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1
【立方和、立方差公式】【选讲】题集【A】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
由
，即
．我们把这个等式叫做立方公式．下列应用这个立方公式进行的变
形不正确的是（ ）．
【答案】D
∵立方公式
，
∵
．
；
∴符合以上公式，故
选项正确；
∵．
；
∴符合以上公式，故正确；
∵
．
；
∴符合以上公式，故正确；
∵
．
∴不符合以上公式，故
正确；
【知识点】和与差的立方公式
A.
B.
C.
D.
2. 由
可得：
①我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个
立方和公式进行的变形中，等式不成立的是（ ）．
2
【解析】
【标注】
【答案】D
项中：
．
【知识点】利用立方和与立方差公式因式分解
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
3.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
【解析】
【标注】
利用立方和（差）公式填空：
；
；
；
；
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
．
．
．
．
．
【知识点】和与差的立方公式
4.
【解析】
【标注】
利用立方和、立方差公式填空：
．
【答案】
【知识点】和与差的立方公式
3
5.
【解析】
【标注】
已知
，且
，则
的值为 ．
【答案】
法一：
；
法二：由
，
得
．
【知识点】整式乘除化简求值-整体代入化简求值
6.
【解析】
【标注】
已知
，
，则
的值为 ．
【答案】
．
【知识点】整式乘除化简求值-条件化简求值
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
计算
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
．
．
【知识点】完全平方公式的计算-不含分式
8.
【解析】
【标注】
计算：
．
【答案】
．
原式
．
【知识点】和与差的立方公式
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
9.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
【标注】
计算：
．
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
．
．
．
略
略
略
略
【知识点】整式乘除的综合
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
10.
【标注】
因式分解：
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
【知识点】利用平方差公式因式分解
5
（1 ）
（2 ）
11.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知
，
，求
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
，故
，则
，故
.
（此时也可以通过解二元一次方程组解出，）
故答案为：
．
．
故答案为：．
【知识点】和与差的立方公式
（1 ）
（2 ）
12.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
解答下列各题．
已知
，求
的值．
已知
，求
和
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
，
．
，
．
故答案为：
，
．
由
得
，
所以
，
．
故答案为：
，
．
【知识点】完全平方公式的计算-不含分式
，
，
，
13. 已知
，求
的值．
【答案】
．
6
【解析】
【标注】
．
，
原式
．
【知识点】和与差的立方公式
14.
方法一：
方法二：
方法三：
【解析】
【标注】
已知
，
，求
的值．
【答案】
．
由
，
得
，∴
．
所以
．
，
∴
，同方法一可求得
．
消元思想：
∵
，
∴
，
而
，
∴
，
∴
．
【知识点】和与差的立方公式
（1 ）
15. 解答下列各题：
【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形
，如图，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图），根据图、图阴影部分
的面积关系，可以得到一个关于、的等式 ．
7
（2 ）
1
2
（3 ）
（1 ）
（2 ）
1
（3 ）
【解析】
图
图
【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为
的小正方体后余下的部分（如图
）再切割拼成一个几何体（如图）.
图中的几何体的体积为 ，
图中的几何体的体积为 ，
根据它们的体积关系得到关于、的等式为：
．（结果写成整式的积形式）．
图
图
【知识运用】
因式分解：
．
已知
，
，则
的值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
;
;
根据图、图阴影部分的面积相等可得：
；
故答案为：
．
根据图可知：体积为
，根据图可知：体积为
，
∴
，
故答案为：
，
，
．
由
可得：
，
故答案为：
．
8
2
【标注】
∵
，
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】利用立方和与立方差公式因式分解
