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1
解高次方程 题集【A】
1. 倒数方程
1.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
．
设
，则
求得
，进而求得
．
观察方程特点，发现方程中各项系数关于中间项对称，由原方程可知
，则在方程
两边同除以
，得
，
令
，
则
，
即
，
于是上述方程化为
，
解这个方程得
或
，
当
时，
，
即
，
解得
，
，
当
时，
，
即
，
解得
，
．
所以，原方程的解为
，
，
，
．
【能力】运算能力
【知识点】高次方程
，
，
，
，
，
，
2.
【解析】
解方程：
．
【答案】
，
．
可以用因式分解，原方程化为
，
2
【标注】
解得
，
．
或者令
，原方程化为
，
即
，得
（舍去），或
．
于是
，即
，
解得
，
．
【知识点】高次方程
【能力】运算能力
3.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
，
，
，
显然
，两边同除以
，得：
即：
令
，则
，
所以方程①可化为：
，即：
．
解得：
，
，即
，
．
解得：
，
，
，
．
【能力】运算能力
【知识点】高次方程
4.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
，
，
，
．
方程两边同除
，则原方程可化为
，
令
，则原方程化为
，
解得
，
，
可求得
，
，
，
．
【知识点】非二项方程
3
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
解方程：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
，
．
，
，
，
，
．
显然
，两边同除以
，
得：
，
即：
①，
令
，则
，
所以方程①可化为：
，
即：
．
解得：
，
，
即
，
．
解得：
，
，
，
．
观察知
为原方程的一个解，
于是
必为左边代数式的一个因式．
于是有
．
得
或
，
下面来解
，
显然
，两边同除以
，
得：
，
即：
，
令
，则
，
所以方程可化为：
，
即：
．
解得：
，
，
即
或
．
解得：
，
，
，
．
于是原方程的解为
，
，
，
，
．
4
【标注】【能力】运算能力
【知识点】高次方程
【知识点】解一元二次方程
A.
B.
C.
，
D. 以上全是
6.
【解析】
【标注】
方程的解是（ ）．
【答案】D
原方程两边同除以
变形得：
，
令
，则
解得：
，
．
当
，解得
，
；当
，解得
，
．
【知识点】高次方程
7.
【解析】
【标注】
根据结论：
的解为
，
，则方程
的解
，
．
【答案】
方程
左右两边同时加，
得：
，
的解为
，
，
∴
的解为
，
，
∴
或
，
解得
或
，
∴
．
【知识点】由分式方程的解确定参数；解可化为一元二次方程的分式方程
2. 高次换元法
（1 ）
1. 【发现】
是一个一元四次方程．
【探索】根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：
5
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
设
，那么
，于是原方程可变为 ，
解得：
，
，
当
时，
，
∴
；
当
时，
，
∴
；
原方程有个根，分别是 ．
【应用】仿照上面的解题过程，求解方程：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，，，，
，
，
．
．
设
，那么
，于是原方程可变为
，
解得：
，
，
当
时，
，
∴
；
当
时，
，
∴
；
原方程有个根，分别是
，
，
故答案为：
，
，，，，
，
，
．
，
设
，方程变形得：
，
解得：
或
，
可得
或
（无解），
解得：
．
【方法】换元法
【能力】运算能力
【知识点】高次方程
2. 解高次方程
．
解：设
，则原方程变为
，解得
，
，
则有
或
，
∴原方程的解为
，
，
，
．
阅读以上材料，试解方程：
．
6
【解析】
【标注】
【答案】
，
．
，
设
则原方程变为
解得
，
，
则有
或
，
∵平方不能为负数，
含去
∴原方程的解为
，
．
故答案为：
，
．
【能力】运算能力
【知识点】高次方程
3.
【解析】
已知方程为
．求所有满足条件的未知数的和．
【答案】．
令
则
，
①
，
②
，
．
7
【标注】【知识点】非二项方程
4.
【解析】
【标注】
已知：
，求
的值 ．
【答案】
或
或
整体换元及判别式的应用
，
∴
或
（舍去）（无实根），
∴
．
【知识点】公式法求一元二次方程的根
5.
【解析】
【标注】
．
【答案】
，
，
，
．
，
，
①，
或
②，
由①得
，
，
，
【知识点】非二项方程
3. 因式分解法
1.
【解析】
解方程
，
， ， ．（从小到大填写）
【答案】
; ;
因式分解可得
，
∴
或或．
8
【标注】
故答案为：
；；．
【知识点】高次方程
【能力】运算能力
2.
【解析】
【标注】
方程
的解是 ．
【答案】
,
,
，
，
或
，
即
,
,
．
【知识点】高次方程
3.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
．
略．
【知识点】非二项方程
，
，
4.
【解析】
【标注】
方程
的解为 ．
【答案】
，
，
，
由题意可得
或
，
得
，
解得
或
，
∴
，
，
，
．
【知识点】非二项方程
5. 解方程：
．
9
【解析】
【标注】
【答案】
，
，
，
．
方程中只含有未知数的四次项、二次项与常数项，这是通常所称的双二次方程，
将
作为一个整体分解因式，得
，即
，
从而原方程的解是
，
，
，
．
【知识点】非二项方程
6.
【标注】
计算：
．
【答案】
，
．
【能力】运算能力
【知识点】高次方程
7.
【解析】
【标注】
方程
的解为 ．
【答案】
或
∵
，
，
∴
或
．
【知识点】高次方程
8.
【解析】
解方程：
．
【答案】
，
，
∴
或
，
当
，
解得：
，
，
当
，
原方程没有实数根，
∴
，
．
10
【标注】【知识点】非二项方程
9.
【解析】
【标注】
解下列一元高次方程．
．
【答案】
，
．
直接对左边进行试根，或者直接因式分解解决问题：
，
，
∴
，
．
【知识点】高次方程
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
解下列方程：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
,
，
．
，
，
，
．
移项，得
．
提取公因式并应用十字相乘法分解因式，得
．
所以原方程的解是
,
，
．
方程中只含有未知数的四次项、二次项与常数项，这是通常所称的双二次方程，
将
作为一个整体分解因式，得
，即
，
从而原方程的解是
，
，
，
．
【知识点】高次方程
【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
【能力】运算能力
（1 ）
（2 ）
11. 解下列方程：
．
．
11
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
．
，
，
．
方程左边分解因式，得
，
，
所以原方程的解是
，
，
．
方程左边分解因式，得
，
，
因为
，所以
．
从而原方程的解是
，
，
，
【知识点】提公因式法
【知识点】高次方程
【能力】运算能力
