£
-
î
有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程
3
12
1
2
2
y
a
y
y
+
+
=
-
-
有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ）
A．10
-
B．12
-
C．16
-
D．18
-
【答案】B
【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有三个整数解确定a 的取值范围，再解分式方程，根据分式方程
有整数解且分母不为零，找出符合条件的a，最后计算所有符合条件a 的和即可.
【详解】解：
1
1
1
1
3
2
2
3 1
x
x
x
a
x
ì
- £
-
ïí
ï
-
£
-
î
①
②
解①得
3
x ³ - ，
解②得
3
5
a
x
+
£
，
∴不等式组的解集为
3
3
5
a
x
+
- £
£
；
∵不等式组有且仅有三个整数解，三个整数解为3, 2, 1
-
-
- ，
∴
3
1
0
5
a
+
- £
<
，
解得8
3
a
- £
< - ，
3
12
1
2
2
y
a
y
y
+
+
=
-
-
，
去分母得3
(
12)
2
y
a
y
-
+
=
-
，
整理得
10
2
a
y
+
=
，
∵分式方程分母不为0，
∴
2
y ¹
，即
10
2
2
a +
¹
，得
6
a ¹ - ，
又∵方程的解y 为整数，且8
3
a
- £
< - ，
6
a ¹ - ，
∴符合条件的整数a 为
8
a
-
=
或
4
a = - ；
所有满足条件的a 的值之和为
8
4
12
- + -
= -
.
二、填空题
6．若分式
2
2
2
1
x
x
-
-
的值为整数，满足条件的整数x 的个数为 _______ ．
【答案】3
【分析】先化简，再根据分式的值为整数得出分母
1
1
x + = ± 或2
± 求解即可．
【详解】解：
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
-
-
-
=
=
-
+
+ ，
∵分式的值为整数，x 为整数，
∴
1
1
x + = ± 或2
± ，
当
1
1
x + = 时，
0
x =
；
当
1
1
x + = - 时，
2
x = - ；
当
1
2
x + =
时，
1
x = ，此时
1
0
x - =
，使分式无意义，故舍去；
当
1
2
x + = - 时，
3
x
-
=
；
综上，满足条件的整数x 的个数共3 个．
7．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B 两种手机，并将A、B 两种手机分别按利润率50%和80%定价
销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的30%和50%，此时，A、B 两种手机的营业额之比为3:5．为
迎接店庆十周年，商店决定将B 种手机降价销售，A 种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B 两种手机
的总利润之比为20: 21，则B 种手机在降价销售时的利润率为_______．
【答案】
46%
【分析】设进价与A，B 两种手机的总进货量，先根据已售部分的营业额之比得到A，B 进货量的关系，再
根据总利润之比列方程即可求解B 降价后的利润率．
【详解】解：设每部手机进价为m ，A 种手机总进货量为x ，B 种手机总进货量为y ，B 种手机降价销售时
的利润率为r ，
由题意，A 的定价为
1 50%
1.5
m
m
+
=
，B 的定价为
1 80%
1.8
m
m
+
=
，
根据已售出部分营业额比为3:5，列方程得：1.5
30%
3
1.8
50%
5
m
x
m
y
×
=
×
，
约去m 后化简得：0.45
3
0.9
5
x
y =
，即
3
2
5
x
y =
，即
6
5
x
y
=
，
A 种手机价格不变，全部售完后总利润为：
50%
0.5
A
W
m x
mx
=
×
=
，
B 种手机总利润分两部分计算：
80%
50%
50%
0.4
0.5
B
W
m
y
rm
y
r my
=
×
+
×
=
+
，
根据总利润比为20: 21，列方程得：
0.5
20
0.4
0.5
21
mx
r my =
+
，
将
6
5
x
y
=
代入，约去
,
m y 得：
6
0.5
20
5
0.4
0.5
21
r
´
=
+
，即
0.6
20
0.4
0.5
21
r =
+
，
交叉相乘计算得：12.6
8 10r
=
+
，解得
0.46
46%
