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1
换元法解一元二次方程 题集【A】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
为解方程
，我们可以将
视为一个整体，然后设
，则
，原方程化为
．①
解得
，
当
时，
，∴
，∴
；
当
时，
，∴
，∴
．
∴原方程的解为
，
，
，
．
解答问题：
填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的
数学思想．
解方程：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
换元 ; 整体
，
利用（换元）法达到了降次的目的，体现了（整体）的数学思想．
令
∴
∴
（舍）
则原方程的解为
，
．
【知识点】换元法求一元二次方程的根
2. 阅读材料：
为解方程
时，我们可以将
看作一个整体，然后设
①，
那么原方程可化为
，解得
，
．当
时，
，∴
；当
时，
，∴
；故原方程的解为
，
．
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
解答问题：
上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，运用了 法达到了解方程的目的，体
现了转化的数学思想．
请利用以上知识解方程：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
换元
，
．
∵将
看作一个整体，然后设
，实际上是将
转化为了，
∴这一步是运用了数学里的转化思想，这种方法交换元法．
故答案为：换元．
设3x+5=y，则原方程变形为：
，
解得：
，
．
当
时，
，
；
当
时，
，
，
∴
，
．
【知识点】换元法求一元二次方程的根
3.
方法一：
【解析】
解方程：
．
【答案】
，
．
，
，
，
，
，
，
．
3
方法二：
【标注】
，
令
原方程为：
，
，
，
，
，
或
，
①
，
，
方程无解，
②
，
，
，
，
方程的解是
，
．
【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
【能力】运算能力
4.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
，
．
令
，则
，解得
，
；
当
时，即
，无实数根；
当
时，即
，解得
，
．
【知识点】换元法求一元二次方程的根
5.
【解析】
解方程：
．
【答案】
，
．
设
，则原方程化为
，
即
，代回可得：
，
即
或
．
4
【标注】
，可化为
，
解得
，
．
，用公式法解决，
，
故此方程无实数根．
综上方程解为：
，
．
【知识点】解一元二次方程
6.
【解析】
【标注】
方程
的解为 ．
【答案】
令
，则
，
，
，
，
∵
，
∴
，
．
【知识点】换元法求一元二次方程的根
7.
【解析】
【标注】
已知满足
，则
= .
【答案】
令
整体换元带入，
解方程可得
或，
而当
时，
无实数根，舍去．
故答案为．
【知识点】整体换元
8.
【解析】
解方程：
．
【答案】
，
5
【标注】
原方程化简为
，令
，①
原方程变形为
，整理得
，解得
，
．由
，代入①，解得
，
．由
，代入①，因
，所以无实数解，故舍去．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
9.
【解析】
【标注】
已知为实数，且满足
，那么
的值为 ．
【答案】
令
，
则
，
∴
，
，
当
时，
方程有解，
当
时，
方程无解，
则
．
【知识点】换元法求一元二次方程的根
10.
【解析】
【标注】
已知为实数，且满足
，则
的值为 ．
【答案】
令
，
得
，
或
，
有解时，
，
所以
，故答案为．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
A.
B.
C.
或
D.
或
11. 已知实数、满足
，则
的值为（ ）．
6
【解析】
【标注】
【答案】B
由题意知
，
∴
，
∴
，
（舍去），
故选．
【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
12.
【解析】
【标注】
已知
，则
的值为 ．
【答案】
，
原方程可化为
解得
或
∵
∴
．
【知识点】配方法求一元二次方程的根
13.
方法一：
方法二：
【解析】
若实数、满足
，则
．
【答案】
或
设
，则原式可变形为：
，
化简得：
，即
，
得：
，
，
即
或．
设
，则由原方程，得:
，
整理，得
，即
，
分解得：
，
解得：
．
则
的值是
或．
7
【标注】【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
14.
【解析】
【标注】
已知
，则
的值为 ．
【答案】
把
看作一个字母，则可以设
，
则有
即可求得
的值．
设
，则有
，
解得
或
，
又∵
，
∴
．
【知识点】非二项方程
15.
【解析】
【标注】
设，是一个直角三角形两条直角边的长，且
，则这个直角三角形的
斜边长为 ．
【答案】
设
，则由原方程，得
，
整理，得
，
解得
或
（舍去）．
则
，
∵，是一个直角三角形两条直角边的长，
∴这个直角三角形的斜边长为
．
【知识点】与三角形三边关系结合
