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1
【立方和、立方差公式】【选讲】题集【B】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
探究应用：
计算
；
．
上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： （请用含，的字母
表示）．
直接用公式计算：
；
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
；
．
；
；
．
．
；
．
【知识点】和与差的立方公式
2.
【解析】
【标注】
分解因式：
．
【答案】
原式
．
【知识点】提公因式+完全平方；提公因式法
A.
B.
C.
D.
3. 若
，求
的值（ ）．
【答案】B
2
【解析】
【标注】
解法一：
由
可得，
原式
．
解法二：
由
可得，
．
【知识点】和与差的立方公式
4.
【解析】
【标注】
已知
，
，则
．
【答案】
，
即
，
即
，
，
即
．
【知识点】整式乘除化简求值-降次化简求值
5.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
已知：
，则
．
【答案】
．
，
∵
，∴
．
【知识点】整式乘除化简求值-整体代入化简求值
3
6.
【解析】
【标注】
已知实数
满足方程组
则
．
【答案】
，
∴
，
，
．
【知识点】多元二次方程（组）
7.
【解析】
【标注】
试说明无论为何值，代数式
的值与的取值
无关．
【答案】证明见解析．
结果为常数，
无论为何值，代数式
的值等于一个常数．
即代数式
的值与的取值无关．
【知识点】整式乘除-无关项求值
8.
【解析】
【标注】
．
【答案】
．
．
【知识点】利用立方和与立方差公式因式分解
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
9.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
计算．
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
．
．
．
【知识点】多项式乘多项式
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
分解因式：
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
.
原式
．
．
【知识点】拆添项法
5
11.
【解析】
【标注】
分解因式：
．
【答案】
．
原式
．
【知识点】利用立方和与立方差公式因式分解
12.
【解析】
【标注】
已知
，
，求
的值．
【答案】
．
，
∵
；
∴
，
．
【知识点】利用立方和与立方差公式因式分解
图
（1 ）
1
（2 ）
13. 学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而
可以利用得到的等式解决问题．
如图，是由边长为
的正方形和长为
宽为的长方形拼成的大长方形，由图，可得
等式：
．
请从下列的
，
两题中任选一题做答．
A：①如图，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为
的大正方形，用
不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 .
②已知
，利用①中所得到的等式，求代数式
的值．
，
，
，
6
图
图
2
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
【标注】
B : ①如图，是用个小正方体和个小长方体拼成一个棱长为
的大正方形，类比
（）题，用不同的方法表示这个大正方体的体积，得到的等式为 ．
②已知
，利用①中所得的等式，求代数式
的值．
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
①
，
②
．
①
，
②
．
如图，是由边长为、的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，
由图可得等式：
．
①
②
①
，
②
．
【知识点】完全平方公式的几何背景
，
7
选做
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
若
，
（
），则
的值为（ ）．
【答案】D
，
，
两式相减得到
．
又
，所以
，
方法一：由立方和公式：
．
又由已知条件
，所以
．
方法二：
．
【知识点】整式加减化简求值-条件化简求值
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
（7 ）
2. 因式分解：
．
．
．
．
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
（7 ）
【解析】
【标注】
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（6 ）
（7 ）
．
．
．
．
．
略．
略．
略．
略．
原式
．
略．
略．
【知识点】二次项系数为±1的十字相乘
