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2025二轮复习专项训练18
空间点、直线、平面之间的位置关系
[考情分析] 高考必考内容，主要以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，
主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小，或者以解答题的形式考查空间平行、
垂直的证明，并与空间角的计算综合命题．
【练前疑难讲解】
一、空间直线、平面位置关系的判定
1．判断与空间位置关系有关的命题的方法：
借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关
定理，进行肯定或否定．
2．两点注意：
(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
(2)当从正面入手较难时，可先假设结论成立，然后推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，
进而作出判断．
二、空间平行、垂直关系
1．直线、平面平行的判定定理及其性质定理
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2．直线、平面垂直的判定定理及其性质定理
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
三、空间直线、平面位置关系中的综合问题
1．处理空间点、直线、平面的综合问题，要认真审题，并仔细观察所给的图形，利用空间
直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解．
2．解决与折叠有关的问题的关键是弄清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的
长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．
一、单选题
1．（2023·四川南充·一模）如图，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ，
的中点，则平面 截正方体所得的截面面积为（ ）A． B． C．9 D．18
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱
上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角
的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·山东·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 分别
是 的中点， 是线段 上的动点，则下列说法中正确的是（ ）A．存在点 ，使 四点共面
B．存在点 ，使 平面
C．三棱锥 的体积为
D．经过 四点的球的表面积为
4．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）图，在棱长为2的正方体 中，点
E，F分别是线段AC， 上的动点， ， ，且 .记 与
所成角为 ， 与平面 所成角为 ，则（ ）
A．当 时，四面体 的体积为定值
B．当 时，存在 ，使得 平面
C．对于任意 ， ，总有
D．当 时，在侧面 内总存在一点P，使得
三、填空题
5．（2024·辽宁大连·一模）在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为
BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把 和 折起，使
B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥 ，如图2所示，则三棱锥 外接球
的表面积是 ；过点M的平面截三棱锥 外接球所得截面的面积的取值范
围是 ．6．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰梯形 中， ，点 是
的中点．现将 沿 翻折到 ，将 沿 翻折到 ，使得二面角
等于 ， 等于 ，则直线 与平面 所成角的余弦值等于
．
四、解答题
7．（2024·山东·二模）已知三棱锥 中， 平面 ，过点 分别作
平行于平面 的直线交 于点 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的中点， ，求直线 与平面 所成角的正切值．
8．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥 为底面 的中心．(1)若 ，求 绕 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的大小．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 中，
分别为棱 的中点， 为棱 上的动点，且线段 的长度最小值为
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽淮北·一模）已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下
列说法正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则 B．若 ，且 ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ，且 ，则
3．（2024·湖北·一模）如图，在正方体 中， 分别为的中点，则与平面 垂直的直线可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·山西晋城·期末）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真
命题的为（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题
错误的是（ ）
A．如果 ， ，那么
B．如果 ， ，那么
C．如果 ， ，那么
D．如果 ， ， ，那么
6．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教
室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为 ，母线长为
，其母线与底面所成的角为 ，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 面 ，，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体 的体积为 是棱 的
中点，平面 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，
M，N为正方体的顶点．则满足 的是（ ）A． B．
C． D．
10．（21-22高一下·贵州黔西·期末）如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，
AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，连接
BM，翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角
B．棱CD上总恰有一点N，使得MN∥平面ABC
C．当三棱锥C﹣ABD的体积最大时，AB⊥BC
D．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角
11．（23-24高三上·山东潍坊·期中）在正方体 中，直线 平面 ，
直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 的位置关系可能是（ ）A． 两两垂直 B． 两两平行
C． 两两相交 D． 两两异面
12．（2024·山东潍坊·三模）在棱长为 1 的正方体 中， 分别为棱
的中点，则（ ）
A．直线 与 是异面直线
B．直线 与 所成的角是
C．直线 平面
D．平面 截正方体所得的截面面积为 .
三、填空题
13．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱台 的上、下底面积分别为 ，
且棱台侧面与下底面所成二面角的余弦值为 ，则棱台侧面的高为 ．
14．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥 ，点到平面 的距离是 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等腰梯形 ， ， ，
取 的中点 ，将等腰梯形 沿线段 翻折，使得二面角 为 ，连接
、 得到如图所示的四棱锥 ， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积．
16．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱 中，底面 为
正方形， 为棱 的中点， ．
(1)求三棱锥 的体积．
(2)在 上是否存在一点 ，使得平面 平面 .如果存在，请说明 点位置并证
明.如果不存在，请说明理由.