r =
=
，
则B 种手机在降价销售时的利润率为46% ．
8．用面积都为2、3 的长方形纸片①、②围成长方形ABCD ，如图所示，其中四边形MNPQ 也是长方
形．设AE
x
=
，DE
y
=
，且x
y
>
．
（1）AB = ______；
（2）若
2
2
3
7
2
0
x
xy
y
-
+
=
，则
ABCD
MNPQ
S
S
=
长方形
长方形
______．
【答案】
3
2
x
y
xy
+
6
【分析】由题意可得①的宽为2
x ，②的长为3
y ，可得AB 的长，再分别表示长方形ABCD 的面积，长方形
MNPQ 的面积，最后，运用“整体换元”思想进一步代入计算可得答案．
【详解】解：∵用面积分别为2、3 的长方形纸片①、②围成长方形ABCD ，AE
x
=
，DE
y
=
，
∴①的宽为2
x ，②的长为3
y ，
∴
2
3
3
2
x
y
AB
x
y
xy
+
=
+
=
，
∴长方形ABCD 的面积为
2
2
2
3
3
5
2
x
xy
y
x
y
x
y
xy
æ
ö
+
+
+
+
=
ç
÷
è
ø
，
长方形MNPQ 的面积为
2
2
3
2
3
5
2
x
xy
y
x
y
y
x
xy
æ
ö
-
+
-
-
=
ç
÷
è
ø
，
∵
2
2
3
7
2
0
x
xy
y
-
+
=
，
∴
2
2
3
2
7
x
y
xy
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
3
5
2
3
2
5
7
5
12
6
3
5
2
3
2
5
7
5
2
ABCD
MNPQ
x
xy
y
S
x
y
xy
xy
xy
xy
xy
x
xy
y
S
x
y
xy
xy
xy
xy
xy
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
-
+
+
-
-
长方形
长方形
．
9．若关于x 的方程
1
1
2
3
3
x
nx
x
x
-
-
-
=
-
-
的解为正数，则n 的取值范围为__________．
【答案】
1
n > - ，且
1
n ¹
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到用含n 的式子表示的x ，再根据解为正数、分母不为0 两个条件
列不等式求解．
【详解】解：
1
1
2
3
3
x
nx
x
x
-
-
-
=
-
-
1 2
3
1
x
x
nx
- -
-
=
-
1 2
6
1
x
x
nx
- -
+
=
-
1
6
n
x
+
=
6
1
x
n
=
+ ，
Q方程的解为正数
\
0
x >
，即
6
0
1
n
>
+
，
解得
1
n > - ，
Q分式方程分母不为0 ，
\
3
x ¹
，
即
6
3
1
n
¹
+
，
解得
1
n ¹ ，
\ n 的取值范围是
1
n > - ，且
1
n ¹ ．
10．方程
10
16
12
14
11
17
13
15
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
+
=
+
-
-
-
-
的解是_______.
【答案】
14
x =
【详解】解：原方程变形为：(
11) 1
(
17) 1
(
13) 1
(
15) 1
11
17
13
15
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
-
+
-
+
-
+
+
=
+
-
-
-
-
，
整理得
1
1
1
1
1
1
1
1
11
17
13
15
x
x
x
x
+
+ +
= +
+ +
-
-
-
-
，
1
1
1
1
11
17
13
15
x
x
x
x
+
=
+
-
-
-
-
，
1
1
1
1
11
13
15
17
x
x
x
x
-
=
-
-
-
-
-
，
(
13)
(
11)
(
17)
(
15)
(
11)(
13)
(
15)(
17)
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
-
，
2
2
(
11)(
13)
(
15)(
17)
x
x
x
x
-
-
=
-
-
-
-
，
1
1
(
11)(
13)
(
15)(
17)
x
x
x
x
=
-
-
-
-
，
(
11)(
13)
(
15)(
17)
x
x
x
x
-
-
=
-
-
，
2
2
24
143
32
255
x
x
x
x
-
+
=
-
+
，
8
112
x =
，
解得：
14
x =
；
检验：当
14
x =
时，原方程所有分母都不为0，
故
14
x =
是原方程的解.
