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补上一课 三角函数中的参数范围问题
题型分析 三角函数中的参数问题主要是指函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω 与φ 的求解，
或所涉及的区间端点参数的求解，一般是利用所给函数的单调性、奇偶性、对称
性等进行.
题型一 三角函数的单调性与ω 的关系
例1 已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω 的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 法一 由题意得
则
又ω>0，所以
所以k＝0，则0<ω≤.
法二 取ω＝1，则f(x)＝sin，
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
当k＝0 时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，
故ω≠1，结合四个选项可知选B.
感悟提升 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可
求ω 的取值范围.
训练1 (2024·山东名校联考)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，－为f(x)的零点，直线x
＝为f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω 的最大值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 C
解析 因为－是f(x)＝cos(ωx＋φ)的零点，
所以－ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z；
因为直线x＝是f(x)＝cos(ωx＋φ)图象的对称轴，所以ω＋φ＝k2π，k2∈Z.
所以ω＝(k2－k1)π－，k1，k2∈Z，
则ω＝2k－1，k∈Z，显然ω 为奇数.
结合选项可知，当ω＝5 时，
因为|φ|≤，所以φ＝－，
所以f(x)＝cos，
当x∈时，5x－∈，
所以f(x)＝cos 在上单调递减，
所以ω＝5 符合题意，
所以ω 的最大值为5.
题型二 三角函数的对称性与ω 的关系
例2 (多选)(2024·大同质检)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度得
到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，则ω 可取的值为( )
A.
B.
C.1
D.4
答案 CD
解析 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin＝cos，
又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，
所以F(x)＝sincos
＝sin 的图象关于点对称，
则2ω·＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝，k∈Z，
又因为ω>0，所以ω 的最小值为1，
故ω 可取的值为1，4.
感悟提升 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，
相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函
数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关
于ω 的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.
训练2 已知函数f(x)＝2sin，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标
均不属于区间(3π，4π)，则ω 的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
答案 C
解析 因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π，
4π)，
所以×≥4π－3π，
所以<ω≤1，故排除A，B；
又kπ＋≤3ωπ－，且kπ＋π＋≥4ωπ－，
解得≤ω≤，k∈Z，
当k＝0 时，≤ω≤，不满足<ω≤1，
当k＝1 时，≤ω≤，符合题意，
当k＝2 时，≤ω≤，符合题意，
当k＝3 时，≤ω≤，
此时ω 不存在，故C 正确，D 不正确.
题型三 三角函数的最值与ω 的关系
例3 (2024·潍坊质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零
点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω 的最大值是( )
A.11
B.13
C.15
D.17
答案 C
解析 由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴，
所以f＝±1，
即ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z，①
又f＝0，
所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z，②
由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，
又f(x)在区间上有最小值无最大值，
所以T≥－＝，
即≥，解得ω≤16.
综上，先检验ω＝15，
当ω＝15 时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，
即φ＝k1π－，k1∈Z，
又|φ|≤，所以φ＝－，
此时f(x)＝sin，
当x∈时，15x－∈，
当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意.
故ω 的最大值为15.
感悟提升 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω 的不
等式(组)，进而求出ω 的值或取值范围.
训练3 已知函数f(x)＝2sin ωx 在区间上的最小值为－2，则ω 的取值范围是
________.
答案 (－∞，－2]∪
解析 显然ω≠0.若ω＞0，
当x∈时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx 在区间上的最小值为－2，
所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx 在区间上的最小值为－2，
所以ω≤－，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω 的取值范围是(－∞，－2]∪.
题型四 三角函数的零点与ω 的关系
例4 (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3
个零点，则ω 的取值范围是________.
答案 [2，3)
解析 法一 函数f(x)＝cos ωx－1 在区间[0，2π]有且仅有3 个零点，即cos ωx
＝1 在区间[0，2π]有且仅有3 个根，
因为ω>0，x∈[0，2π]，
所以ωx∈[0，2ωπ]，
则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，
解得2≤ω<3，即ω 的取值范围是[2，3).