17．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥 中，点 为棱 的中点，点 为
的中点， ， ， 都是正三角形．(1)求证： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求三棱锥 的表面积．
18．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体 中，四边形 为菱形，
， ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)当 时，求三棱锥 的体积．
19．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方
形， ， 、 分别是 、 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小.
20．（2024高一下·全国·专题练习）如图，将边长为 的正方形 沿对角线 折起
使得点 到点 的位置，连接 ， 为 的中点.(1)若平面 平面 ，求点 到平面 的距离；
(2)不考虑点 与点 重合的位置，若二面角 的余弦值为 ，求 的长度.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）长方体 中，四边形 为正方形，直线 与
直线AD所成角的正切值为2，则直线 与平面 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·北京通州·期末）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确
的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
3．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体 中，点 为截
面 上的动点，若 ，则点 的轨迹长度是（ ）A． B． C． D．1
4．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的
中点，用过点 ，E， 的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A． B．9 C． D．
5．（22-23高一下·河南周口·期末）如图，在三棱柱 中，M为A C 的中点N为
1 1
侧面 上的一点，且MN//平面 ，若点N的轨迹长度为2，则（ ）
A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
6．（2024·河南·一模）如图是棱长均为2的柏拉图多面体 ，已知该多面体为正八
面体，四边形 为正方形， 分别为 的中点，则点 到平面 的距离为
（ ）A． B．1 C． D．
7．（2024·甘肃定西·一模）在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面
与底面 所成的角分别为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川泸州·三模）已知正方体 的棱长为2，P为 的中点，过
A，B，P三点作平面 ，则该正方体的外接球被平面 截得的截面圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）如图，四棱锥 的底面为正方形，
底面ABCD， ，点E是棱PB的中点，过A，D，E三点的平面 与平面PBC的
交线为l，则（ ）
A．直线l与平面PAD有一个交点
B．C．直线PA与l所成角的余弦值为
D．平面 截四棱锥 所得的上下两个几何体的体积之比为
10．（2024·河北·一模）如图，在圆柱 中，轴截面ABCD为正方形，点F是 的上一
点，M为BD与轴 的交点．E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且 平面
AMN，则下列选项正确的有（ ）
A． 平面AMN
B． 平面DBF
C． 平面AMN
D．F是 的中点
11．（2024·浙江·二模）正方体 中， ， 分别为棱 和 的中点，
则下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B． 平面
C．异面直线 与 所成角为60°
D．平面 截正方体所得截面为等腰梯形
12．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方体 中， 分别为 的
中点，则下列结论正确的是（ ）A．直线 与 所成的角的大小为
B．直线 平面
C．平面 平面
D．四面体 外接球的体积与正方体 的体积之比为
三、填空题
13．（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形，
且 .若 ，点 为棱 的中点，点 在 上，则线段 的
长度和的最小值为 .
14．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若正四面体 的顶点都在一个表面积为 的球面
上，过点 且与 平行的平面 分别与棱 交于点 ，则空间四边形 的四
条边长之和的最小值为 .
15．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）一个三棱锥形木料 ，其中 是边长
为 的等边三角形， 底面 ，二面角 的大小为 ，则点A到平面
PBC的距离为 ．若将木料削成以A为顶点的圆锥，且圆锥的底面在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为 ．
16．（23-24高三下·四川·阶段练习）如图，在平行四边形 中，
，且 交 于点 ，现沿折痕 将
折起，直至满足条件 ，此时 .
四、解答题
17．（2024·重庆·三模）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，
， ， 分别为 ， 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)证明 平面 ，并求直线 到平面 的距离.
18．（2024·北京东城·一模）如图，在五面体 中，底面 为正方形，
.
(1)求证： ；(2)若 为 的中点， 为 的中点， ，再从条件①、条件②这两
个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
19．（23-24高一下·广东河源·期中）如图，在四棱锥 中，已知底面 为矩
形，侧面 是正三角形，侧面 底面 是棱 的中点， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 为 ，求异面直线 与 所成角的正切值.
20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在斜三棱柱 中， 为AC的
中点， .
(1)证明： .
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
