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4.7 三角函数中有关ω 的范围问题
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知函数f(x)=Asin(ωx + π
3)(A>0，ω>0)的图象向左平移3 π
4 个单位长度后与原图象重合，则实数ω 的最
小值是( )
A.4
3
B.8
3
C.16
3
D.8
2.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)=sin(ωx - π
3)(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω 的取值
范围是( )
A.[
11
6 ，17
6 )
B.(
17
6 ，23
6 ]
C.(
11
6 ，17
6 ]
D.[
17
6 ，23
6 )
3.为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50 次最大值，则ω 的最小值为( )
A.98π
B.197 π
2
C.199 π
2
D.100π
4.(2025·内江模拟)设函数f(x)=2sin(ωx + π
6)(ω>0)，若存在x1，x2∈[- π
3 ，π
3ω]，且x1≠x2，使得
f(x1)=f(x2)=1，则ω 的取值范围是( )
A.[4，+∞)
B.(4，6]
C.[6，+∞)
D.(6，10]
5.(2024·广州模拟)设函数f(x)=sin(ωx - π
4)(ω>0)，已知方程|f(x)|=1 在[0，2π]上有且仅有2 个不相等的实数
根，则ω 的取值范围是( )
A.(0，3
4]
B.[
5
8 ，3
4)
C.[
7
8 ，11
8 )
D.[
7
8 ，11
8 ]
6.(2024·银川模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A ，ω>0，|φ|≤π
2)，若x=π
3 为f(x)的零点，直线x=-π
6 是
f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间(
π
66 ，7 π
66)上单调，则当实数ω 取得最大值时，φ 等于( )
A.π
6
B.-π
6
C.π
3
D.-π
3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2024·北京模拟)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)在[- π
4 ，2π
3 ]上单调递增，那么常数ω 的一个取值可以为(
)
A.1
4
B.1
2
C.3
4
D.1
8.(2025·江门模拟)已知函数f(x)=sin(2ωx + π
3)+sin(2ωx - π
3)+2❑√3cos2ωx-❑√3(ω>0)，则下列结论正确的是(
)
A.若f(x)相邻两条对称轴的距离为π
2 ，则ω=2
B.当ω=1，x∈[0，π
2]时，f(x)的值域为[-❑√3，2]
C.当ω=1 时，f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度得到图象的函数解析式为y=2cos(2 x + π
6)
D.若f(x)在区间[0，π
6]内有且仅有两个零点，则5≤ω<8
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2024·上海模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx + π
6)-1(ω>0)在(0，π)内恰有两个零点，则实数ω 的取值范围为
.
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在[0，π
2]上单调递减，则φ= ，ω
的最大值是 .
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答案精析
1.B 2.A 3.B
4.A [∵f(x)=2sin(ωx + π
6)(ω>0)，
∴当x∈[- π
3 ，π
3ω]时，
ωx+π
6 ∈[- π ω
3 + π
6 ，π
2]，
易知0∈[- π
3 ，π
3ω]，f(0)=1，
又2sin(- 7 π
6 )=1，
∴若存在x1，x2∈[- π
3 ，π
3ω]，
且x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)=1，
则-π ω
3 +π
6 ≤-7 π
6 ，解得ω≥4.]
5.C [∵f(x)=sin(ωx - π
4)(ω>0)，
∴当x∈[0，2π]时，
ωx-π
4 ∈[- π
4 ，2π ω- π
4]，
∵方程|f(x)|=1 在[0，2π]上有且仅有2 个不相等的实数根，
∴3 π
2 ≤2πω-π
4 <5 π
2 ，
解得7
8≤ω<11
8 .]
6.B [因为f(x)的最小正周期T=2π
ω ，且f(x)在区间(
π
66 ，7 π
66)上单调，所以T
2 = π
ω≥7 π
66 - π
66= π
11 ，
又ω>0，故0<ω≤11，①
又因为x=π
3 为f(x)的零点，直线x=-π
6 是f(x)图象的对称轴，
所以π
3 -(- π
6)=T
4 +k·T
2 =2k +1
4
·2π
ω =π
2 (k∈Z)，整理得ω=2k+1(k∈Z).②
由①②得0<ω≤11 且ω 为奇数，
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当ω=11 时，将x=-π
6 代入ωx+φ，
令11×(- π
6)+φ=k'π(k'∈Z)，
得φ=k'π+11π
6 (k'∈Z)，
又|φ|≤π
2 ，故取k'=-2，得φ=-π
6 ，
此时f(x)=Acos(11 x - π
6)(A>0).
验证当π
66<x<7 π
66 时，0<11x-π
6 <π，
满足f(x)在区间(
π
66 ，7 π
66)上单调递减，故实数ω 的最大值为11，此时φ=-π
6 .]
7.ABC [f(x)=sin ωx(ω>0)在[- π
4 ，2π
3 ]上单调递增，则ω·2π
3 ≤π
2 ，ω·(- π
4)≥-π
2 ，∴0<ω≤3
4 ，∴选项
ABC 符合题意.]
8.BCD [f(x)=1
2sin 2ωx+
❑√3
2 cos 2ωx+1
2sin 2ωx-
❑√3
2 cos 2ωx+❑√3cos 2ωx
=sin 2ωx+❑√3cos 2ωx=2sin(2ωx + π
3)，
A 项，若f(x)相邻两条对称轴的距离为π
2 ，则T=π= 2π
2ω ，∴ω=1，A 项错误；
B 项，f(x)=2sin(2 x + π
3)，当x∈[0，π
2]时，2x+π
3 ∈[
π
3 ，4 π
3 ]，则值域为[-❑√3，2]，B 项正确；
C 项，当ω=1 时，f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度得到图象的函数解析式为y=2sin[2(x + π
6)+ π
3]=2sin
(2 x + 2π
3 )=2cos(2 x + π
6)，C 项正确；
D 项，f(x)=2sin(2ωx + π
3)，当x∈[0，π
6]时，ω>0，
则2ωx+π
3 ∈[
π
3 ，ω π
3 + π
3]，
若f(x)在区间[0，π
6]内有且仅有两个零点，则2π≤ω π
3 +π
3 <3π，
∴5≤ω<8，D 项正确.]
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9.(2，8
3]
解析 令f(x)=0，
∴sin(ωx + π
6)=1
2 ，
∵x∈(0，π)，ω>0，
∴ωx+π
6 ∈(
π
6 ，ω π + π
6)，
∵f(x)在(0，π)内恰有两个零点，
故13 π
6
<ωπ+π
6 ≤17 π
6
，∴2<ω≤8
3 ，
即实数ω 的取值范围为(2，8
3].
10.π
2 2
解析 由题意知φ=π
2 +kπ，k∈Z，
又0≤φ≤π，所以φ=π
2 ，
故函数f(x)=cos ωx(ω>0).
令2mπ≤ωx≤π+2mπ，m∈Z，
得2m π
ω
≤x≤π
ω+2m π
ω
，m∈Z，
令m=0，得0≤x≤π
ω ，
所以π
ω≥π
2 ，解得0<ω≤2，
所以ω 的最大值是2.