三、解答题
11．定义
1
2
a
b
a
b
Ä
=
+
．根据定义，解答下列问题：
(1) 2
( 1)
Ä -
= ________；
(2)计算
1
1
(
)
(
)
Ä
+
-
Ä
-
-
+
x
y
x
y
x
y
x
y
；
(3)求方程2
(
2)
1
(4
2 )
Ä
-
= Ä
-
x
x 的解．
【答案】(1)3
(2)
2
2
2y
x
y
-
(3)
5
4
x =
【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解．
（1）根据定义列式计算即可；
（2）根据定义列式计算即可；
（3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可．
【详解】（1）解：Q
1
2
a
b
a
b
Ä
=
+
\
1
2
( 1)
2 2
4 1
3
1
Ä -
=
´ +
=
- =
-
，
故答案为：3；
（2）Q
1
2
a
b
a
b
Ä
=
+
1
1
x
y
x
y
x
y
x
y
\
Ä
+
-
Ä
-
-
+
2
1
2
1
x
y
x
y
x
y
x
y
=
+
-
-
-
+
+
-
1
1
x
y
x
y
=
-
-
+
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
+
=
+
-
2
2
2y
x
y
=
-
；
（3）由题意得，
1
1
4
2
2
4
2
x
x
+
=
+
-
-
解得
5
4
x =
经检验，
5
4
x =
是分式方程的解
\原方程的解为
5
4
x =
．
12．化简求值：已知：
2
3
4
0
m
m
+
-
=
，求代数式
2
5
2
2
2
3
m
m
m
m
m
+
æ
ö
-
+
×
ç
÷
+
-
è
ø
的值．
【答案】
2
3
m
m
+
，4
【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再进行乘法运算，约分后可得化简结果，再将方程
2
3
4
0
m
m
+
-
=
变形为
2
3
4
m
m
+
=
，从而可得答案．
【详解】解：
2
5
2
2
2
3
m
m
m
m
m
+
æ
ö
-
+
×
ç
÷
+
-
è
ø
2
5
2
2
2
3
m
m
m
m
m
+
é
ù
=
-
-
×
ê
ú
+
-
ë
û
5
2
2
2
2
3
m
m
m m
m
m
-
+
-
+
=
×
+
-
2
2
5
4
2
3
m m
m
m
m
+
-
+
=
×
+
-
2
2
9
2
3
m m
m
m
m
+
-
=
×
+
-
3
3
2
2
3
m
m
m m
m
m
+
-
+
=
×
+
-
3
m
m
=
+
×
2
3
m
m
=
+
，
∵
2
3
4
0
m
m
+
-
=
，
∴
2
3
4
m
m
+
=
，
∴原式
4
=
．
13．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：
2
2
2
1
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
æ
ö
-
-
+
¸
ç
÷
+
+
+
è
ø
2
2
1
1
(
1)
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
é
ù
+
=
-
×
ê
ú
+
+
-
+
ë
û
L第一步
2
2
2
1
(
1)
1
1
1
x
x
x
x
x
x
-
-
+
=
×
+
-
+
L 第二步
2
1
(
1)
1
1
1
x
x
x
x
-
+
=
×
+
-
+
L第三步
1
1
x
= - L第四步
(1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
(2)任务二：请写出正确的化简过程，再从1
- ，0 ，1三个数中选一个恰当的数作为x 的值代入求值；
(3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提
一条建议： ．
【答案】(1)二，去括号时1
- 没有变号
(2)解：原式
2
2
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
é
ù
-
+
+
=
-
×
ê
ú
+
+
-
+
ë
û
2
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
-
-
+
=
×
+
+
-
2
2
2
1
(
1)
1
1
1
x
x
x
x
x
x
-
+
+
=
×
+
+
-
2
1
(
1)
1
1
1
x
x
x
x
+
=
×
+
+
-