法二 函数f(x)＝cos ωx－1 在区间[0，2π]有且仅有3 个零点，即cos ωx＝1 在
区间[0，2π]有且仅有3 个根，
根据函数y＝cos x 在[0，2π]上的图象可知cos x＝1 在区间[0，2π]有2 个根，
所以若cos ωx＝1 在区间[0，2π]有且仅有3 个根，
则函数y＝cos ωx 在[0，2π]内至少包含2 个周期，但小于3 个周期，即
又ω>0，所以2≤ω<3，
即ω 的取值范围是[2，3).
法三 由题意知cos ωx＝1，
得ωx＝2kπ，k∈Z，即x＝.
因为f(x)在区间[0，2π]有且仅有3 个零点，
所以解得2≤ω<3.
感悟提升 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，
可以研究ω 的取值.
训练4 (2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin 在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零
点，则ω 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，
得ωx＋∈.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω＋≤，得<ω≤.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.
综上，ω 的取值范围为.
【A 级 基础巩固】
1.若直线x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴，则ω＝(
)
A.2
B.
C.1
D.
答案 A
解析 依题意得函数f(x)的最小正周期
T＝＝2×＝π，解得ω＝2.
2.若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω 的一个取值是(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 C
解析 因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝sin，
由题意，知f＝sin＝0，
所以＋＝kπ(k∈Z)，
即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1 时，ω＝6.
3.设函数f(x)＝cos(ω＞0).若f(x)≤f 对任意的实数x 都成立，则ω 的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.2
答案 B
解析 由题意，当x＝时，函数f(x)有最大值，
故f＝1，即－＝2kπ(k∈Z)，
所以ω＝8k＋(k∈Z)，
又ω＞0，所以当k＝0 时，ωmin＝.
4.已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，
则实数ω 的最小值是( )
A.
B.
C.
D.8
答案 B
解析 由题可知，是该函数周期的整数倍，
即＝×k，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，
又ω＞0，故当k＝1 时，其最小值为.
5.(2024·长春质测)定义域为[0，π]的函数f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋(ω>0)的
值域为，则ω 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋
＝sin 2ωx－＋＝sin，
由－≤f(x)≤1 可得－≤sin≤1.
因为0≤x≤π，所以－≤2ωx－≤2πω－，
由题意可得≤2πω－≤，
解得≤ω≤.
6.(2024·陕西名校联考)函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，1]上有唯一的极大值，则ω 的取
值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 令t＝ωx＋，
当x∈[0，1]时，t∈.
因为函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，1]上有唯一的极大值，
所以函数y＝sin t 在上有唯一极大值，
所以解得ω∈.
7.(2024·马鞍山质检)已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的图象经过点(0，)，若函数f(x)在
区间[0，π]上恰有2 个零点，则实数ω 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由条件可知f(0)＝tan φ＝，|φ|<，
所以φ＝，f(x)＝tan.
当x∈[0，π]时，ωx＋∈，
若函数f(x)在区间[0，π]上恰有2 个零点，
则2π≤ωπ＋<3π，解得≤ω<.
8.函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，且存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，则ω
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由正弦函数性质，得
2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，
即－≤x≤＋(k∈Z)，
∵f(x)在上单调递增，
∴(k∈Z)，
则(k∈Z)，
又ω>0，则0<ω≤，
又存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，
而此时ωx0＋∈，
∴≤＋<，得≤ω<，
综上，有≤ω≤.
9.已知函数f(x)＝cos(ω＞0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω
的最小值为________.
答案 2
解析 ∵函数的对称中心到对称轴的最短距离为，两条对称轴间的最短距离为，
∴对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋，k∈Z，
又∵T＝，∴ω＝2＋4k，
∴k＝0 时，ω 有最小值2.
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M
对称，且在区间上是单调函数，则ω＝________，φ＝________.
答案 2
解析 由题意得φ＝kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，所以φ＝，
所以f(x)＝cos ωx，
由图象关于对称得＝kπ＋，k∈Z，
得ω＝4k＋2，k∈Z，
又f(x)在上是单调函数，可得≤π，
所以ω≤2，所以ω＝2.
