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基本不等式
一、单项选择题
1．(★)已知0<x<，则函数y＝x(1－2x) 的最大值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵0<x<，
∴1－2x>0 ，
∴x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×2＝，
当且仅当2x＝1－2x ，即x＝时等号成立，
因此，函数y＝x(1－2x)的最大值为.
2．(★)(2023·滨州模拟)若x>，则函数f(x)＝x＋的最小值为( )
A．2
B．2＋1
C．4
D.
答案 D
解析 因为x>，所以2x－1>0，
所以f(x)＝x＋＝(2x－1)＋＋≥2＋＝，当且仅当(2x－1)＝，即x＝时等号成立，
所以函数f(x)＝x＋的最小值为.
3．(★)若两个正实数x，y 满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m 有解，则实数m 的
取值范围是( )
A．{m|－1<m<4}
B．{m|m<0 或m>3}
C．{m|－4<m<1}
D．{m|m<－1 或m>4}
答案 D
解析 因为正实数x，y 满足＋＝1，
所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即y＝8，x＝2 时等号成立，x＋取得最小值4，
由x＋<m2－3m 有解，则m2－3m>4，解得m<－1 或m>4.
故实数m 的取值范围是{m|m<－1 或m>4}．
4．(★★)已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b 的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 由a>－1，b>－2，得a＋1>0，b＋2>0，a＋b＝(a＋1)＋(b＋2)－3≥2－3
＝2×4－3＝5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2 时等号成立，所以a＋
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b 的最小值是5.
5．(★★)已知a，b∈R，若的最大值为m，且不等式x2－ax＋b<0 的解集为
(1,2m)，则a＋b 等于( )
A．3 B．43 C．7 D．11
答案 D
解析 根据不等式xy≤可得·≤＝(a2＋b2)，
当且仅当4a2＋b2＝a2＋4b2，即a2＝b2时等号成立，
所以≤，所以m＝.
所以不等式x2－ax＋b<0 的解集为(1,5)．
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知，
1 和5 是方程x2－ax＋b＝0 的两个解，
所以有所以a＋b＝11.
6．(★★★)正数m，n 满足m＋n＝2，则＋的最小值为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 ∵m＋n＝2，∴(m＋1)＋(n＋2)＝5，
即＋＝1，
∴ ＋
＝＋
＝＋＋
≥＋2＝，
当且仅当＝，
即m＝，n＝时，取等号．
二、多项选择题
7．(★)(2023·南通调研)下列函数中最小值为6 的是( )
A．y＝ln x＋
B．y＝6|sin x|＋
C．y＝3x＋32－x
D．y＝
答案 BC
解析 对于A 选项，当x∈(0,1)时，ln x<0，此时ln x＋<0，故A 不正确；
对于B 选项，y＝6|sin x|＋≥2＝6，当且仅当6|sin x|＝，即|sin x|＝时取
等号，故B 正确；
对于C 选项，y＝3x＋32－x≥2＝6，当且仅当3x＝32－x，即x＝1 时取等号，故C 正
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确；
对于D 选项，
y＝＝＋≥2＝6，
当且仅当＝时取等号，此时x2＝－7，无解，故D 不正确．
8．(★★)(2023·武汉模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的
是( )
A．a2＋b2≥8
B.≥
C.≥2
D.＋≤1
答案 AB
解析 由题意可得，16＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，当且仅当a＝
b＝2 时，等号成立，所以ab≤4，则2ab≤8，所以a2＋b2＝16－2ab≥16－8＝
8，故A 正确；
因为4＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝2 时，等号成立，所以≤2，ab≤4，因为
a>0，b>0，所以ab>0，所以≥，故B 正确；
由选项B 可知，≤2，故C 错误；
因为＋＝
＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当a＝b＝2 时，等号成立，故D 错误．
9．(★★)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y 满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1
B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2
D．x2＋y2≥1
答案 BC
解析 因为ab≤2≤(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1 可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1 时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1 时，x＋y＝2，所以A 错误，B 正确；
由x2＋y2－xy＝1 可变形为
(x2＋y2)－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1 时取等号，所以C 正确；
因为x2＋y2－xy＝1 可变形为
2＋y2＝1，
设x－＝cos θ，y＝sin θ，
所以x＝cos θ＋sin θ，
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y＝sin θ，
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，
所以当x＝，y＝－时满足x2＋y2＝，
所以x2＋y2≥1 不成立，所以D 错误．
10．(★★★)(2023·黄冈模拟)已知a，b 为正实数，且ab＋a＋b＝8，则下列
结论正确的是( )
A．ab 的最大值为4
B．(a＋1)2＋(b＋1)2的最小值为18
C．a＋b 的最小值为4
D.＋的最小值为
答案 ABC
解析 由题意知，a，b 为正实数，且ab＋a＋b＝8，
对于A，因为8＝ab＋a＋b≥ab＋2，当且仅当a＝b＝2 时等号成立，
解不等式得－4≤≤2，又因为>0 所以ab≤4，故ab 的最大值为4，所以A 正确；
对于B，(a＋1)2＋(b＋1)2≥2(a＋1)·(b＋1)＝2(ab＋a＋b＋1)＝18，
当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝2 时等号成立，此时(a＋1)2＋(b＋1)2取得最小
值18，所以B 正确；
对于C，由a＋b＝8－ab≥8－2，当且仅当a＝b＝2 时，等号成立，
可得(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≥4，即a＋b 的最小值为4，所以C 正
确；
对于D，＋≥2＝2＝，
当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝2 时等号成立，此时＋取得最小值，所以D 错误．
三、填空题
11．(★★)(2023·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为________．
答案 9
解析 因为x>－1，则x＋1>0，
所以y＝
＝
＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1 时等号成立，
所以函数的最小值为9.
12．(★★★)(2024·衡水模拟)已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m＋n＝1，
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则＋的最小值为______．
答案
解析 因为m≥0，n≥0，m＋n＝1，
所以m＋2>0，n＋1>0，
不妨设a＝m＋2>0，b＝n＋1>0，
则m＝a－2，n＝b－1，a＋b＝m＋n＋3＝4，
则＋＝＋
＝＋＝a＋b－6＋＋
＝＋－2＝(a＋b)－2
＝－2≥－2＝，
当且仅当a＝2b，即m＋2＝2n＋2，m＝2n＝时取等号，
故＋的最小值为.