1
1
x-
=
，
∵
1
0
x + ¹
且
1
0
x - ¹
，
∴
1
x
-
¹
且
1
x ¹ ，
∴x 可以取0，
当
0
x =
时，原式
1
1
0
1
=
= -
-
；
(3)分式化简求值时，选取的代入数值必须使原分式的所有分母都不为0，避免出现无意义的情况（答案不
唯一）
【分析】（1）第二步去括号时符号出现错误；
（2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式
1
1
x-
=
，然后根据分式有意义的条件把
0
x =
代入计算即可；
（3）合理即可．
【详解】（1）解：小彬的化简步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时1
- 没有改变符号；
（2）略
（3）略
14．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规
定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，
现收集到如下信息：
信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21 秒；甲飞行3 个航段总用时与乙飞行4 个航段总用时相
等．
信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10 米，甲飞行200 米所用的航段数与乙飞行
160 米所用的航段数相等．
(1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间．
(2)求乙无人机单个航段距离．
(3)由于配送环境限制，在一次长度为480 米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、
乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10 秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒．
【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需12秒，乙无人机飞行单个航段需9秒
(2)乙无人机单个航段距离为40 米
(3)完成本次配送任务的时间是121或124秒
【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需x 秒，乙无人机飞行单个航段需y 秒，根据题意列出关于x 、y 的
二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设乙无人机单个航段距离为m 米，则甲无人机单个航段距离为
10
m +
米，根据题意列出分式方程，
解方程即可得出结果；
（3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为50 米，设甲飞行a 个航段，乙飞行b 个航段，由题意得
50
40
480
a
b
+
=
，整理得5
4
48
a
b
+
=
，求出
4
7
a
b
=
ì
í =
î
或
8
2
a
b
=
ì
í =
î
，再分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需x 秒，乙无人机飞行单个航段需y 秒，
由题意可得
21
3
4
x
y
x
y
+
=
ì
í
=
î
，
解得
12
9
x
y
=
ì
í
=
î
，
∴甲无人机飞行单个航段需12秒，乙无人机飞行单个航段需9秒；
（2）解：设乙无人机单个航段距离为m 米，则甲无人机单个航段距离为
10
m +
米，
由题意得200
160
10
m
m
=
+
，
解得
40
m =
，
经检验，
40
m =
是所列分式方程的解，且符合题意，
∴乙无人机单个航段距离为40 米；
（3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为40 10
50
+
=
米，
设甲飞行a 个航段，乙飞行b 个航段，
由题意得50
40
480
a
b
+
=
，
整理得5
4
48
a
b
+
=
，
∵a ，b 为正整数，
∴
4
7
a
b
=
ì
í =
î
或
8
2
a
b
=
ì
í =
î
，
当
4
7
a
b
=
ì
í =
î
时，12 4
9 7 10
48
63 10
121
´ + ´ +
=
+
+
=
（秒），
当
8
2
a
b
=
ì
í =
î
时，12 8
9 2 10
96 18 10
124
´ + ´ +
=
+
+
=
（秒），
∴完成本次配送任务的时间是121或124秒．