11.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则
ω＝________.
答案
解析 由题意知当x＝时，f(x)取得最大值，
即ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝6k＋(k∈Z)，
又－＝＜，即＞，
所以0<ω＜3，又ω＞0，所以ω＝.
12.(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若
f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω 的最小值为________.
答案 3
解析 因为T＝，f＝，
所以cos＝，即cos φ＝.
又0<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝cos.
因为x＝为f(x)的零点，
所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝9k＋3(k∈Z).
又ω>0，所以当k＝0 时，ω 取得最小值，
且最小值为3.
【B 级 能力提升】
13.(2024·福建部分地市质检)函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω∈R)恒有f(x)≤f(2π)，且f(x)
在上单调递增，则ω 的值为( )
A.－
B.
C.
D.或
答案 B
解析 易知ω≠0，因为恒有f(x)≤f(2π)，
所以当x＝2π 时，f(x)取得最大值，
所以2πω＋＝＋2kπ，k∈Z，
解得ω＝＋k，k∈Z，
因为f(x)在上单调递增，
所以－≤，即≥π，
解得0<|ω|≤2.
①当0<ω≤2 时，因为x∈，
所以ωx＋∈.
因为f(x)在上单调递增，
所以k∈Z，
解得k∈Z，
所以4－12k>0，且1＋6k>0，k∈Z，
解得－<k<，k∈Z，
故k＝0，ω＝.
②当－2≤ω<0 时，因为ω＝＋k，k∈Z，
所以ω＝－或ω＝－.
取ω＝－，
则f(x)＝2sin
＝－2sin，
因为x∈，
所以x－∈，
故f(x)在上单调递减，不满足题意.
同理可得ω＝－也不满足题意，
所以ω＝，故选B.
14.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，直线x＝为y＝f(x)图象的对
称轴，且f(x)在上单调，则ω 的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
答案 B
解析 由题意知－＝＋，
即＝T＝·，
所以ω＝2k＋1(k∈N*)，
当ω＝11 时，由题意可得×11＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝－，
所以函数f(x)＝sin，
当x∈时，11x－∈，
所以f(x)在区间上不单调，
所以ω≠11；
当ω＝9 时，
由题意可得×9＋φ＝kπ＋，k∈Z，
解得φ＝，
所以函数f(x)＝sin，
当x∈时，9x＋∈，
所以f(x)在区间上单调，
所以ω＝9.
15.(2024·黄冈模拟)已知函数y＝f(x)的图象是由函数y＝cos ωx(ω>0)的图象向左
平移个单位长度所得，若函数y＝f(x)在区间(π，2π)上单调，则ω 的取值范围是
________.
答案 ∪
解析 y＝f(x)的图象是由y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得，
故f(x)＝cos，
∵当x∈(π，2π)，
∴即ωx＋∈时，函数y＝f(x)单调，
∴kπ≤ωπ＋<2ωπ＋≤kπ＋π，k∈Z，
∴
∴
由＋>k－，得k<，
又k∈Z，得k＝0 或k＝1，
∴0<ω≤或≤ω≤，
综上，ω 的取值范围为∪.
16.若函数y＝f(x)的定义域存在x1，x2(x1≠x2)，使＝1 成立，则称该函数为“互补
函数”.函数f(x)＝cos－sin(ω>0)，则当ω＝3 时，f＝________；若f(x)在[π，2π]
上为“互补函数”，则ω 的取值范围为________.
答案 0 ∪
解析 由f(x)＝cos－
sin＝cos＝sin ωx，
当ω＝3 时，f(x)＝sin 3x，
可得f＝sin π＝0；
令t＝ωx，则函数y＝sin t 在区间[ωπ，2ωπ]上存在两个极大值点，则≤π，可得
ω≥2，
当2T＝2×≤π 时，即ω≥4，显然符合题意；
当ωπ≤时，即ω≤时，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω≤；
当4π>ωπ>，即<ω<4 时，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω<4，
综上，ω 的取值范围是∪.