15．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例
如，
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
x
x
x
x
x
x
+
+
=
=
-
+
-
-
，则
2
2
4
4
x
x
+
-
是“好看分式”．根据上述定义，解决问题．
(1)分式
2
1
1
x
x
+
- 、
2
1
1
x
x
+
+ ，其中是“好看分式”的是________．
(2)①若分式
2
2
4
x
m
x
x
+
+
（m 为常数且
0
m ¹
）是一个“好看分式”，求m 的值；
②若分式
2
1
2
x
x
mx
-
+
+
（m 为常数且
0
m ¹
）是一个“好看分式”，求m 的值；
(3)若分式
2
4
x
m
x
x
n
+
+
+
（m 、n 为常数且
0
mn ¹
）是一个“好看分式”，且m 、n 都是正整数
．．．，直接写出m 的
所有可能结果．
【答案】(1)
2
1
1
x
x
+
-
(2)①
2
m =
；②
3
m
-
=
(3)1，2，3
【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关
键．
（1）依据题意，由
2
1
1
x
x
+
=
-
1
1
(
1)(
1)
1
x
x
x
x
+
=
-
+
- ，分式
2
1
1
x
x
+
+ 分母
2
1
x + 无法在实数范围内分解，分子分母无
公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解；
（2）①依据题意，
2
2
4
x
m
x
x
+
+
分母分解：
2
2
4
2 (
2)
x
x
x x
+
=
+
，结合题意分子x
m
+
需与分母中的2x 或
2
x +
有公因式，从而
2
x
m
x
+
=
+
，则m
2
=
，进而可以判断得解；
②依据题意，
2
1
2
x
x
mx
-
+
+
分母分解：需分解为(
1)(
)
x
x
k
-
+
，使常数项为
2
k
- =
，即
2
k
-
=
，从而分母为
(
1)(
2)
x
x
-
-
，对应
3
m
-
=
，即可判断得解；
（3）依据题意，由分式
2
4
x
m
x
x
n
+
+
+
分母分解：设
2
4
(
)(
)
x
x
n
x
a x
b
+
+
=
+
+
，则
4,
a
b
ab
+
=
= n ，故(
)
x
m
+
需等于(
)
x
a
+
，即m
a
=
，从而此时分式化简为
1
x
b
+
正整数解：①
1,
3
a
b
=
=
，则
3,
1
n
m
=
= ；
②
2,
2
a
b
=
=
，则
4,
2
n
m
=
=
；③
3,
1
a
b
=
= ，则
3,
3
n
m
=
=
，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：∵
2
1
1
1
1
(
1)(
1)
1
x
x
x
x
x
x
+
+
=
=
-
-
+
- ，
∴
2
1
1
x
x
+
- ，符合“好看分式”定义．
又 ∵分式
2
1
1
x
x
+
+ 分母
2
1
x + 无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，
∴分式
2
1
1
x
x
+
+ 不符合“好看分式”定义．
故答案为：
2
1
1
x
x
+
- ．
（2）解：①由题意，
2
2
4
x
m
x
x
+
+
分母分解：
2
2
4
2 (
2)
x
x
x x
+
=
+
．
又 ∵分式为“好看分式”，
∴分子x
m
+
需与分母中的2x 或
2
x +
有公因式．
∵
2
x
m
x
+
=
+
，则
2
m =
，
∴此时分式化简为1
2x ，符合定义．
∴
2
m =
．
②由题意，
2
1
2
x
x
mx
-
+
+
分母分解：需分解为(
1)(
)
x
x
k
-
+
，使常数项为
2
k
- =
，即
2
k
-
=
，
∴分母为(
1)(
2)
x
x
-
-
，对应
3
m
-
=
．
（3）解：由题意，∵分式
2
4
x
m
x
x
n
+
+
+
分母分解：
设
2
4
(
)(
)
x
x
n
x
a x
b
+
+
=
+
+
，
则
4,
a
b
ab
n
+
=
=
．
∴(
)
x
m
+
需等于(
)
x
a
+
，即m
a
=
．
∴此时分式化简为
1
x
b
+
，
正整数解：
①
1,
3
a
b
=
=
，则
3,
1
n
m
=
= ；
②
2,
2
a
b
=
=
，则
4,
2
n
m
=
=
；
③
3,
1
a
b
=
= ，则
3,
3
n
m
=
=
．
∴m 的可能值为1,2,3．
